微分中值定理的證明與應(yīng)用.doc

微分中值定理的證明與應(yīng)用 B09030124 孫吉斌一 中值定理及證明：1. 極值的概念和可微極值點(diǎn)的必要條件:定理 ( Fermat ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)可導(dǎo)，若點(diǎn)為的極值點(diǎn)，則必有 羅爾中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（iii），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（）=0。證明：因?yàn)樵赼,b上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現(xiàn)分兩種情況討論：(i)若M = m , 則 在a,b上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立。(ii)若m M，則因 (a)=(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個(gè)在(a,b)內(nèi)某點(diǎn)處取得，從而是的極值點(diǎn)，由條件(ii) 在點(diǎn)處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知=0.注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條水平切線。注2：習(xí)慣上把結(jié)論中的稱為中值，羅爾定理的三個(gè)條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個(gè)條件，定理的結(jié)論將不一定成立。例如： 易見，F(xiàn)在x=-1不連續(xù)，在x=1不可導(dǎo)，F(xiàn)(-2)F（2）, 即羅爾定理的三個(gè)條件均不成立，但是在（-2，2）內(nèi)存在點(diǎn) , 滿足 注3：羅爾定理結(jié)論中的值不一定唯一，可能有一個(gè)，幾個(gè)甚至無限多個(gè)，例如：在 -1，1 上滿足羅爾定理的條件，顯然在（-1，1）內(nèi)存在無限多個(gè) = 使得=0。2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函數(shù) 滿足如下條件：i)在閉區(qū)間上連續(xù)；ii）在開區(qū)間()內(nèi)可導(dǎo)；則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得證明此定理要構(gòu)造輔助函數(shù) ，使得滿足羅爾定理的條件（i）-(iii) 且，從而推得證明：作輔助函數(shù)顯然，F(xiàn)（a）=F(b)（=0），且F在a，b上滿足羅爾定理的另兩個(gè)條件，故存在點(diǎn)(a，b)，使得 即 注1羅爾定理是拉格朗日中值定理時(shí)的特例注2幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線AB，我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線 與直線AB,之差，事實(shí)上，這個(gè)輔助函數(shù)的引入相當(dāng)于坐標(biāo)系統(tǒng)原點(diǎn)在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，使在新坐標(biāo)系下，線段AB平行于新軸（F（a）=F（b）。注3此定理的證明提供了一個(gè)用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)學(xué)命題的精彩典范；同時(shí)通過巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將一般化為特殊，將復(fù)雜問題化為簡單問題的論證思想，也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。注4拉格朗日中值定理的結(jié)論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價(jià)形式，可根據(jù)不同問題的特點(diǎn)，在不同場合靈活采用： 注5拉格朗日中值定理的兩個(gè)條件彼此有關(guān)，并不彼此獨(dú)立，因?yàn)椋涸冢╝,b）可導(dǎo)可以推出在（a，b）連續(xù)，但反之不成立。把這兩個(gè)條件的“重疊”部分去掉，改成“函數(shù)在（a，b）可導(dǎo)且在a右連續(xù)在b左連續(xù)”這樣，兩個(gè)條件互相獨(dú)立，但文字累贅且不便記憶，因此一般不這樣敘述。 3、拉格朗日中值定理的幾個(gè)重要推論推論1 函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)且為I上的常值函數(shù). 證明： 任取兩點(diǎn) （設(shè)），在區(qū)間 上應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在 （）I，使得推論2 函數(shù)和在區(qū)間I上可導(dǎo)且推論3（導(dǎo)數(shù)極限定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域U（）內(nèi)連續(xù)，在U（）內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在，則在點(diǎn)可導(dǎo)，且證明：分別按左右導(dǎo)數(shù)來證明上式成立（1） 任取，在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，則存在，使得由于，因此當(dāng)時(shí)隨之有，對(duì)上式兩邊取極限，使得 （2）同理可得因?yàn)?存在，所以=，從而即注1由推論3可知：在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)在I上的每一點(diǎn)，要么是連續(xù)點(diǎn)，要么是第二類間斷點(diǎn)，不可能出現(xiàn)第一類間斷點(diǎn)。注2導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。推論4 ( 導(dǎo)函數(shù)的介值性 ) 若函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo), 且 ( 證 )二 應(yīng)用舉例:1可微函數(shù)單調(diào)性判別法：1.1 一階函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系：(1) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)(或) 在內(nèi) ( 或 ).證 ) ) 證.(2) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)( 或) 對(duì) 有 ( 或; 在內(nèi)任子區(qū)間上2 可微極值點(diǎn)判別法: 極值問題: 極值點(diǎn), 極大值還是極小值, 極值是多少.2.1 可微極值點(diǎn)的必要條件: Fermat定理函數(shù)的駐點(diǎn)和(連續(xù)但)不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為可疑點(diǎn), 可疑點(diǎn)的求法.2.2 極值點(diǎn)的充分條件: 對(duì)每個(gè)可疑點(diǎn), 用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極值點(diǎn).(充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù), 在鄰域和內(nèi)可導(dǎo). 則 在內(nèi) 在內(nèi)時(shí), 為的一個(gè)極小值點(diǎn); 在內(nèi) 在內(nèi)時(shí), 為的一個(gè)極大值點(diǎn); 若在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)同號(hào), 則不是極值點(diǎn). (充分條件) 設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)且存在.則 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極大值點(diǎn); 當(dāng)時(shí), 為的一個(gè)極小值點(diǎn).證法一 當(dāng)時(shí), 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)與異號(hào),證法二 用Taylor公式展開到二階, 帶Peano型余項(xiàng).(充分條件 ) 設(shè),而.則 為奇數(shù)時(shí), 不是極值點(diǎn); 為偶數(shù)時(shí), 是極值點(diǎn). 且對(duì)應(yīng)極小; 對(duì)應(yīng)極大.2.3 利用單調(diào)性證明不等式: 原理1: 若, 則對(duì), 有不等式.例4 證明: 對(duì)任意實(shí)數(shù)和, 成立不等式 證 取在內(nèi).于是, 由 , 就有 , 即 .不等式原理: 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且; 又 則 時(shí), (不等式原理的其他形式.)2.4.1 凸性的定義及判定：（1）凸性的定義：由直觀引入. 強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù). 若對(duì), 恒有 , 或. 則稱曲線在區(qū)間上是凹(或凸)的. 若在上式中, 當(dāng)時(shí), 有嚴(yán)格不等號(hào)成立, 則稱曲線在區(qū)間上是嚴(yán)格凹(或嚴(yán)格凸)的. 凹和凸也分別稱為上凸和下凸.(2) 凸性的幾何意義: 倘有切線, 與切線的位置關(guān)系; 與弦的位置關(guān)系; 曲線的彎曲方向.2.4.2 利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向: 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi) 在內(nèi)嚴(yán)格上凸; 在內(nèi)嚴(yán)格下凸.該判別法也俗稱為“雨水法則”.證法一 ( 用Taylor公式 ) 對(duì) 設(shè), 把在點(diǎn)展開成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式, 有 .其中和在與之間. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中, 即嚴(yán)格上凸. 若有 上式中, 即嚴(yán)格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 則有, 不妨設(shè),并設(shè) ,分別在區(qū)間和上應(yīng)用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， 單調(diào)函數(shù)的最值: 如果函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)且僅有一個(gè)駐點(diǎn), 則當(dāng)為極大值點(diǎn)時(shí), 亦為最大值點(diǎn); 當(dāng)為極小值點(diǎn)時(shí), 亦為最小值點(diǎn). 若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)且僅有一個(gè)極大(或小)值點(diǎn), 則該