高數(shù)第十二章_1基本概念.ppt

微分方程 第十二章 積分問題 微分方程問題 推廣 微分方程的基本概念 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第一節(jié) 微分方程的基本概念 引例 幾何問題 物理問題 第十二章 引例1 一曲線通過點(diǎn) 1 2 在該曲線上任意點(diǎn)處的 解 設(shè)所求曲線方程為y y x 則有如下關(guān)系式 C為任意常數(shù) 由 得C 1 因此所求曲線方程為 由 得 切線斜率為2x 求該曲線的方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 引例2 列車在平直路上以 的速度行駛 制動(dòng)時(shí) 獲得加速度 求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 解 設(shè)列車在制動(dòng)后t秒行駛了s米 已知 由前一式兩次積分 可得 利用后兩式可得 因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 說明 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才 能停住 以及制動(dòng)后行駛了多少路程 即求s s t 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 常微分方程 偏微分方程 含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程 本章內(nèi)容 n階顯式微分方程 微分方程的基本概念 一般地 n階常微分方程的形式是 的階 分類 或 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 使方程成為恒等式的函數(shù) 通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程 確定通解中任意常數(shù)的條件 n階方程的初始條件 或初值條件 的階數(shù)相同 特解 通解 特解 微分方程的解 不含任意常數(shù)的解 定解條件 其圖形稱為積分曲線 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 驗(yàn)證函數(shù) 是微分方程 的解 的特解 解 這說明 是方程的解 是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù) 利用初始條件易得 故所求特解為 故它是方程的通解 并求滿足初始條件 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 求所滿足的微分方程 例2 已知曲線上點(diǎn)P x y 處的法線與x軸交點(diǎn)為Q 解 如圖所示 令Y 0 得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo) 即 點(diǎn)P x y 處的法線方程為 且線段PQ被y軸平分 第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第二節(jié) 解分離變量方程 可分離變量方程 第十二章 分離變量方程的解法 設(shè)y x 是方程 的解 兩邊積分 得 則有恒等式 當(dāng)G y 與F x 可微且G y g y 0時(shí) 說明由 確定的隱函數(shù)y x 是 的解 則有 稱 為方程 的隱式通解 或通積分 同樣 當(dāng)F x f x 0時(shí) 上述過程可逆 由 確定的隱函數(shù)x y 也是 的解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 求微分方程 的通解 解 分離變量得 兩邊積分 得 即 C為任意常數(shù) 或 說明 在求解過程中每一步不一定是同解變形 因此可能增 減解 此式含分離變量時(shí)丟失的解y 0 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 解初值問題 解 分離變量得 兩邊積分得 即 由初始條件得C 1 C為任意常數(shù) 故所求特解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例3 求下述微分方程的通解 解 令 則 故有 即 解得 C為任意常數(shù) 所求通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 練習(xí) 解法1分離變量 即 C 0 解法2 故有 積分 C為任意常數(shù) 所求通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例4 子的含量M成正比 求在 衰變過程中鈾含量M t 隨時(shí)間t的變化規(guī)律 解 根據(jù)題意 有 初始條件 對(duì)方程分離變量 即 利用初始條件 得 故所求鈾的變化規(guī)律為 然后積分 已知t 0時(shí)鈾的含量為 已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例5 成正比 求 解 根據(jù)牛頓第二定律列方程 初始條件為 對(duì)方程分離變量 然后積分 得 利用初始條件 得 代入上式后化簡(jiǎn) 得特解 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí) t 0 速度為0 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系 t足夠大時(shí) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例6 有高1m的半球形容器 水從它的底部小孔流出 開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水 從小孔流出過程中 容器里水面的高度h隨時(shí)間t的變 解 由水力學(xué)知 水從孔口流出的流量為 即 求水 小孔橫截面積 化規(guī)律 設(shè)在 內(nèi)水面高度由h降到 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 對(duì)應(yīng)下降體積 因此得微分方程定解問題 將方程分離變量 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 兩端積分 得 利用初始條件 得 因此容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間t有下列關(guān)系 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1 微分方程的概念 微分方程 定解條件 2 可分離變量方程的求解方法 說明 通解不一定是方程的全部解 有解 后者是通解 但不包含前一個(gè)解 例如 方程 分離變量后積分 根據(jù)定解條件定常數(shù) 解 階 通解 特解 y x及y C 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程 常用的方法 1 根據(jù)幾何關(guān)系列方程 如 P263 5 2 2 根據(jù)物理規(guī)律列方程 如 