【步步高】高考數(shù)學總復習 4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)配套文檔 理 新人教A版 (1).DOC

4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1角的概念(1)任意角：定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負角和零角(2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構成的角的集合是s|k360，kz(3)象限角：使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么這個角不屬于任何一個象限2弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad,1 rad.(3)扇形的弧長公式：l|r，扇形的面積公式：slr|r2.3任意角的三角函數(shù)任意角的終邊與單位圓交于點p(x，y)時，sin y，cos x，tan (x0)三個三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sin rcos rtan |k，kz4.三角函數(shù)線如下圖，設角的終邊與單位圓交于點p，過p作pmx軸，垂足為m，過a(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長線相交于點t.三角函數(shù)線()() ()()有向線段mp為正弦線；有向線段om為余弦線；有向線段at為正切線1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)小于90的角是銳角()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等()(4)點p(tan ，cos )在第三象限，則角終邊在第二象限()(5)(0，)，則tan sin .()(6)為第一象限角，則sin cos 1.()2下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()a2k45 (kz) bk360 (kz)ck360315(kz) dk (kz)答案c解析與的終邊相同的角可以寫成2k(kz)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案c正確3已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()a1 b4c1或4 d2或4答案c解析設此扇形的半徑為r，弧長為l，則解得或從而4或1.4已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若p(4，y)是角終邊上一點，且sin ，則y_.答案8解析因為sin ，所以y0，且y264，所以y8.5函數(shù)y的定義域為_答案(kz)解析2cos x10，cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kz).題型一角及其表示例1(1)終邊在直線yx上的角的集合是_(2)如果是第三象限角，那么角2的終邊落在_思維啟迪(1)利用終邊相同的角的集合進行表示，注意對結果進行合并；(2)根據(jù)的范圍求2的范圍，再確定終邊位置答案(1)|k，kz(2)第一、二象限或y軸的非負半軸上解析(1)在(0，)內(nèi)終邊在直線yx上的角是，終邊在直線yx上的角的集合為|k，kz(2)2k2k，kz，4k224k3，kz.角2的終邊落在第一、二象限或y軸的非負半軸上思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角(2)利用終邊相同的角的集合s|2k，kz判斷一個角所在的象限時，只需把這個角寫成0,2)范圍內(nèi)的一個角與2的整數(shù)倍的和，然后判斷角的象限(1)在直角坐標平面內(nèi)，對于始邊為x軸非負半軸的角，下列命題中正確的是()a第一象限中的角一定是銳角b終邊相同的角必相等c相等的角終邊一定相同d不相等的角終邊一定不同(2)已知角45，在區(qū)間720，0內(nèi)與角有相同終邊的角_.答案(1)c(2)675或315解析(1)第一象限角是滿足2k2k，kz的角，當k0時，它都不是銳角，與角終邊相同的角是2k，kz；當k0時，它們都與不相等，亦即終邊相同的角可以不相等，但不相等的角終邊可以相同(2)由終邊相同的角關系知k36045，kz，取k2，1，得675或315.題型二三角函數(shù)的概念例2(1)已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2等于()a b c. d.(2)若sin tan 0，且0，則角是()a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角思維啟迪(1)由于三角函數(shù)值與選擇終邊上的哪個點沒有關系，因此知道了終邊所在的直線，可在這個直線上任取一點，然后按照三角函數(shù)的定義來計算，最后用倍角公式求值(2)可以根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號判斷答案(1)b(2)c解析(1)取終邊上一點(a,2a)，a0，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos ，故cos 22cos21.(2)由sin tan 0可知sin ，tan 異號，從而為第二或第三象限角由0可知cos ，tan 異號，從而為第三或第四象限角，故為第三象限角思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r.(2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號來確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號，理解并記憶：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(1)已知角的終邊過點p(8m，6sin 30)，且cos ，則m的值為()a b.c d.(2)若是第二象限角，則_0.(判斷大小)答案(1)b(2)0，即m.(2)是第二象限角，1cos 0,0sin 1，sin(cos )0，0)，所在圓的半徑為r.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值c (c0)，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？