概率統(tǒng)計(jì)2-4(1).ppt

1 2 4幾種重要的離散型分布 二項(xiàng)分布超幾何分布泊松分布在這一節(jié)里 我們將集中討論幾種常用的離散型分布 前面提到的兩點(diǎn)分布 0 1分布是最簡(jiǎn)單的離散型分布 它們描述的是只有兩種對(duì)立結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn) 下面我們將介紹另幾種常用離散型分布 它們之間有密切而深刻的內(nèi)在聯(lián)系 2 n重伯努利試驗(yàn) 我們前面提到的0 1分布所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)稱伯努利試驗(yàn)或伯努利概型 即隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果只有對(duì)立的兩種狀態(tài) 一種記為x 1 其概率為p 另一種記為x 0 其概率為1 p 其概率分布表為 現(xiàn)在我們考慮將上述伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次 觀測(cè)其中一種狀態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)X 這n次作為一個(gè)整體的試驗(yàn)叫做n重伯努利試驗(yàn) 3 n重伯努利試驗(yàn) 例 設(shè)某射手每次射擊的中靶率為p 0 p 1 該射手射擊n次 現(xiàn)在考察這n次射擊中中靶次數(shù)X的分布 則這是一個(gè)n重伯努利試驗(yàn) 定義 設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次 每次試驗(yàn)中 事件A發(fā)生的概率均為p 0 p 1 則稱這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn) 更一般化的定義 4 引例 例 某射手在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊 每次擊中目標(biāo)的概率是0 6 求擊中目標(biāo)次數(shù)X的概率分布 解 X的可能取值為0 1 2 3 4 5 設(shè)事件Ai表示第i i 1 2 5 次射中 則Ai相互獨(dú)立 P X 0 1 0 6 5 0 45 P X 1 5 0 6 1 0 6 4 類推可得 i 0 1 2 3 4 5 5 二項(xiàng)分布 定義 如果隨機(jī)變量X的分布律為 其中0 p 1 q 1 p 則稱X服從參數(shù)為n p的二項(xiàng)分布 簡(jiǎn)記作X B n p 注 在這里P X k 的值恰好是二項(xiàng)式 p q n展開(kāi)式中第k 1項(xiàng) 這就是二項(xiàng)分布名稱的由來(lái) 顯然 n重伯努利試驗(yàn)中 發(fā)生概率為p的事件A出現(xiàn)的次數(shù)X就是服從二項(xiàng)分布的 反之 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X也可看成一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)中某事件出現(xiàn)的次數(shù) 6 二項(xiàng)分布的期望與方差 可以證明 二項(xiàng)分布的期望與方差為 1 EX np 2 DX npq EX2 DX EX 2 npq n2p2例 設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù) 每次射中目標(biāo)的概率為0 4 則X2的數(shù)學(xué)期望E X2 DX EX 2 npq n2p2 2 4 16 18 4 7 二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的推導(dǎo) 8 二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)方差的推導(dǎo) 計(jì)算二項(xiàng)分布的方差X 考慮E X X 1 EX2 EX 9 續(xù)上頁(yè) 令i k 2 即EX2 EX n2p2 np2 因此EX2 n2p2 np2 npDX EX2 EX 2 np np2 np 1 p npq 10 二項(xiàng)分布的最可能值 設(shè)X B n p X取值為0 1 n 使得概率P X k 最大的k 記為k0 稱為二項(xiàng)分布的最可能值 其中 n 1 p 表示不超過(guò) n 1 p的最大整數(shù) 例如 若X B 4 0 8 n 1 p 5 0 8 4 所以 P X 4 和P X 3 的概率值最大 若X B 10 0 8 n 1 p 11 0 8 8 8 所以 P X 8 的概率值最大 8 8 8 演示二項(xiàng)分布概率分布圖驗(yàn)證以上結(jié)論 11 結(jié)論的證明 證 其中 考慮比值 由此可知 12 例題與解答 例1 一批產(chǎn)品的廢品率p 0 03 進(jìn)行20次重復(fù)抽樣 每次抽一個(gè) 觀察后放回去再抽下一個(gè) 求出現(xiàn)廢品的頻率為0 1的概率 解令X表示20次重復(fù)抽取中廢品出現(xiàn)的次數(shù) X B 20 0 03 13 例題與解答 例2 從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗 假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立 并且遇到紅燈的概率都是1 