例4 例5 3 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 如 例6 2 利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件 3 求通解 并根據(jù)定解條件確定特解 3 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 思考與練習(xí) 求下列方程的通解 提示 1 分離變量 2 方程變形為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 備用題已知曲線積分 與路徑無(wú)關(guān) 其中 求由 確定的隱函數(shù) 解 因積分與路徑無(wú)關(guān) 故有 即 因此有 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 齊次方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第三節(jié) 一 齊次方程 二 可化為齊次方程 第十二章 一 齊次方程 形如 的方程叫做齊次方程 令 代入原方程得 兩邊積分 得 積分后再用 代替u 便得原方程的通解 解法 分離變量 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 解微分方程 解 代入原方程得 分離變量 兩邊積分 得 故原方程的通解為 當(dāng)C 0時(shí) y 0也是方程的解 C為任意常數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 解微分方程 解 則有 分離變量 積分得 代回原變量得通解 即 說明 顯然x 0 y 0 y x也是原方程的解 但在 C為任意常數(shù) 求解過程中丟失了 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 可得 OMA OAM 例3 在制造探照燈反射鏡面時(shí) 解 設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn) 則反射鏡面由曲線 繞x軸旋轉(zhuǎn)而成 過曲線上任意點(diǎn)M x y 作切線MT 由光的反射定律 入射角 反射角 取x軸平行于光線反射方向 從而AO OM 要求點(diǎn)光源的光線反 射出去有良好的方向性 試求反射鏡面的形狀 而AO 于是得微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 利用曲線的對(duì)稱性 不妨設(shè)y 0 積分得 故有 得 拋物線 故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面 于是方程化為 齊次方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 頂?shù)降椎木嚯x為h 說明 則將 這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為 若已知反射鏡面的底面直徑為d 代入通解表達(dá)式得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 h k為待 二 可化為齊次方程的方程 作變換 原方程化為 令 解出h k 齊次方程 定常數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 求出其解后 即得原方 程的解 原方程可化為 令 可分離變量方程 注 上述方法可適用于下述更一般的方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例4 求解 解 令 得 再令Y Xu 得 令 積分得 代回原變量 得原方程的通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 得C 1 故所求特解為 思考 若方程改為 如何求解 提示 第四節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 一階線性微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第四節(jié) 一 一階線性微分方程 二 伯努利方程 第十二章 一 一階線性微分方程 一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式 若Q x 0 稱為非齊次方程 1 解齊次方程 分離變量 兩邊積分得 故通解為 稱為齊次方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 齊次方程通解 非齊次方程特解 2 解非齊次方程 用常數(shù)變易法 則 故原方程的通解 即 即 作變換 兩端積分得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 解方程 解 先解 即 積分得 即 用常數(shù)變易法求特解 令 則 代入非齊次方程得 解得 故原方程通解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 求方程 的通解 解 注意x y同號(hào) 由一階線性方程通解公式 得 故方程可 變形為 所求通解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 在閉合回路中 所有支路上的電壓降為0 例3 有一電路如圖所示 電阻R和電 解 列方程 已知經(jīng)過電阻R的電壓降為Ri 經(jīng)過L的電壓降為 因此有 即 初始條件 由回路電壓定律 其中電源 求電流 感L都是常量 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 解方程 由初始條件 得 利用一階線性方程解的公式可得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 因此所求電流函數(shù)為 解的意義 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 二 伯努利 Bernoulli 方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 令 求出此方程通解后 除方程兩邊 得 換回原變量即得伯努利方程的通解 解法 線性方程 伯努利目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例4 求方程 的通解 解 令 則方程變形為 其通解為 將 代入 得原方程通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1 一階線性方程 方法1先解齊次方程 再用常數(shù)變易法 方法2用通解公式 化為線性方程求解 2 伯努利方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 思考與練習(xí) 判別下列方程類型 提示 可分離變量方程 齊次方程 線性方程 線性方程 伯努利方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 備用題 1 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) 使其滿足下列方程 提示 