思維啟迪(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關于的函數(shù)解(1)設弧長為l，弓形面積為s弓，則60，r10，l10 (cm)，s弓s扇s10102sin 50 (cm2)(2)扇形周長c2rl2rr，r，s扇r22.當且僅當24，即2時，扇形面積有最大值.思維升華涉及弧長和扇形面積的計算時，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結構簡單，易記好用，在使用前，應將圓心角用弧度表示弧長和扇形面積公式：l|r，s|r2.已知扇形的周長為4 cm，當它的半徑為_和圓心角為_弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是_答案1 cm21 cm2解析設扇形圓心角為，半徑為r，則2r|r4，|2.s扇形|r22rr2(r1)21，當r1時(s扇形)max1，此時|2.數(shù)形結合思想在三角函數(shù)中的應用典例：(12分)(1)求函數(shù)ylg(34sin2x)的定義域；(2)設是第二象限角，試比較sin ，cos ，tan 的大小思維啟迪(1)求定義域，就是求使34sin2x0的x的范圍用三角函數(shù)線求解(2)比較大小，可以從以下幾個角度觀察：是第二象限角，是第幾象限角？首先應予以確定sin ，cos ，tan 不能求出確定值，但可以畫出三角函數(shù)線借助三角函數(shù)線比較大小規(guī)范解答解(1)34sin2x0，sin2x，sin x.2分利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，x(kz)4分(2)是第二象限角，2k2k，kz，kk，kz，是第一或第三象限的角6分(如圖陰影部分)，結合單位圓上的三角函數(shù)線可得：當是第一象限角時，sin ab，cos oa，tan ct，從而得，cos sin tan ；8分當是第三象限角時，sin ef，cos oe，tan ct，得sin cos tan .10分綜上可得，當在第一象限時，cos sin tan ；當在第三象限時，sin cos tan .12分溫馨提醒(1)第(1)小題的實質(zhì)是解一個簡單的三角不等式，可以用三角函數(shù)圖象，也可以用三角函數(shù)線但用三角函數(shù)線更方便(2)第(2)小題比較大小，由于沒有給出具體的角度，所以用圖形可以更直觀的表示(3)本題易錯點：不能確定所在的象限；想不到應用三角函數(shù)線原因在于概念理解不透，方法不夠靈活.方法與技巧1在利用三角函數(shù)定義時，點p可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點|op|r一定是正值2三角函數(shù)符號是重點，也是難點，在理解的基礎上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧失誤與防范1注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180 rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用3已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況.a組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題1k18045(kz)，則在()a第一或第三象限 b第一或第二象限c第二或第四象限 d第三或第四象限答案a解析45角在第一象限，角和45角終邊相同或互為反向延長線，角在第一或第三象限2若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角(0，)的弧度數(shù)為()a. b. c. d2答案c解析設圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為r，所以rr，.3角的終邊過點p(1,2)，則sin 等于()a. b. c d答案b解析由三角函數(shù)的定義，得sin .4若是第三象限角，則下列各式中不成立的是()asin cos 0 btan sin 0ccos tan 0 dtan sin 0答案b解析在第三象限，sin 0，cos 0，則可排除a、c、d，故選b.5給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos 0，cos 0，在第四象限，由tan ，得的最小正值為.8y 的定義域為_答案x|2kx2k，kz解析sin x，作直線y交單位圓于a、b兩點，連接oa、ob，則oa與ob圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為x|2kx2k，kz三、解答題9已知角的終邊經(jīng)過點p(，m) (m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由題意，得r，所以sin m.因為m0，所以m，故角是第二或第三象限角當m時，r2，點p的坐標為(，)，角是第二象限角，所以cos ，tan ；當m時，r2，點p的坐標為(，)，角是第三象限角，所以cos ，tan .10一個扇形oab的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長ab.解設圓的半徑為r cm，弧長為l cm，則解得圓心角2弧度如圖，過o作ohab于h，則aoh1弧度ah1sin 1sin 1(cm)，ab2sin 1(cm)b組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)1設集合mx|x18045，kz，nx|x18045，kz，那么()amn bmncnm dmn答案b解析方法一由于mx|x18045，kz，45，45，135，225，nx|x18045，kz，45，0，45，90，135，180，225，顯然有mn.方法二由于集合m中，x18045k904545(2k1)，2k1是奇數(shù)；而集合n中，x18045k4545(k1)45，k1是整數(shù)，因此必有mn.2已知角2k(kz)，若角與角的終邊相同，則y的值為()a1 b1 c3 d3答案b解析由2k(kz)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan 0.所以y1111.3函數(shù)y 的定義域是_答案(kz)解析由題意知即x的取值范圍為2kx2k，kz.4已知扇形aob的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大小；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長ab.解設扇形aob的半徑為r，弧長為l，圓心角為，(1)由題意可得解得或或6.(2)2rl8，s扇lrl2r()2()24，當且僅當2rl，即