2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十二章系列4選講12.1坐標(biāo)系與參數(shù)方程（第2課時(shí)）參數(shù)方程教案文（含解析）新人教A版.docx

第2課時(shí)參數(shù)方程最新考綱考情考向分析1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程.了解參數(shù)的意義，重點(diǎn)考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及圓、橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，往往與極坐標(biāo)結(jié)合考查.在高考選做題中以解答題形式考查，難度為中檔.1.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系yg(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程.2.常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線yy0tan(xx0)(t為參數(shù))圓x2y2r2(為參數(shù))橢圓1(ab0)(為參數(shù))拋物線y22px(p0)(t為參數(shù))概念方法微思考1.在直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))中，(1)t的幾何意義是什么？(2)如何利用t的幾何意義求直線上任意兩點(diǎn)P1，P2的距離？提示(1)t表示在直線上過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)與直線上的任一點(diǎn)P(x，y)構(gòu)成的有向線段P0P的數(shù)量.(2)|P1P2|t1t2|.2.圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是什么？提示的幾何意義為該圓的圓心角.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù).()(2)方程(為參數(shù))表示以點(diǎn)(0,1)為圓心，以2為半徑的圓.()(3)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為.()題組二教材改編2.曲線(為參數(shù))的對(duì)稱(chēng)中心()A.在直線y2x上B.在直線y2x上C.在直線yx1上D.在直線yx1上答案B解析由得所以(x1)2(y2)21.曲線是以(1,2)為圓心，1為半徑的圓，所以對(duì)稱(chēng)中心為(1,2)，在直線y2x上.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：(為參數(shù))的右頂點(diǎn)，求常數(shù)a的值.解直線l的普通方程為xya0，橢圓C的普通方程為1，橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，若直線l過(guò)(3,0)，則3a0，a3.題組三易錯(cuò)自糾4.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求直線l的斜率.解將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y23(x1)，因此直線l的斜率為3.5.設(shè)P(x，y)是曲線C：(為參數(shù)，0,2)上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.解由曲線C：(為參數(shù))，得(x2)2y21，表示圓心為(2,0)，半徑為1的圓.表示的是圓上的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率，設(shè)k，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ykx和圓有交點(diǎn)的問(wèn)題，即圓心到直線的距離dr，所以1，解得k，所以的取值范圍為.6.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是2cos，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)設(shè)點(diǎn)P(m,0)，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|PB|1，求實(shí)數(shù)m的值.解(1)曲線C的極坐標(biāo)方程是2cos，化為22cos，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，消去參數(shù)t可得xym，即直線l的普通方程為yxm0.(2)把(t為參數(shù))代入方程x2y22x，化為t2(m)tm22m0，由0，解得1m0.實(shí)數(shù)m1或m1.題型一參數(shù)方程與普通方程的互化1.(2018包頭調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；(2)將曲線C上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再將所得到的曲線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C1，求曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值.解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y24x，即(x2)2y24.直線l的普通方程為xy20.(2)將曲線C上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得(2x2)2y24，即(x1)21，再將所得曲線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得曲線C1：x21，則曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設(shè)曲線C1上任一點(diǎn)P(cos，2sin)，則點(diǎn)P到直線l的距離d，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為.2.在圓錐曲線論中，阿波羅尼奧斯第一次從一個(gè)對(duì)頂圓錐(直或斜)得到所有的圓錐曲線，并命名了橢圓(ellipse)、雙曲線(hyperboler)和拋物線(parabola)，在這本晦澀難懂的書(shū)中有一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“在平面上給定兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿(mǎn)足(0且1)，P點(diǎn)的軌跡是圓.”這個(gè)圓我們稱(chēng)之為“阿波羅尼奧斯圓”.已知點(diǎn)M與長(zhǎng)度為3的線段OA兩端點(diǎn)的距離之比為，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出M點(diǎn)的軌跡方程并化為參數(shù)方程.解由題意，以O(shè)A所在直線為x軸，過(guò)O點(diǎn)作OA的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y)，則O(0,0)，A(3,0).因?yàn)?，即，化?jiǎn)得(x1)2y24，所以點(diǎn)M的軌跡是以(1,0)為圓心，2為半徑的圓.由圓的參數(shù)方程可得思維升華消去參數(shù)的方法一般有三種(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達(dá)式，然后代入消去參數(shù).(2)利用三角恒等式消去參數(shù).(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù).將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍.題型二參數(shù)方程的應(yīng)用例1在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率.解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.當(dāng)cos0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為ytanx2tan，當(dāng)cos0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，于是直線l的斜率ktan2.思維升華 (1)解決直線與橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系來(lái)解決.