令 則有 利用公式可求出 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 2 設(shè)有微分方程 其中 試求此方程滿足初始條件 的連續(xù)解 解 1 先解定解問題 利用通解公式 得 利用 得 故有 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 2 再解定解問題 此齊次線性方程的通解為 利用銜接條件得 因此有 3 原問題的解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 雅各布第一 伯努利 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用 伯努利 1654 1705 瑞士數(shù)學(xué)家 位數(shù)學(xué)家 標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式 1695年 版了他的巨著 猜度術(shù) 上的一件大事 而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式 年提出了著名的伯努利方程 他家祖孫三代出過十多 1694年他首次給出了直角坐 1713年出 這是組合數(shù)學(xué)與概率論史 此外 他對(duì) 雙紐線 懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究 全微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第五節(jié) 一 全微分方程 二 積分因子法 第十二章 判別 P Q在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) 為全微分方程 則 求解步驟 方法1湊微分法 方法2利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 1 求原函數(shù)u x y 2 由du 0知通解為u x y C 一 全微分方程 則稱 為全微分方程 又叫做恰當(dāng)方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 求解 解 因?yàn)?故這是全微分方程 則有 因此方程的通解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 求解 解 這是一個(gè)全微分方程 用湊微分法求通解 將方程改寫為 即 故原方程的通解為 或 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 二 積分因子法 思考 如何解方程 這不是一個(gè)全微分方程 就化成例2的方程 使 為全微分方程 在簡(jiǎn)單情況下 可憑觀察和經(jīng)驗(yàn)根據(jù)微分倒推式得到 為原方程的積分因子 但若在方程兩邊同乘 若存在連續(xù)可微函數(shù) 積分因子 例2目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 常用微分倒推公式 積分因子不一定唯一 例如 對(duì) 可取 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例3 求解 解 分項(xiàng)組合得 即 選擇積分因子 同乘方程兩邊 得 即 因此通解為 即 因x 0也是方程的解 故C為任意常數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 備用題解方程 解法1積分因子法 原方程變形為 取積分因子 故通解為 此外 y 0也是方程的解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 解法2化為齊次方程 原方程變形為 積分得 將 代入 得通解 此外 y 0也是方程的解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 解法3化為線性方程 原方程變形為 其通解為 即 此外 y 0也是方程的解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 可降階高階微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第六節(jié) 一 型的微分方程 二 型的微分方程 三 型的微分方程 第十二章 一 令 因此 即 同理可得 依次通過n次積分 可得含n個(gè)任意常數(shù)的通解 型的微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿ox軸作直線 運(yùn)動(dòng) 在開始時(shí)刻 隨著時(shí)間的增大 此力F均勻地減 直到t T時(shí)F T 0 如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn) 解 據(jù)題意有 t 0時(shí) 設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù) F F t 小 求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 初初速度為0 且 對(duì)方程兩邊積分 得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 利用初始條件 于是 兩邊再積分得 再利用 故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 型的微分方程 設(shè) 原方程化為一階方程 設(shè)其通解為 則得 再一次積分 得原方程的通解 二 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例3 求解 解 代入方程得 分離變量 積分得 利用 于是有 兩端再積分得 利用 因此所求特解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例4 繩索僅受 重力作用而下垂 解 取坐標(biāo)系如圖 考察最低點(diǎn)A到 密度 s 弧長(zhǎng) 弧段重力大小 按靜力平衡條件 有 故有 設(shè)有一均勻 柔軟的繩索 兩端固定 問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 任意點(diǎn)M x y 弧段的受力情況 兩式相除得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 則得定解問題 原方程化為 兩端積分得 則有 兩端積分得 故所求繩索的形狀為 懸鏈線 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 三 型的微分方程 令 故方程化為 設(shè)其通解為 即得 分離變量后積分 得原方程的通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例5 求解 代入方程得 兩端積分得 一階線性齊次方程 故所求通解為 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 M 地球質(zhì)量m 物體質(zhì)量 例6 靜止開始落向地面 