沖刺60天2012年高考文科數(shù)學解題策略 專題八 第四節(jié) 運用等價轉換思想解題的策略.docVIP

等價轉換是四大數(shù)學思想之一，在研究和解決中較難數(shù)學問題時，采用等價轉換思想，將復雜的問題等價轉換為簡單的問題，將難解的問題通過等價轉換為容易求解的問題，將未解決的問題等價轉換為已解決的問題.近幾年來高考試題要求學生要有較強的等價轉換意識，等價轉換思想的應用在近幾年來高考試題中處處可見，是解高考試題常用的數(shù)學思想，難度值一般控制在.考試要求： （1）了解等價轉換的數(shù)學思想和遵循的基本原則；（2）了解等價轉換思想在解題中的作用；（3）掌握等價轉換的主要途徑、方法；（4）掌握幾種常見的等價轉換思路，靈活運用等價轉換思想解決數(shù)學難題. 題型一 利用數(shù)學定義、公式構造數(shù)學模型進行等價轉換 例1.（1）求的值;（2）求函數(shù)的最大值. 點撥: （1）利用所求式與余弦定理類似，再結合正弦定理的推論求值；（2）將函數(shù)最值問題轉換為向量數(shù)量積問題，由數(shù)量積的不等式性質(zhì)，求出最大值. 解：（1）注意到所求式與余弦定理類似，由原式=.（2）構造向量則，由知，當且僅當與共線且方向相同時，即時等號取得. 變式與引申1：已知，且，求證：. 題型二 函數(shù)、方程及不等式解題中的等價轉換例2.（1）若、是正數(shù)，且滿足，求的取值范圍.(2)已知奇函數(shù)的定義域為實數(shù)集，且在上是增函數(shù)，當時，是否存在這樣的實數(shù)，使對所有的均成立？若存在，求出所有適合條件的實數(shù)；若不存在，請說明理由.點撥:(1)將一個等式轉換為不等式，是求變量取值范圍的重要的方法，通常利用函數(shù)的單調(diào)性解答此類問題，或者利用基本不等式解答這類問題.(2)本題是一道抽象函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合運用的問題，由函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性得出關于和的不等式，既然需求的取值，不防把此問題轉換為關于的函數(shù)和不等式的問題. 解：(1)方法一（看成函數(shù)的值域），而， ，即或，又，即，當且僅當，時等號取得.方法二（看成不等式的解集）為正數(shù)，又，即，解得或（舍去），（2）由是上的奇函數(shù)可得，再利用的單調(diào)性，則可把原不等式轉換成為關于的三角不等式，是上的奇函數(shù)，又在上是增函數(shù)，故是上為增函數(shù).是上的增函數(shù)，即令，.于是問題轉換為對一切的，不等式恒成立，即恒成立.又 存在實數(shù)滿足題設的條件，. 易錯點：(1)不能將等式轉換為函數(shù)或者不等式進行研究；（2）由已知不等式，結合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性找不到和的不等式；錯誤理解自變量只為，不能把問題轉換為和的函數(shù)或不等式問題；不能想到用復合函數(shù)的觀點來研究的取值，并且容易把問題看成是關于的不等式問題，從而用根的分布來解決此問題，較為繁瑣，容易出錯.變式與引申2：已知函數(shù)（I）求證：方程有實根；（II）在0，1上是單調(diào)遞減的，求實數(shù)a的取值范圍；（III）當?shù)慕饧癁榭占?，求所有滿足條件的實數(shù)a的值. 題型三 引入相關參數(shù)進行等價轉換 例3.設，且，求的范圍. 點撥:本題的解法有多種，數(shù)形結合，三角換元都是比較容易想到的方法，我們也可以引入相關參數(shù)進行等價轉換 解：由得，設，則，代入已知等式得：，即，其對稱軸為，由，則得，所以的范圍是. 易錯點：忽視參數(shù)的取值范圍，將解得范圍擴大； 變式與引申3：設兩個向量和其中為實數(shù).若則的取值范圍是 ( )A. B. C. D. 題型四 正向與反向思考中的等價轉換 例4 .試求常數(shù)的范圍，使曲線的所有弦都不能被直線垂直平分.點撥：在解答問題時，正難則反是轉換的一種有效手段，問題的反面是存在一條弦能被直線垂直平分，解出問題反面的范圍，則原問題就出來了 . 解：假設拋物線上兩點關于直線對稱，顯然，于是有，因為存在使上式恒成立，即因為恒成立，所以，所以，即當時，拋物線上存在兩點關于直線對稱，所以當時，曲線的所有弦都不能被直線垂直平分.易錯點:不能從問題的反面作為切入點，對于垂直平分認識不夠深刻，找不出關于的方程和不等式.變式與引申4：已知三個方程： 中至少有一個方程沒有實數(shù)解，試求實數(shù)的取值范圍 本節(jié)主要考查：（1）等價轉換思想在解題中的應用，幾種常見的等價轉換思路；（2）數(shù)形結合思想、方程思想、等價轉換思想以及邏輯推理能力、運算求解能力等基本數(shù)學能力. 