(2)對(duì)于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2b21時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題.跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓C：1，直線l：(t為參數(shù)).(1)寫(xiě)出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；(2)設(shè)A(1,0)，若橢圓C上的點(diǎn)P滿(mǎn)足到點(diǎn)A的距離與到直線l的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解(1)橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的普通方程為xy90.(2)設(shè)P(2cos，sin)，則|AP|2cos，P到直線l的距離d.由|AP|d，得3sin4cos5，又sin2cos21，得sin，cos.故P.題型三極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例2(2017全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.(1)寫(xiě)出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cos sin )0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑.解(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y(x2).設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得消去k得x2y24(y0).所以C的普通方程為x2y24(y0).(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2sin2)4(02，).聯(lián)立得cossin2(cossin).故tan，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4，得25，所以交點(diǎn)M的極徑為.思維升華在對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢(shì)，靈活地利用坐標(biāo)法可以更簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題.例如，將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解就是一種常見(jiàn)的解題方法，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為，C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).將曲線C1與C2的方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程；若C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.解曲線C1的極坐標(biāo)方程，即2sin22cos ，曲線C1的普通方程為y22x，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，得C2的普通方程為xy4.將C2的參數(shù)方程代入C1的普通方程并化簡(jiǎn)得t23t0，解得t10，t26，故|AB|t1t2|6.(2)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos.將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|MB|的值.解2cos變形為22cos.()將2x2y2，cosx代入()式即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.()將代入()式，得t25t180.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義知，|MA|MB|t1t2|18.1.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線C的普通方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn))作直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若P恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.解(1)由曲線C的參數(shù)方程，得所以cos2sin22y21，所以曲線C的普通方程為y21.(2)設(shè)直線l的傾斜角為1，則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得(cos214sin21)t2(2cos14sin1)t20，所以t1t2，由題意知t1t2，所以2cos14sin10，得k，所以直線l的方程為x2y20.2.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)M(x，y)為曲線C上任意一點(diǎn)，求xy的取值范圍.解(1)由得y2x6，故直線l的普通方程為2xy60，由2cos，得22cos，所以x2y22x，即(x)2y22，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x)2y22.(2)根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M(cos，sin)，則xycossin2sin，所以xy的取值范圍是2，2.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為cos2sin60.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程及曲線C的普通方程；(2)設(shè)M是曲線C上的一動(dòng)點(diǎn)，求M到直線l的距離的最小值.解(1)由得y21，故曲線C的普通方程為y21.由cos 2sin 60及xcos ，ysin ，得x2y60.故直線l的直角坐標(biāo)方程為x2y60.(2)設(shè)M(2cos t，sin t)，則點(diǎn)M到直線l：x2y60的距離d，所以當(dāng)sin1時(shí)，dmin，即M到直線l的距離的最小值為.4.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4sin.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)P(x，y)是直線l與圓面4sin的公共點(diǎn)，求xy的取值范圍.解(1)因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為4sin，所以24sin4.又2x2y2，xcos，ysin，所以x2y22y2x，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0.(2)設(shè)zxy，由圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0，得(x1)2(y)24，所以圓C的圓心是(1，)，半徑是2.將代入到zxy，得zt.又直線l過(guò)C(1，)，圓C的半徑是2，所以2t2，所以2t2，即xy的取值范圍是2,2.5.已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(為參數(shù)).(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：(t為參數(shù))的距離的最小值.解(1)曲線C1：(x4)2(y3)21，曲線C2：1，曲線C1是以(4,3)為圓心，1為半徑的圓；曲線C2是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓.(2)當(dāng)t時(shí)，P(4,4)，Q(8cos，3sin)，故M.曲線C3為直線x2y70，M到C3的距離d|4cos3sin13|，從而當(dāng)cos，sin時(shí)，d取最小值.6.已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C1上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線C2，以原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.(1)求曲