求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間 不計(jì)空氣阻力 解 如圖所示選取坐標(biāo)系 則有定解問題 代入方程得 積分得 一個(gè)離地面很高的物體 受地球引力的作用由 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 兩端積分得 因此有 注意 號(hào) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 由于y R時(shí) 由原方程可得 因此落到地面 y R 時(shí)的速度和所需時(shí)間分別為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 說明 若此例改為如圖所示的坐標(biāo)系 解方程可得 問 此時(shí)開方根號(hào)前應(yīng)取什么符號(hào) 說明道理 則定解問題為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例7 解初值問題 解 令 代入方程得 積分得 利用初始條件 根據(jù) 積分得 故所求特解為 得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 為曲邊的曲邊梯形面積 上述兩直線與x軸圍成的三角形面 例8 二階可導(dǎo) 且 上任一點(diǎn)P x y 作該曲線的 切線及x軸的垂線 區(qū)間 0 x 上以 解 于是 在點(diǎn)P x y 處的切線傾角為 滿足的方程 積記為 99考研 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 再利用y 0 1得 利用 得 兩邊對(duì)x求導(dǎo) 得 定解條件為 方程化為 利用定解條件得 得 故所求曲線方程為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 可降階微分方程的解法 降階法 逐次積分 令 令 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 思考與練習(xí) 1 方程 如何代換求解 答 令 或 一般說 用前者方便些 均可 有時(shí)用后者方便 例如 2 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 答 1 一般情況 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便 2 遇到開平方時(shí) 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 速度 大小為2v 方向指向A 提示 設(shè)t時(shí)刻B位于 x y 如圖所示 則有 去分母后兩邊對(duì)x求導(dǎo) 得 又由于 設(shè)物體A從點(diǎn) 0 1 出發(fā) 以大小為常數(shù)v 備用題 的速度沿y軸正向運(yùn)動(dòng) 物體B從 1 0 出發(fā) 試建立物體B的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)滿 足的微分方程及初始條件 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 代入 式得所求微分方程 其初始條件為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 第七節(jié) 二 線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 三 線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 四 常數(shù)變易法 一 二階線性微分方程舉例 第十二章 一 二階線性微分方程舉例 當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí) 物體處于平衡狀態(tài) 例1 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上 力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng) 解 阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度 下拉物體使它離開平衡位置后放開 若用手向 物體在彈性力與阻 取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立坐標(biāo)系如圖 設(shè)時(shí)刻t物位移為x t 1 自由振動(dòng)情況 彈性恢復(fù)力 物體所受的力有 虎克定律 成正比 方向相反 建立位移滿足的微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 據(jù)牛頓第二定律得 則得有阻尼自由振動(dòng)方程 阻力 2 強(qiáng)迫振動(dòng)情況 若物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受鉛直外力 則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 求電容器兩兩極板間電壓 例2 聯(lián)組成的電路 其中R L C為常數(shù) 所滿足的微分方程 提示 設(shè)電路中電流為i t 上的電量為q t 自感電動(dòng)勢(shì)為 由電學(xué)知 根據(jù)回路電壓定律 設(shè)有一個(gè)電阻R 自感L 電容C和電源E串 極板 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 在閉合回路中 所有支路上的電壓降為0 串聯(lián)電路的振蕩方程 如果電容器充電后撤去電源 E 0 則得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 化為關(guān)于 的方程 故有 n階線性微分方程的一般形式為 方程的共性 為二階線性微分方程 例1 例2 可歸結(jié)為同一形式 時(shí) 稱為非齊次方程 時(shí) 稱為齊次方程 復(fù)習(xí) 一階線性方程 通解 非齊次方程特解 齊次方程通解Y 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 證畢 二 線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 是二階線性齊次方程 的兩個(gè)解 也是該方程的解 證 代入方程左邊 得 疊加原理 定理1 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 說明 不一定是所給二階方程的通解 例如 是某二階齊次方程的解 也是齊次方程的解 并不是通解 但是 則 為解決通解的判別問題 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無(wú)關(guān)概念 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 定義 是定義在區(qū)間I上的 n個(gè)函數(shù) 使得 則稱這n個(gè)函數(shù)在I上線性相關(guān) 否則稱為線性無(wú)關(guān) 