M高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法十四：近似法.doc

高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法十四、近似法方法簡(jiǎn)介圖141近似法是在觀察物理現(xiàn)象、進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)、建立物理模型、推導(dǎo)物理規(guī)律和求解物理問(wèn)題時(shí)，為了分析認(rèn)識(shí)所研究問(wèn)題的本質(zhì)屬性，往往突出實(shí)際問(wèn)題的主要方面，忽略某些次要因素，進(jìn)行近似處理.在求解物理問(wèn)題時(shí)，采用近似處理的手段簡(jiǎn)化求解過(guò)程的方法叫近似法.近似法是研究物理問(wèn)題的基本思想方法之一，具有廣泛的應(yīng)用.善于對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行合理的近似處理，是從事創(chuàng)造性研究的重要能力之一.縱觀近幾年的物理競(jìng)賽試題和高考試題，越來(lái)越多地注重這種能力的考查.賽題精講例1：一只狐貍以不變的速度沿著直線AB逃跑，一只獵犬以不變的速率追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍.某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)DAB，且FD=L，如圖141所示，求獵犬的加速度的大小.解析：獵犬的運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍且速度大小不變，圖142甲故獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)向心加速度為獵犬所在處的曲率半徑，因?yàn)閞不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬在D處的加速度大小，由于大小不變，如果求出D點(diǎn)的曲率半徑，此時(shí)獵犬的加速度大小也就求得了.獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度的大小和方向都在不斷改變.在所求時(shí)刻開始的一段很短的時(shí)間內(nèi)，獵犬運(yùn)動(dòng)的軌跡可近似看做是一段圓弧，設(shè)其半徑為R，則加速度其方向與速度方向垂直，如圖141甲所示.在時(shí)間內(nèi)，設(shè)狐貍與獵犬分別 到達(dá)，獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過(guò)的角度為/R而狐貍跑過(guò)的距離是： 因而/R/L，R=L/所以獵犬的加速度大小為=/L圖142甲圖142例2 如圖142所示，岸高為，人用繩經(jīng)滑輪拉船靠岸，若當(dāng)繩與水平方向?yàn)闀r(shí)，收繩速率為，則該位置船的速率為多大？解析 要求船在該位置的速率即為瞬時(shí)速率，需從該時(shí)刻起取一小段時(shí)間求它的平均速率，當(dāng)這一小段時(shí)間趨于零時(shí)，該平均速率就為所求速率.設(shè)船在角位置經(jīng)時(shí)間向左行駛距離，滑輪右側(cè)的繩長(zhǎng)縮短，如圖142甲所示，當(dāng)繩與水平方向的角度變化很小時(shí)，ABC可近似看做是一直角三角形，因而有=圖143兩邊同除以得：，即收繩速率因此船的速率為例3 如圖143所示，半徑為R，質(zhì)量為m的圓形繩圈，以角速率繞中心軸O在光滑水平面上勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩中的張力為多大？解析 取繩上一小段來(lái)研究，當(dāng)此段弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角很小時(shí)，有近似關(guān)系式圖143甲若取繩圈上很短的一小段繩AB=為研究對(duì)象，設(shè)這段繩所對(duì)應(yīng)的圓心角為，這段繩兩端所受的張力分別為和（方向見圖143甲），因?yàn)槔K圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，無(wú)切向加速度，所以和的大小相等，均等于T. 和在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)這段繩子的質(zhì)量為，根據(jù)牛頓第二定律有：；因?yàn)槎魏芏?，它所?duì)應(yīng)的圓心角很小所以將此近似關(guān)系和代入上式得繩中的張力為例4 在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細(xì)管軌道ABC，光滑小球從頂點(diǎn)A處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點(diǎn)C處所需時(shí)間，恰好等于小球從頂點(diǎn)A處自靜止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點(diǎn)C處所需的時(shí)間.這里假設(shè)鉛垂軌道AB與水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無(wú)碰撞的拐彎，且拐彎時(shí)間可忽略不計(jì).