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一個定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)f n 稱為整標(biāo)函數(shù) 當(dāng)自變量按正整數(shù)1 2 3 依次增大的順序取值時 函數(shù)值按相應(yīng)的順序排成一串?dāng)?shù) f 1 f 2 f 3 f n 稱為一個無窮數(shù)列 簡稱數(shù)列 數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項 f n 稱為數(shù)列通項 1 數(shù)列的定義 例如 當(dāng)n無限增大時 xn無限接近于1 即xn 1無限接近于0 xn無限接近于1 即1 xn無限接近于0 xn無限接近于1 即 xn 1 無限接近于0 無限接近于0是什么含義 用數(shù)學(xué)的語言怎么刻畫 理解 當(dāng)n無限不斷增大時 xn 1 無限接近于0 xn 1 作為一個正數(shù)要有多小就有多小 xn 1 可以小于任意給定的正數(shù) 例如 給定1 10 存在N 10 當(dāng)n N時 xn 1 N時 xn 1 N時 xn 1 0 003 一般的 任意給定 0 存在正整數(shù)N 當(dāng)n N時 xn 1 2 數(shù)列的極限 注意 如果數(shù)列xn以a為極限 通常也說數(shù)列xn收斂于a 如果數(shù)列xn的極限不存在 就說數(shù)列xn發(fā)散 例1 證 所以 3 極限的證明 例2 證 證 例4 證 用定義證數(shù)列極限存在時 關(guān)鍵是任意給定尋找N 但不必要求最小的N 4 極限的幾何解釋 即 定理1 極限的唯一性 證 用反證法 5 極限的唯一性 例4 證 用反證法 區(qū)間長度為1 因此這數(shù)列發(fā)散 而這兩個不可能同時屬于長度為1的區(qū)間內(nèi) 定理2 證 6 收斂數(shù)列的有界性 推論無界數(shù)列必定發(fā)散 從而 定理3 證 就a 0的情形證明 由數(shù)列極限的定義 對 7 收斂數(shù)列的保號性 1 1 小結(jié) 極限的定義 極

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