例如 在 上都有 故它們?cè)谌魏螀^(qū)間I上都線性相關(guān) 又如 若在某區(qū)間I上 則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) 必需全為0 可見 在任何區(qū)間I上都線性無(wú)關(guān) 若存在不全為0的常數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件 線性相關(guān) 存在不全為0的 使 線性無(wú)關(guān) 常數(shù) 思考 中有一個(gè)恒為0 則 必線性 相關(guān) 證明略 線性無(wú)關(guān) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 定理2 是二階線性齊次方程的兩個(gè)線 性無(wú)關(guān)特解 則 數(shù) 是該方程的通解 例如 方程 有特解 且 常數(shù) 故方程的通解為 自證 推論 是n階齊次方程 的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解 則方程的通解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 三 線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 是二階非齊次方程 的一個(gè)特解 Y x 是相應(yīng)齊次方程的通解 定理3 則 是非齊次方程的通解 證 將 代入方程 左端 得 復(fù)習(xí)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 是非齊次方程的解 又Y中含有 兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù) 例如 方程 有特解 對(duì)應(yīng)齊次方程 有通解 因此該方程的通解為 證畢 因而 也是通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 定理4 分別是方程 的特解 是方程 的特解 非齊次方程之解的疊加原理 定理3 定理4均可推廣到n階線性非齊次方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 定理5 是對(duì)應(yīng)齊次方程的n個(gè)線性 無(wú)關(guān)特解 給定n階非齊次線性方程 是非齊次方程的特解 則非齊次方程 的通解為 齊次方程通解 非齊次方程特解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 常數(shù) 則該方程的通解是 設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù) 都是二階非齊次線 性方程 的解 是任意 例3 提示 都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解 二者線性無(wú)關(guān) 反證法可證 89考研 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例4 已知微分方程 個(gè)解 求此方程滿足初始條件 的特解 解 是對(duì)應(yīng)齊次方程的解 且 常數(shù) 因而線性無(wú)關(guān) 故原方程通解為 代入初始條件 故所求特解為 有三 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 四 常數(shù)變易法 復(fù)習(xí) 常數(shù)變易法 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 設(shè)非齊次方程的解為 代入原方程確定 對(duì)二階非齊次方程 情形1 已知對(duì)應(yīng)齊次方程通解 設(shè) 的解為 由于有兩個(gè)待定函數(shù) 所以要建立兩個(gè)方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 令 于是 將以上結(jié)果代入方程 得 故 的系數(shù)行列式 P10目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 積分得 代入 即得非齊次方程的通解 于是得 說明 將 的解設(shè)為 只有一個(gè)必須滿足的條件即方程 因此必需再附加一 個(gè)條件 方程 的引入是為了簡(jiǎn)化計(jì)算 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 情形2 僅知 的齊次方程的一個(gè)非零特解 代入 化簡(jiǎn)得 設(shè)其通解為 積分得 一階線性方程 由此得原方程 的通解 代入 目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例5 的通解為 的通解 解 將所給方程化為 已知齊次方程 求 利用 建立方程組 積分得 故所求通解為 目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例6 的通解 解 對(duì)應(yīng)齊次方程為 由觀察可知它有特解 令 代入非齊次方程后化簡(jiǎn)得 此題不需再作變換 特征根 設(shè) 的特解為 于是得 的通解 故原方程通解為 二階常系數(shù)非齊次方程 代入 可得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 常系數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第八節(jié) 齊次線性微分方程 基本思路 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程 代數(shù)方程 之根 轉(zhuǎn)化 第十二章 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子 代入 得 稱 為微分方程 的特征方程 1 當(dāng) 時(shí) 有兩個(gè)相異實(shí)根 方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解 因此方程的通解為 r為待定常數(shù) 所以令 的解為 則微分 其根稱為特征根 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 2 當(dāng) 時(shí) 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根 則微分方程有一個(gè)特解 設(shè)另一特解 u x 待定 代入方程得 是特征方程的重根 取u x 則得 因此原方程的通解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 3 當(dāng) 時(shí) 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根 這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解 利用解的疊加原理 得原方程的線性無(wú)關(guān)特解 因此原方程的通解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 