在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖144中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓?。ㄗ饔猛希壍谰鶑腁點(diǎn)出發(fā)到C點(diǎn)終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從A點(diǎn)滑行到C點(diǎn)所經(jīng)時(shí)間的上限與下限之比值.解析 直角三角形AB、BC、CA三邊的長(zhǎng)分別記為 、，如圖144甲所示，小球從A到B的時(shí)間記為，再?gòu)腂到C的時(shí)間為，而從A直接沿斜邊到C所經(jīng)歷的時(shí)間記為，由題意知，可得：=3：4：5，由此能得與的關(guān)系.因?yàn)樗砸驗(yàn)椋?3：4，所以 小球在圖144乙中每一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所需時(shí)間之和為，經(jīng)各水平段所需時(shí)間之和記為，則從A到C所經(jīng)時(shí)間總和為，最短的對(duì)應(yīng)的下限，最長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)的上限小球在各水平段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分別為勻速運(yùn)動(dòng)，同一水平段路程放在低處運(yùn)動(dòng)速度大，所需時(shí)間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與BC重合）時(shí)最短，其值即為，故= 的上限顯然對(duì)應(yīng)各水平段處在各自可達(dá)到的最高位置，實(shí)現(xiàn)它的方案是垂直段每下降小量，便接一段水平小量，這兩個(gè)小量之間恒有，角即為ACB，水平段到達(dá)斜邊邊界后，再下降一小量并接一相應(yīng)的水平量，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成如圖所示的微齒形軌道，由于、均為小量，小球在其中的運(yùn)動(dòng)可處理為勻速率運(yùn)動(dòng)，分別所經(jīng)的時(shí)間小量與之間有如下關(guān)聯(lián)：于是作為之和的上限與作為之和的之比也為故的上限必為，即得：這樣=7:5例5 在光滑的水平面上有兩個(gè)質(zhì)量可忽略的相同彈簧，它們的一對(duì)端點(diǎn)共同連接著一個(gè)光滑的小物體，另外一對(duì)端點(diǎn)A、B固定在水平面上，并恰使兩彈簧均處于自由長(zhǎng)度狀態(tài)且在同一直線上，如圖145所示.如果小物體在此平面上沿著垂直于A、B連線的方向稍稍偏離初始位置，試分析判斷它是否將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？解析 因?yàn)橐粋€(gè)物體是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)就是要看它所受的回復(fù)力是否是一個(gè)線性力，即回復(fù)力的大小與位移大小成正經(jīng)，方向相反.因此分析判斷該題中的小物體是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是求出所受的回復(fù)力的表達(dá)式（即此題中所受合外力的表達(dá)式）.以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)且垂直于AB的直線為軸，如圖145甲所示，取軸正方向?yàn)檎较?，小物體所受回復(fù)力為： 其中為彈簧的勁度系數(shù)，為彈簧的自由長(zhǎng)度，為彈簧伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度，為彈簧伸長(zhǎng)后與AB直線的夾角.由幾何知識(shí)可得 將、代入式得：由此可見，小物體受的合外力是一個(gè)非線性回復(fù)力，因此小物體將不做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).同時(shí)本題表明，平衡位置附近的小振動(dòng)未必都是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).例6 三根長(zhǎng)度均為，質(zhì)量均勻的直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點(diǎn)懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng).桿AB是一導(dǎo)軌，一電動(dòng)玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，如圖146所示，現(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，而框架卻靜止不動(dòng)，試論證松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng).解析 松鼠在AB軌道運(yùn)動(dòng)，當(dāng)框架不動(dòng)時(shí)，松鼠受到軌道給它的水平力F作用，框架也受到松鼠給它的水平力F作用，設(shè)在某一時(shí)刻，松鼠離桿AB的中點(diǎn)O的距離為，如圖146所示，松鼠在豎直方向?qū)?dǎo)軌的作用力等于松鼠受到的重力，m為松鼠的質(zhì)量.