淺析物理解題中的微分思想.pdf

一 中 PH YSI CS TEACH I NG AND LEARNl 崛 淺析物理解題 中的微分思想 陳宏奎 物理解題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法 通常包括幾何 圖 形法 函數(shù)圖象 三角函數(shù)方程法 比例法 數(shù)列遞 推求和法 數(shù)學(xué)數(shù)列極限法與不等式及微積分法等 其中 微積分是新編 中學(xué)數(shù)學(xué)教材 中增加的內(nèi)容 最近幾年 以物理試題為載體滲透考查數(shù)學(xué)能力是 高考命題的熱點(diǎn)主題 特別是利用微分思想求解物 理題在各地高考中頻頻 出現(xiàn) 近幾年更是 年年上 榜 所以 對(duì)此加以重視是必要的 利用微分思想實(shí)現(xiàn)從部分到整體的分析方法叫 微元法 當(dāng)物理學(xué)中遇到整體難以解決的復(fù)雜問(wèn)題 時(shí) 常運(yùn)用微分概念合 理選取微分元 將研究對(duì)象 進(jìn)行無(wú)窮細(xì)分 其中的一份微小單元即微分元 如力 學(xué)中的長(zhǎng)度元 d Z 體積元 d V 質(zhì)量元 d m 電磁學(xué) 中 的電荷元 d q 電流元 d 等 對(duì)微元模型運(yùn)用相關(guān)的 物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法處理 然后再對(duì)微元結(jié)果疊加 而過(guò)渡到對(duì)整體的積分求解 微元法充分體現(xiàn)了數(shù) 學(xué)微積分的基本思想和物理實(shí)質(zhì) 許多學(xué)生只會(huì)數(shù)學(xué)上抽象的微積分運(yùn)算 而面 對(duì)具體的物理問(wèn)題 不知如何尋找微分元 進(jìn)而無(wú)法 用微積分來(lái)求解實(shí)際問(wèn)題 造成物理解題時(shí)的障礙 一 微分思想在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用 例 1 從地面上以初速度 豎直向上拋出一質(zhì) 量為 m的球 若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的空氣阻力與其速 率成正比關(guān)系 球運(yùn)動(dòng)的速率隨時(shí)間變化規(guī)律如圖 1 所示 t 時(shí)刻到達(dá)最高點(diǎn) 再落 回地 面 落地時(shí)速 率為 且落地前球已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng) 求 D 圍 l I 球從拋出到落地過(guò)程 中克服空氣阻力所做 的功 2 球拋出瞬間的加速度大小 3 球上升的最大高度 日 解析 1 全過(guò)程對(duì)小球運(yùn)用動(dòng)能定理 刪2 一 則 克 服 空 氣 阻 力 做 功W f 一 一 m n 0 解得 n 0 1 g d 則 一 舳 一 g一 m 取極短的一小 n f 一g 一 O 一 一 g A t ma A h 故 日 解得 鑾 B 陽(yáng) c 沿 橢 圓 軌 道 運(yùn) 行 它 k 的 近 日 點(diǎn) A 離 太 陽(yáng) 的 距 離 一 4 9 史 堡麴 堂星 絲2 PH YSI CS TEA cHI NG A D LEARNI N G I N H I GH SCH OOL 解析此題可根據(jù)萬(wàn)有引力提供行星的向心力 求解 求解略 也可根據(jù)開(kāi)普勒第二定律 用微元 法求解 設(shè)行星在近 日點(diǎn) 時(shí)又向前運(yùn)動(dòng)了極短的 時(shí)間At 由于時(shí)間極短可 以認(rèn) 為行星在 At 時(shí)間內(nèi) 做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 線速度為 半徑為 a 可以得到 1 行星在 At 時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積 s At a 厶 同理 設(shè)行星在經(jīng)過(guò)遠(yuǎn) 日點(diǎn) 時(shí)也運(yùn)動(dòng)了相同 1 的極短時(shí)間微元At 則也有 s 6 At b 二 由開(kāi)普勒第二定律 面積定律 可知 S S 即得 U 三 微分思想在求解機(jī)械功 機(jī)械功率 