小結(jié) 特征方程 實(shí)根 以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 若特征方程含k重復(fù)根 若特征方程含k重實(shí)根r 則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng) 則其通解中必含 對(duì)應(yīng)項(xiàng) 特征方程 推廣 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程的通解為 例2 求解初值問題 解 特征方程 有重根 因此原方程的通解為 利用初始條件得 于是所求初值問題的解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例3 解 位移滿足 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上 在無(wú)外力作用下做自由運(yùn)動(dòng) 初始 求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 立坐標(biāo)系如圖 設(shè)t 0時(shí)物體的位置為 取其平衡位置為原點(diǎn)建 因此定解問題為 自由振動(dòng)方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 方程 特征方程 特征根 利用初始條件得 故所求特解 方程通解 1 無(wú)阻尼自由振動(dòng)情況 n 0 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 解的特征 簡(jiǎn)諧振動(dòng) A 振幅 初相 周期 固有頻率 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 僅由系統(tǒng)特性確定 方程 特征方程 特征根 小阻尼 n k 這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論 2 有阻尼自由振動(dòng)情況 大阻尼 n k 臨界阻尼 n k 解的特征 解的特征 解的特征 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 n k 小阻尼自由振動(dòng)解的特征 由初始條件確定任意常數(shù)后變形 運(yùn)動(dòng)周期 振幅 衰減很快 隨時(shí)間t的增大物體趨于平衡位置 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 n k 大阻尼解的特征 1 無(wú)振蕩現(xiàn)象 此圖參數(shù) 2 對(duì)任何初始條件 即隨時(shí)間t的增大物體總趨于平衡位置 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 n k 臨界阻尼解的特征 任意常數(shù)由初始條件定 最多只與t軸交于一點(diǎn) 即隨時(shí)間t的增大物體總趨于平衡位置 2 無(wú)振蕩現(xiàn)象 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例4 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程通解為 例5 解 特征方程 特征根 原方程通解 不難看出 原方程有特解 推廣目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例6 解 特征方程 即 其根為 方程通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例7 解 特征方程 特征根為 則方程通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 特征根 1 當(dāng) 時(shí) 通解為 2 當(dāng) 時(shí) 通解為 3 當(dāng) 時(shí) 通解為 可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 思考與練習(xí) 求方程 的通解 答案 通解為 通解為 通解為 第九節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 備用題 為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程 并求其通解 解 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 因此特征方程為 即 故所求方程為 其通解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 常系數(shù)非齊次線性微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第九節(jié) 一 二 第十二章 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 其通解為 求特解的方法 根據(jù)f x 的特殊形式 的待定形式 代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) 待定系數(shù)法 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 一 為實(shí)數(shù) 設(shè)特解為 其中為待定多項(xiàng)式 代入原方程 得 1 若 不是特征方程的根 則取 從而得到特解 形式為 為m次多項(xiàng)式 Q x 為m次待定系數(shù)多項(xiàng)式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 2 若 是特征方程的單根 為m次多項(xiàng)式 故特解形式為 3 若 是特征方程的重根 是m次多項(xiàng)式 故特解形式為 小結(jié) 對(duì)方程 此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 即 即 當(dāng) 是特征方程的k重根時(shí) 可設(shè) 特解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 的一個(gè)特解 解 本題 而特征方程為 不是特征方程的根 設(shè)所求特解為 代入方程 比較系數(shù) 得 于是所求特解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 的通解 解 本題 特征方程為 其根為 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 設(shè)非齊次方程特解為 比較系數(shù) 得 因此特解為 代入方程得 所求通解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例3 求解定解問題 解 本題 特征方程為 其根為 設(shè)非齊次方程特解為 代入方程得 故 故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為 原方程通解為 