點評：等價轉換是把未知解的問題轉換到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法，通過不斷的轉換，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉換為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題，不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉換意識，將有利于強化解決數(shù)學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧，等價轉換要求轉換過程中前因后果是充分必要的，才保證轉換后的結果仍為原問題的結果，等價轉換思想方法的特點是具有靈活性和多樣性，在應用等價轉換的思想方法去解決數(shù)學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進行，它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉換，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數(shù)學語言的翻譯；它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實施轉換，即所說的恒等變形，消去法、換元法、數(shù)形結合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)等價轉換思想，更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進行等價轉換，可以說，等價轉換是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變，由于其多樣性和靈活性，要合理地設計好轉換的途徑和方法，避免死搬硬套題型，在數(shù)學操作中實施等價轉換時，要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把遇到的問題，通過轉換變成比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉換為比較直觀的問題，以便精確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結合法；或者正面難，則從反面進行轉換，即反證法，按照這些原則進行數(shù)學操作，轉換過程省時省力，有如順水推舟，經(jīng)常滲透等價轉換思想，可以提高解題的水平和能力.習題8-41.函數(shù)在內(nèi)有極小值，則的取值范圍是( ).A. B. C. D.2.（2011山東文科6） 若函數(shù) (0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則= A. B. C. 2 D.33. 某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)，已知該廠連續(xù)生產(chǎn)個月的累計產(chǎn)量為噸，但如果月產(chǎn)量超過96噸，將會給環(huán)境造成危害.（1）請你代表環(huán)保部門給廠擬定最長的生產(chǎn)周期；（2）若該廠在環(huán)保部門的規(guī)定下生產(chǎn)，但需要每月交納萬元的環(huán)保稅，已知每噸產(chǎn)品售價萬元，第個月的工人工資為萬元，若每月都贏利，求出的范圍.4.設是雙曲線上的兩點，點是線段的中點.（1）求直線的方程；（2）如果線段的垂直平分線與雙曲線相交于、兩點，那么、四點是否共圓？5. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若關于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍.第四節(jié) 運用等價轉換思想解題的策略變式與引申1:（1）方法一：要證成立，成立方法二：設，其中，因為，則直線的斜率，直線的斜率，因為在第三象限的角平分線上，所以必與軸正半軸相交，且有，所以，即.FEDCBA方法三：在和中，作交于，因為與相似，所以.變式與引申2：.解：（I）要證的實根，也就是證明方程有非負實數(shù)根。而有正根， 有實根；（II）由題設知對任意的恒成立，時顯然成立；（3）由題設知，當恒成立當上遞增，于是，解之得：當與題意矛盾。綜上所述：方法二（分離參數(shù)法），時顯然成立；對任意的由（II）知變式與引申3：選A解：由可得，設,代入方程組可得 ；消去化簡得， 即,再令,代入上式得,可得；解不等式得,因而解得,故選A.變式與引申4：解：三個方程中至少有一個方程沒有實數(shù)解的否定是三個方程都有實數(shù)解當時，三個方程中至少有一個方程沒有實數(shù)解習題8-41.B. 提示：轉化為在內(nèi)與軸有兩交點，只需且.2.【答案】B（2）若