問(wèn)題 中 的應(yīng)用 例 3 如圖 3所示 某個(gè) F 1 0 N的力作用于半徑 R 1 i n的轉(zhuǎn)盤的邊緣上 力 F的 大小保持不變 但方向保持任 何時(shí)刻均與作用點(diǎn) 的切線一 致 則轉(zhuǎn)動(dòng)一周 這個(gè)力 F做 的總功為多少 解析由于力 F的方向與作用點(diǎn)的速度方向一 致 因此力 F做功肯定不為零 考慮到此力大小不變 但不是恒力 無(wú)法用恒力做功公式直接求解 可以 考慮把圓周劃分為無(wú)限多 微元 來(lái)研究 把整個(gè) 運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分成很多個(gè)微元 整個(gè)過(guò)程中變力做功 就等效于每個(gè)微元中恒力做功之和 當(dāng)各小段的弧 長(zhǎng)As 足夠小 5 時(shí) 在這As內(nèi) 的方向幾乎 與該小段的位移重合 則 F做的總功為 W F A s F A l F A s 2 F A s 3 W F 2 1 T R 2 0 n J 點(diǎn)評(píng)對(duì)整體無(wú)窮細(xì)分后隔離選擇恰 當(dāng)?shù)奈⒃?作為研究對(duì)象 微分元可以是一小段圓弧 一小塊面 積 一個(gè)小質(zhì)量 一小段時(shí)間 但微分元應(yīng)該具備 整體對(duì)象的基本特征 對(duì)微分元模型化 運(yùn)用相關(guān)物 理規(guī)律結(jié)合微積分的知識(shí)可以很快捷地處理問(wèn)題 四 微分思想在靜電 場(chǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用 口 例4 電荷量 Q均勻 分布在半徑為 的圓環(huán) 上 如圖 4 所示 求在圓 5 0 圈4 環(huán)軸線上距圓心 0點(diǎn)為 處的P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 解析帶電圓環(huán)產(chǎn)生的電場(chǎng)不能看作點(diǎn)電荷產(chǎn) 生的電場(chǎng) 故采用微元法 利用求解點(diǎn)電荷形成的電 場(chǎng)的方法結(jié)合對(duì)稱性求解 選電荷元 Aq R A0 它在 P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的 分量為 盯 一 C O S X k R A O Q f R r 訂I 十 根據(jù)對(duì)稱性 E E x 二訂V L 十 生 7 一 生 2 耐 耐 2 1 T R R 在軸線上 P點(diǎn) 產(chǎn)生 的場(chǎng)強(qiáng)方 向是沿軸 線的 方向 五 微分思想在電路問(wèn)顆 中的應(yīng)用 例 5 如圖5中甲圖所示是一種測(cè)量電容的實(shí) 驗(yàn)電路圖 實(shí)驗(yàn)是通過(guò)對(duì)高阻值 電阻放電的方法測(cè) 出電容器充電至電壓 時(shí)所帶的電荷量 口 從而再 求出待測(cè)電容器的電容 c 某同學(xué)在一次實(shí)驗(yàn)時(shí)的 情況如下 占 田 圈5 a按圖甲所示的電路圖接好電路 b 接通開(kāi)關(guān) s 調(diào)節(jié)電阻箱 R的阻值 使小量程 電流表的指針偏轉(zhuǎn)接近滿刻度 記下此時(shí)電流表的 示數(shù) 0 4 9 0 電壓表 的示數(shù) 8 0 V o u o 分別是電容器放電時(shí)的初始電流和電壓 C 斷開(kāi)開(kāi)關(guān) s 同時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí) 每隔 5 S 或 1 0 S 測(cè)讀一次電流 i 的值 將測(cè)得數(shù)據(jù)填人表格 并標(biāo)示 在圖乙的坐標(biāo)紙上 時(shí)間 t 為橫坐標(biāo) 電流 為縱坐 標(biāo) 結(jié)果如圖中小黑點(diǎn)所示 1 在圖乙中畫(huà)出 i t 圖線 2 圖乙中圖線與坐標(biāo)軸所圍成面積的物理意 義是 3 該電容器的電容為 F 互一 中 PH Y SI CS TEA CHI NG AND LEARNI G 解析 1 利用描出的各點(diǎn)連成平滑 的曲線即 為 i t 圖線 作圖略 2 利用微元的思想 在 圖乙 中把時(shí)間無(wú)窮細(xì) 分 每一時(shí)間元內(nèi)由于時(shí)間極短可認(rèn)為電流不變對(duì) 