由初始條件得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 于是所求解為 解得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 二 第二步求出如下兩個(gè)方程的特解 分析思路 第一步將f x 轉(zhuǎn)化為 第三步利用疊加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特點(diǎn) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第一步 利用歐拉公式將f x 變形 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第二步求如下兩方程的特解 是特征方程的k重根 k 0 1 故 等式兩邊取共軛 為方程 的特解 設(shè) 則 有 特解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第三步求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果 根據(jù)疊加原理 原方程有特解 原方程 均為m次多項(xiàng)式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第四步分析 因 均為m次實(shí) 多項(xiàng)式 本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 小結(jié) 對(duì)非齊次方程 則可設(shè)特解 其中 為特征方程的k重根 k 0 1 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例4 的一個(gè)特解 解 本題 特征方程 故設(shè)特解為 不是特征方程的根 代入方程得 比較系數(shù) 得 于是求得一個(gè)特解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例5 的通解 解 特征方程為 其根為 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 比較系數(shù) 得 因此特解為 代入方程 所求通解為 為特征方程的單根 因此設(shè)非齊次方程特解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例6 解 1 特征方程 有二重根 所以設(shè)非齊次方程特解為 2 特征方程 有根 利用疊加原理 可設(shè)非齊次方程特解為 設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例7 求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 解 問題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程 當(dāng)p k時(shí) 齊次通解 非齊次特解形式 因此原方程 之解為 第七節(jié)例1中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f 和鉛直干擾力 代入 可得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 當(dāng)干擾力的角頻率p 固有頻率k時(shí) 自由振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng) 當(dāng)p k時(shí) 非齊次特解形式 代入 可得 方程 的解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 若要利用共振現(xiàn)象 應(yīng)使p與k盡量靠近 或使 隨著t的增大 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅 這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象 可無(wú)限增大 若要避免共振現(xiàn)象 應(yīng)使p遠(yuǎn)離固有頻率k p k 自由振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng) 對(duì)機(jī)械來(lái)說 共振可能引起破壞作用 如橋梁被破壞 電機(jī)機(jī)座被破壞等 但對(duì)電磁振蕩來(lái)說 共振可能起有 利作用 如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 為特征方程的k 0 1 2 重根 則設(shè)特解為 為特征方程的k 0 1 重根 則設(shè)特解為 3 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 思考與練習(xí) 時(shí)可設(shè)特解為 時(shí)可設(shè)特解為 提示 1 填空 設(shè) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 2 求微分方程 的通解 其中 為實(shí)數(shù) 解 特征方程 特征根 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 時(shí) 代入原方程得 故原方程通解為 時(shí) 代入原方程得 故原方程通解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 3 已知二階常微分方程 有特解 求微分方程的通解 解 將特解代入方程得恒等式 比較系數(shù)得 故原方程為 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 原方程通解為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 一階微分方程的 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 習(xí)題課 一 一 一階微分方程求解 二 解微分方程應(yīng)用問題 解法及應(yīng)用 第十二章 一 一階微分方程求解 1 一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 關(guān)鍵 辨別方程類型 掌握求解步驟 2 一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 1 變量代換法 代換自變量 代換因變量 代換某組合式 2 積分因子法 選積分因子 解全微分方程 四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型 可分離變量方程 齊次方程 線性方程 全微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1 求下列方程的通解 提示 1 故為分離變量方程 通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 方程兩邊同除以x即為齊次方程 令y ux 化為分 離變量方程 調(diào)換自變量與因變量的地位 用線性方程通解公式求解 化為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 