概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第8講.ppt

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八講 第三章隨機(jī)向量 有些隨機(jī)現(xiàn)象只用一個(gè)隨機(jī)變量來描述是不夠的 需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來同時(shí)描述 3 導(dǎo)彈在空中位置 坐標(biāo) X Y Z 1 某人體檢數(shù)據(jù) 血壓X和心律Y 例如 2 鋼的基本指標(biāo) 含碳量X 含硫量Y和硬度Z 一般地 將隨機(jī)試驗(yàn)涉及到的n個(gè)隨機(jī)量X1 X2 Xn放在一起 記成 X1 X2 Xn 稱n維隨機(jī)向量 或變量 由于從二維隨機(jī)向量推廣到多維隨機(jī)向量并無實(shí)質(zhì)性困難 所以 我們著重討論二維隨機(jī)向量 3 1二維隨機(jī)向量及其分布函數(shù) 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為 X X 與Y Y 是定義在 上的兩個(gè)隨機(jī)變量 由它們構(gòu)成的向量 X Y 稱為二維隨機(jī)向量 二維隨機(jī)向量 X Y 的性質(zhì)不僅與X和Y的性質(zhì)有關(guān) 而且還依賴于X和Y之間的相互關(guān)系 因此 必須把 X Y 作為一個(gè)整體來看待 加以研究 為此 首先引入二維隨機(jī)向量 X Y 的分布函數(shù)的概念 定義二維隨機(jī)向量 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為 取定x0 y0 R F x0 y0 就是點(diǎn) X Y 落在平面上 以 x0 y0 為頂點(diǎn) 且位于該點(diǎn)左下方無限矩形區(qū)域上的概率 如果將 X Y 看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo) 由上面的幾何解釋 易見 隨機(jī)點(diǎn) X Y 落在矩形區(qū)域 x1 x x2 y1 y y2內(nèi)的概率為 P x1 X x2 y1 Y y2 F x2 y2 F x2 y1 F x1 y2 F x1 y1 說明 二維分布函數(shù)F x y 的三條基本性質(zhì) 1 F x y 是變量x y的非減函數(shù) 即 y R給定 當(dāng)x1 x2時(shí) F x1 y F x2 y 同樣 x R給定 當(dāng)y1 y2時(shí) F x y1 F x y2 2 x y R 有0 F x y 1 3 y R F y 0 x R F x 0 F 0 F 1 其中 3 2二維離散型隨機(jī)向量 如果隨機(jī)向量 X Y 的每個(gè)分量都是離散型隨機(jī)變量 則稱 X Y 是二維離散型隨機(jī)向量 二維離散型隨機(jī)向量 X Y 所有可能取的值也是有限個(gè) 或可列無窮個(gè) 離散型隨機(jī)變量X的概率分布 離散型隨機(jī)向量 X Y 的聯(lián)合概率分布 聯(lián)合概率分布也可以用表格表示 表3 2 1 二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布與聯(lián)合分布函數(shù) 設(shè)二維離散型隨機(jī)向量 X Y 的聯(lián)合概率分布為pij i 1 2 j 1 2 于是 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為 例1 設(shè)有10件產(chǎn)品 其中7件正品 3件次品 現(xiàn)從中任取兩次 每次取一件 取后不放回 令 X 1 若第一次取到的產(chǎn)品是次品 X 0 若第一次取到的產(chǎn)品是正品 Y 1 若第二次取到的產(chǎn)品是次品 Y 0 若第二次取到的產(chǎn)品是正品 求 二維隨機(jī)向量 X Y 的概率分布 解 X Y 所有可能取的值是 0 0 0 1 1 0 1 1 P X 0 Y 0 P 第一次取正品 第二次取正品 利用古典概型 得 P X 0 Y 0 7 6 10 9 7 15 同理 得P X 0 Y 1 7 3 10 9 7 30 P X 1 Y 0 3 7 10 9 7 30 P X 1 Y 1 3 2 10 9 1 15 例2 為了進(jìn)行吸煙與肺癌關(guān)系的研究 隨機(jī)調(diào)查了23000個(gè)40歲以上的人 其結(jié)果列在下表之中 X 1 若被調(diào)查者不吸煙 X 0 若被調(diào)查者吸煙 Y 1 若被調(diào)查者未患肺癌 Y 0 若被調(diào)查者患肺癌 從表中各種情況出現(xiàn)的次數(shù) 計(jì)算各種情況出現(xiàn)的頻率 就產(chǎn)生了二維隨機(jī)向量 X Y 的概率分布 P X 0 Y 0 3 23000 0 00013 P X 1 Y 0 1 23000 0 00004 P X 0 Y 1 4597 23000 0 19987 P X 1 Y 1 18399 23000 0 79996 3 3 1概率密度 設(shè)二維隨機(jī)向量 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為F x y 如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)f x y 使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x y 有 則稱 X Y 為連續(xù)型隨機(jī)向量 f x y 為 X Y 的概率密度函數(shù) 簡(jiǎn)稱概率密度 3 3二維連續(xù)型隨機(jī)向量 連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度 連續(xù)型隨機(jī)向量 X Y 的聯(lián)合概率密度 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)向量 X Y 聯(lián)合概率密度與分布函數(shù)關(guān)系如下 在f x y 的連續(xù)點(diǎn) 解 1 由 例1 設(shè) X Y 的聯(lián)合概率密度為 其中A是常數(shù) 1 求常數(shù)A 2 求 X Y 的分布函數(shù) 3 計(jì)算P 0 X 4 0 Y 5 3 P 0 X 4 0 Y 5 3 3 2均勻分布 定義 設(shè)D是平面上的有界區(qū)域 其面積為d 若二維隨機(jī)向量 X Y 的聯(lián)合概率密度為 則稱 X Y 為服從D上的均勻分布 X Y 落在D中某一區(qū)域A內(nèi)的概率P X Y A 與A的面積成正比 而與A的位置和形狀無關(guān) P X Y A A的面積 d 解 例2 設(shè) X Y 服從圓域x2 y2 4上的均勻分布 計(jì)算P X Y A 這里A是中陰影部分的區(qū)域 圓域x2 y2 4面積d 4 區(qū)域A是x 0 y 0和x y 1三條直線所圍成的三角區(qū)域 并且包含在圓域x2 y2 4之內(nèi) 面積 0 5 故 P X Y A 0 5 4 1 8 若二維隨機(jī)向量 X Y 有聯(lián)合概率密度 3 3 3二維正態(tài)分布 正態(tài)分布 X Y 的概率