應(yīng)的面積即為對(duì)應(yīng)的放電的電荷量 再對(duì)微元結(jié)果 疊加可知圖乙中圖線與坐標(biāo)軸所圍成面積的物理意 義是電容器充電完畢時(shí)儲(chǔ)存的電荷量 即放電的總 電荷量 3 根據(jù)近似處理的物理思想 圖線與坐標(biāo)軸 所圍部分的格數(shù) 邊緣部分大于半格 的算一格 小 于半格的可忽略 乘 以每一格所 占面積 估算 出整 個(gè)過(guò)程中電容器所釋放的總電荷量 Q 3 2 x5 x 5 0 1 0 C 8 X 1 0一C 求出電容 c 旦 F 1 I 1 0 F U 0 o 六 微分思想在動(dòng)量問(wèn)題中的應(yīng)用 例6 如圖6所示 長(zhǎng)為 L的船靜 止在 平靜 的水 面船 上 立于船頭的人質(zhì)量為 m 船的質(zhì)量為 不計(jì)水的阻 圈6 力 人從船頭走到船尾的過(guò)程中 問(wèn)船的位移為多大 解析題為 人船模型 取人和船整體作 為研 究系統(tǒng) 人在走動(dòng)過(guò)程 中 系統(tǒng)所受合力 為零 系統(tǒng) 動(dòng)量守恒 設(shè) 分別是人和船在任何一時(shí)刻的 速率 則有 m y m 兩邊同時(shí)乘以一個(gè)極短 的時(shí) 問(wèn)微元 t 則有 m y 1 t m 0 2 由于時(shí)間微元 At 極短 可以認(rèn)為在這極短的時(shí) 間內(nèi)人和船的速率是不變的 所 以在這極短的時(shí)間 內(nèi)人和船位移大小分別為As At As At 故 mAs m 0 As 把所有的微元位移疊加求和有 m s m 0 其 中 s 分別 為 全過(guò)程中人和船對(duì)地位 移的大小 又因?yàn)閹缀?關(guān)系 如 圖 7所 示 有 L s As 2 即 船 l m o 2 圖7 由以上關(guān)系式解得船的位移 s 一 m 0 十 m 七 微分思想在電磁感應(yīng)問(wèn)題中的應(yīng)用 例 7 如圖 8所示 一水平放置 的光滑平行導(dǎo) 軌上放一質(zhì)量為 m的金屬桿 導(dǎo)軌間距為 L 導(dǎo)軌的 一 端連接一阻值為 的電阻 其他電阻不計(jì) 磁感應(yīng)強(qiáng) 度為 曰的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面 現(xiàn)給金屬桿一個(gè) 學(xué)麴理塾復(fù)學(xué) I N H I GH SCH OOL 水平向右的初速度 然后任其運(yùn)動(dòng) 導(dǎo)軌足夠長(zhǎng) 試 求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大距離是多少 圈8 解析對(duì)桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受力分析可知豎直方 向重力和支持力平衡 水平方 向始終受一水平向左 的且大小不斷變化的安培力 這是一個(gè)典型的在變 力作用下求位移的問(wèn)題 用我們已學(xué)過(guò)的知識(shí)好像 無(wú)法解決 其實(shí)只要采用的方法得當(dāng)仍然可以求解 取水平向右為正方向 設(shè)桿在減速中的某一時(shí) 刻速度為 V 加速度為 則 一 曰 警 瑚 一B B L V L 取極短的一小段時(shí)間 t 為微分元 對(duì)應(yīng)的速度 變化為 Av 則有 0 At 一 At 對(duì) 于桿向 右運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程有 0 一 I 0 一 r 2 即 Y O 解得金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大 距離 點(diǎn)評(píng)題 中涉及的物理量是非線性變化量 無(wú) 法用初等數(shù)學(xué)知識(shí)解決 但如果有了微積分的思想 化整為零 化曲為直 再結(jié)合物理規(guī)律則可以做到化 繁為簡(jiǎn) 解題的同時(shí)拓寬了我們的思維 本文通過(guò)分析物理解題中的微分思想充分說(shuō)明 了數(shù)學(xué)是研究和學(xué)習(xí)物理學(xué)的重要工具 物理理論 本身的建立 發(fā)展和推理論證的過(guò)程 離不開(kāi)數(shù)學(xué) 物理概念及物理量問(wèn)關(guān)系的表達(dá) 要借助于數(shù)學(xué)公 式或圖象等手段