方法1這是一個(gè)齊次方程 方法2化為微分形式 故這是一個(gè)全微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 求下列方程的通解 提示 1 令u xy 得 2 將方程改寫為 貝努里方程 分離變量方程 原方程化為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 令y ut 齊次方程 令t x 1 則 可分離變量方程求解 化方程為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 變方程為 兩邊乘積分因子 用湊微分法得通解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例3 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 設(shè)F x f x g x 其中函數(shù)f x g x 在 內(nèi)滿足以下條件 1 求F x 所滿足的一階微分方程 03考研 2 求出F x 的表達(dá)式 解 1 所以F x 滿足的一階線性非齊次微分方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 2 由一階線性微分方程解的公式得 于是 求以 為通解的微分方程 提示 消去C得 求下列微分方程的通解 提示 令u xy 化成可分離變量方程 提示 這是一階線性方程 其中 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 提示 可化為關(guān)于x的一階線性方程 提示 為貝努里方程 令 提示 為全微分方程 通解 提示 可化為貝努里方程 令 微分倒推公式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 原方程化為 即 則 故原方程通解 提示 令 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例4 設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A 河寬OA h 一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn) 二 解微分方程應(yīng)用問題 利用共性建立微分方程 利用個(gè)性確定定解條件 為平行直線 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O 提示 如圖所示建立坐標(biāo)系 設(shè)時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P x y 設(shè)鴨子 在靜水中 的游速大小為b 求鴨子游動(dòng)的軌跡方程 O 水流速度大小為a 兩岸 則 關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學(xué)模型 要點(diǎn) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 定解條件 由此得微分方程 即 鴨子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為 齊次方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 思考 能否根據(jù)草圖列方程 練習(xí)題 已知某曲線經(jīng)過點(diǎn) 1 1 軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo) 求它的方程 提示 設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為M x y 令X 0 得截距 由題意知微分方程為 即 定解條件為 此點(diǎn)處切線方程為 它的切線在縱 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 題6 已知某車間的容積為 的新鮮空氣 問每分鐘應(yīng)輸入多少才能在30分鐘后使車間空 的含量不超過0 06 提示 設(shè)每分鐘應(yīng)輸入 t時(shí)刻車間空氣中含 則在 內(nèi)車間內(nèi) 兩端除以 并令 與原有空氣很快混合均勻后 以相同的流量排出 得微分方程 假定輸入的新鮮空氣 輸入 的改變量為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 t 30時(shí) 解定解問題 因此每分鐘應(yīng)至少輸入250 新鮮空氣 初始條件 得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 k 二階微分方程的 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 習(xí)題課 二 二 微分方程的應(yīng)用 解法及應(yīng)用 一 兩類二階微分方程的解法 第十二章 一 兩類二階微分方程的解法 1 可降階微分方程的解法 降階法 令 令 逐次積分求解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 2 二階線性微分方程的解法 常系數(shù)情形 齊次 非齊次 代數(shù)法 歐拉方程 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 題2求以 為通解的微分方程 提示 由通解式可知特征方程的根為 故特征方程為 因此微分方程為 題3求下列微分方程的通解 提示 6 令 則方程變?yōu)?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 特征根 齊次方程通解 令非齊次方程特解為 代入方程可得 思考 若 7 中非齊次項(xiàng)改為 提示 原方程通解為 特解設(shè)法有何變化 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 題4 2 求解 提示 令 則方程變?yōu)?積分得 利用 再解 并利用 定常數(shù) 思考 若問題改為求解 則求解過程中得 問開方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 題8設(shè)函數(shù) 在r 0 內(nèi)滿足拉普拉斯方程 二階可導(dǎo) 且 試將方程化為以r為自變 量的常微分方程 并求f r 提示 利用對(duì)稱性 即 歐拉方程 原方程可化為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 解初值問題 則原方程化為 通解 利用初始條件得特解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 特征根 例1 求微分方程 提示 故通解為 滿足條件 解滿足 處連續(xù)且可微的解 設(shè)特解 代入方程定A B 得 得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 處的銜接條件可知 解滿足 故所求解為 其通解 定解問題的解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2 且滿足方程 提示 則 問題化為解初值問題 最后求得