以C點(diǎn)為軸，要使框架平衡，必須滿足條件，松鼠對(duì)AB桿的水平力為，式中L為桿的長(zhǎng)度.所以對(duì)松鼠而言，在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，沿豎直方向受到的合力為零，在水平方向受到桿AB的作用力為F，由牛頓第三定律可知F=F，即其中即松鼠在水平方向受到的作用力F作用下的運(yùn)動(dòng)應(yīng)是以O(shè)點(diǎn)為平衡位置的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)的周期為當(dāng)松鼠運(yùn)動(dòng)到桿AB的兩端時(shí)，它應(yīng)反向運(yùn)動(dòng)，按簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律，速度必須為零，所以松鼠做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅小于或等于L/2=1m.由以上論證可知，當(dāng)框架保持靜止時(shí)，松鼠在導(dǎo)軌AB上的運(yùn)動(dòng)是以AB的中點(diǎn)O為平衡位置，振幅不大于1m、周期為2.64s的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).例7 在一個(gè)橫截面面積為S的密閉容器中，有一個(gè)質(zhì)量為m的活塞把容器中的氣體分成兩部分.活塞可在容器中無(wú)摩擦地滑動(dòng)，活塞兩邊氣體的溫度相同，壓強(qiáng)都是，體積分別是V1和V2，如圖147所示.現(xiàn)用某種方法使活塞稍微偏離平衡位置，然后放開，活塞將在兩邊氣體壓力的作用下來(lái)回運(yùn)動(dòng).容器保持靜止，整個(gè)系統(tǒng)可看做是恒溫的. （1）求活塞運(yùn)動(dòng)的周期，將結(jié)果用、V1、V2、m和S表示； （2）求氣體溫度時(shí)的周期與氣體溫度=30時(shí)的周期之比值.解析 （1）活塞處于平衡時(shí)的位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)活塞運(yùn)動(dòng)到右邊距O點(diǎn)處時(shí)，左邊氣體的體積由V1變?yōu)閂1+，右邊氣體的體積由V2變?yōu)閂2，設(shè)此時(shí)兩邊氣體的壓強(qiáng)分別為和，因系統(tǒng)的溫度恒定不變，根據(jù)玻意耳定律有：而以上兩式解出： 按題意，活塞只稍許離開平衡位置，故上式可近似為： ，于是活塞受的合力為所以活塞的運(yùn)動(dòng)方程是其中是加速度，由此說(shuō)明活塞做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為（2）設(shè)溫度為時(shí)，周期為，溫度為時(shí)，周期為.由于，得出所以，將數(shù)值代入得例8 如圖148所示，在邊長(zhǎng)為的正三角形三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C處分別固定電量為Q的正點(diǎn)電荷，在其中三條中線的交點(diǎn)O上放置一個(gè)質(zhì)量為m，電量為的帶正電質(zhì)點(diǎn)，O點(diǎn)顯然為帶電質(zhì)點(diǎn)的平衡位置，設(shè)該質(zhì)點(diǎn)沿某一中線稍稍偏離平衡位置，試證明它將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其振動(dòng)周期.解析 要想證明帶電質(zhì)點(diǎn)是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則需證明該帶電質(zhì)點(diǎn)沿某一中線稍稍偏離平衡位置時(shí)，所受的回復(fù)力是否與它的位移大小成正比，方向相反.因此該題的關(guān)鍵是求出它所受回復(fù)力的表達(dá)式，在此題也就是合外力的表達(dá)式.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AOD中線為坐標(biāo)軸，如圖148甲所示，設(shè)帶電質(zhì)點(diǎn)在該軸上偏移，A處Q對(duì)其作用力為，B、C處兩個(gè)Q對(duì)其作用的合力為，取軸方向?yàn)檎较? 有因?yàn)楫?dāng)很小時(shí)可忽略高次項(xiàng)所以 （略去項(xiàng)） （略去項(xiàng)）因此帶電質(zhì)點(diǎn)所受合力為由此可知，合外力與大小成正比，方向相反.圖149即該帶電質(zhì)點(diǎn)將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)周期為例9 欲測(cè)電阻R的阻值，現(xiàn)有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)電阻、一個(gè)電池和一個(gè)未經(jīng)標(biāo)定的電流計(jì)，連成如圖149所示的電路.第一次與電流計(jì)并聯(lián)的電阻為50.00，電流計(jì)的示度為3.9格；第二次為100.00，電流計(jì)的示度為5.2格；第三次為10.00，同時(shí)將待測(cè)電阻R換成一個(gè)20.00k的標(biāo)準(zhǔn)電阻，結(jié)果電流計(jì)的示度為7.8格.已知電流計(jì)的示度與所通過(guò)的電流成正比，求電阻R的阻值.解析 在測(cè)試中，除待求量R外，電源電動(dòng)勢(shì)E，電源內(nèi)阻，電流計(jì)內(nèi)阻以及電流計(jì)每偏轉(zhuǎn)一格的電流，均屬未知.本題數(shù)據(jù)不足，且電流計(jì)讀數(shù)只有兩位有效數(shù)字，故本題需要用近似方法求解.設(shè)電源電動(dòng)勢(shì)為E，電流計(jì)內(nèi)阻為，電流計(jì)每偏轉(zhuǎn)一格的電流為，用歐姆定律對(duì)三次測(cè)量的結(jié)果列式如下：從第三次測(cè)量數(shù)據(jù)可知，當(dāng)用20k電阻取代R，而且阻值減小時(shí)電流計(jì)偏轉(zhuǎn)格數(shù)明顯增大，可推知R的阻值明顯大于20k，因此電源內(nèi)阻完全可以忽略不計(jì)，與R相比，電流計(jì)內(nèi)阻與的并聯(lián)值對(duì)干路電流的影響同樣也可以忽略不計(jì)，故以上三式可近似為： 待測(cè)電阻R=120k圖1410解、三式，可得=50例10 如圖1410所示，兩個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷A、B帶電量均為Q，固定放在軸上的兩處，離原點(diǎn)都等于.若在原點(diǎn)O放另一正點(diǎn)電荷P，其帶電量為，質(zhì)量為m，限制P在哪些方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在原點(diǎn)O才是穩(wěn)定的？解析 設(shè)軸與軸的夾角為，正電點(diǎn)電荷P在原點(diǎn)沿軸方向有微小的位移時(shí)，A、B兩處的點(diǎn)電荷對(duì)P的庫(kù)侖力分別為、，方向如圖1410所示，P所受的庫(kù)侖力在軸上的分量為 根據(jù)庫(kù)侖定律和余弦定理得 將、式代入得： 因?yàn)楹苄。雎缘茫?又因?yàn)樗岳媒朴?jì)算得 忽略得當(dāng)（時(shí)具有恢復(fù)線性形式，所以在范圍內(nèi)，P可圍繞原點(diǎn)做微小振動(dòng)，所以P在原點(diǎn)處是穩(wěn)定的.例11 某水池的實(shí)際深度為，垂直于水面往下看，水池底的視深為多少？（設(shè)水的折射率為）解析 如圖1411所示，設(shè)S為水池底的點(diǎn)光源，在由S點(diǎn)發(fā)出的光線中選取一條垂直于面MN的光線，由O點(diǎn)垂直射出，由于觀察者在S正方，所以另一條光線與光線SO成極小的角度從點(diǎn)S射向水面點(diǎn)A，由點(diǎn)A遠(yuǎn)離法線折射到空氣中，因入射角極小，故折射角也很小，進(jìn)入人眼的兩條折射光線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)S，該點(diǎn)即為我們看到水池底光源S的像，像點(diǎn)S到水面的距離，即為視深.由幾何關(guān)系有所以，因?yàn)?、均很小，則有，所以 又因所以視深針對(duì)訓(xùn)練1活塞把密閉氣缸分成左、右兩個(gè)氣室，每室各與U形管壓強(qiáng) 計(jì)的一臂相連，壓強(qiáng)計(jì)的兩臂截面處處相同.U形管內(nèi)盛有密度 為102kg/m3的液體.開始時(shí)左、右兩氣室的體積都為 V0=1.2102m3，氣壓都為103Pa，且液體的液面處 在同一高度，如圖1412所示.現(xiàn)緩緩向左推動(dòng)活塞，直到液體在 U形管中的高度差h=40cm.求此時(shí)左、右氣室的體積V1、V2.假 定兩氣室的溫度保持不變.計(jì)算時(shí)可以不計(jì)U形管和連接管道中 氣體的體積.取g=10m/s2.2一汽缸的初始體積為V0，其中盛有2mol的空氣和少量的水（水的體積可忽略），其平衡 時(shí)氣體的總壓強(qiáng)是3.0大氣壓.經(jīng)過(guò)等溫膨脹使其體積加倍，在膨脹過(guò)程結(jié)束時(shí)，其中的 水剛好全部消失，此時(shí)的總壓強(qiáng)為2.0大氣壓.若讓其繼續(xù)作等溫膨脹，使其體積再次加 倍，試計(jì)算此時(shí)： （1）汽缸中氣體的溫度； （2）汽缸中水蒸氣的摩爾數(shù)； （3）汽缸中氣體的總壓強(qiáng). （假定空氣和水蒸氣均可當(dāng)做理想氣體處理）圖141331964年制成了世界上第一盞用海浪發(fā)電的航標(biāo)燈，它的氣 室示意圖如圖1413所示.利用海浪上下起伏力量，空氣 能被吸進(jìn)來(lái)，壓縮后再推入工作室，推動(dòng)渦輪機(jī)帶動(dòng)發(fā)電 機(jī)發(fā)電.當(dāng)海水下降時(shí)，閥門S1關(guān)閉，S2打開，設(shè)每次吸 入壓強(qiáng)為1.0106Pa、溫度為7的空氣0.233m3（空氣可 視為理想氣體），當(dāng)海上升時(shí)，S2關(guān)閉，海水推動(dòng)活塞 絕熱壓縮空氣，空氣壓強(qiáng)達(dá)到105Pa時(shí)，閥門S1才 打開.S1打開后，活塞繼續(xù)推動(dòng)空氣，直到氣體全部推入工 作室為止，同時(shí)工作室的空氣推動(dòng)渦輪機(jī)工作.設(shè)打開S1后，活塞附近的壓強(qiáng)近似保持不 變，活塞的質(zhì)量及活塞筒壁間的摩擦忽略不計(jì).問(wèn)海水每次上升時(shí)所做的功是多少？已知 空氣從壓強(qiáng)為、體積為V1的狀態(tài)絕熱的改變到壓強(qiáng)為、體積為V2的狀態(tài)過(guò)程中， 近似遵循關(guān)系式/=（V2/V1）5/3，1mol理想氣體溫度升高1K時(shí)，內(nèi)能改變?yōu)閳D1414 3R/2.R=8.31J/(molK)4如圖1414所示，在O軸的坐標(biāo)原點(diǎn)O處， 有一固定的電量為的點(diǎn)電荷，