3 1 設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù) 求X的分布律 2 求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率 解 1 由題意 X B 6 1 3 于是 X的分布律為 14 二項(xiàng)分布的查表計(jì)算 對(duì)較小的n p 一般n 40 p 0 4 查分布函數(shù)表P X a F a P X a 1 F a P X a P X a 1 F a 1 P X a F a F a 1 15 查表計(jì)算示例 例3 設(shè)某人射擊的命中率為0 4 連續(xù)射擊10次 求 1 平均射中次數(shù) 2 最多射中2次的概率 3 至少射中2次的概率 4 射中4次的概率值 解 設(shè)射中次數(shù)為隨機(jī)變量X 則X B 10 0 4 1 EX np 4 即平均射中次數(shù)為4次 4 P X 4 P X 4 P X 3 F 4 F 3 0 6331 0 3823 0 2508 2 P X 2 F 2 查分布函數(shù)表得 P X 2 0 1673 3 P X 2 1 P X 2 1 P X 1 1 F 1 1 0 0464 0 9536 16 二項(xiàng)分布的變換 若n較小 p較大 應(yīng)用以下定理 定理若X B n p 且Y n X 則Y B n q 其中q 1 p 證明 P Y m P n X m P X n m 所以 Y B n q 一般地 若n 40 p 0 6 由定理可得 P X m P n Y m P Y n m P X m P n Y m P Y n m P X m P X m 1 P n Y m 1 P Y n m 1 對(duì)隨機(jī)變量Y可查分布函數(shù)表取得 17 例題與解答 例4 設(shè)某人射擊的命中率為0 8 連續(xù)射擊10次 求 1 最多射中2次的概率 2 至少射中2次的概率 3 射中4次的概率值 解 設(shè)射中次數(shù)為隨機(jī)變量X 則X B 10 0 8 令Y 10 X 則Y B 10 0 2 1 P X 2 P 10 Y 2 P Y 8 1 F 7 1 0 9999 0 00001 2 P X 2 P 10 Y 2 P Y 8 F 8 1 3 P X 4 P Y 6 0 0112若n較大 p接近于0 可轉(zhuǎn)換為Possion分布 后面介紹 18 例題與解答 例5 某班有學(xué)生20名 其中有5名女同學(xué) 今從班上任選4名學(xué)生去參觀展覽 被選到的女同學(xué)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量 求X的分布 解 X可取0 1 2 3 4這5個(gè)值 相應(yīng)概率為 19 超幾何分布 定義 設(shè)N個(gè)元素分為兩類 有N1個(gè)元素屬于第一類 N2個(gè)元素屬于第二類 N1 N2 N 從中按不重復(fù)抽樣取n個(gè) 令X表示這n個(gè)中第一 或二 類元素的個(gè)數(shù) 則X的分布稱為超幾何分布 分布參數(shù)為n N1 N2 其概率函數(shù)為 20 超幾何分布vs二項(xiàng)分布 二項(xiàng)分布是放回抽樣 而超幾何分布是不放回抽樣 當(dāng)在不放回抽樣時(shí) 超幾何分布中的N1 N相當(dāng)于二項(xiàng)分布中的參數(shù)p N2 N相當(dāng)于二項(xiàng)分布中的q 1 p 超幾何分布也可以和二項(xiàng)分布一樣看作是n個(gè)0 1分布的隨機(jī)變量Xi的和 i 1 2 n Xi表示第i次抽樣抽到第一類元素的事件的次數(shù) 根據(jù)抽簽原理P Xi 1 N1 N 但如果i j Xi與Xj相互之間是不獨(dú)立的 21 超幾何分布的數(shù)學(xué)期望EX EX n N1 N 可以認(rèn)為與二項(xiàng)分布期望一樣 證明 22 超幾何分布的方差DX DX n N1 N N2 N N n N 1 證明 先算出E X X 1 n n 1 N1 N N1 1 N 1 23 超幾何分布中E X X 1 的計(jì)算 24 例題與解答 例6 一批產(chǎn)品20件 其中3件優(yōu)質(zhì)品 從中一次取4件 取到優(yōu)質(zhì)品數(shù)記為X 求X的概率分布及期望方差 解 據(jù)題意 X服從超幾何分布 N1 3 N2 17 n 4 則 EX 3 5 DX 0 4295 25 超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用情況 元素的個(gè)數(shù)N是相當(dāng)大的 例如 從中國(guó)人中任抽幾千個(gè)人觀察 從一個(gè)工廠的幾十萬(wàn)件產(chǎn)品中任抽幾千件觀察 等等 而在N非常大的情況下 放回抽樣和不放回抽樣的結(jié)果幾乎是相同的 因此有 當(dāng)N很大 n相對(duì)較小 一般 n N 5 的時(shí)候 超幾何分布可用二項(xiàng)分布來(lái)近似 換句話說(shuō) 當(dāng)N趨于無(wú)窮時(shí) 超幾何分布的極限是二項(xiàng)分布 26 超幾何分布與二項(xiàng)分布關(guān)系 對(duì)固定的n 當(dāng)N N1 N p時(shí) 有P X m 27 例題與解答 例7一大批種子的發(fā)芽率為90 今從中任取10粒 求播種后 1 恰有8粒發(fā)芽的概率 2 不少于8粒發(fā)芽的概率 解設(shè)10粒種子中發(fā)芽的數(shù)目為X 因10粒種子是由一大批種子中抽取的 這是一個(gè)N很大 n相對(duì)于N很小的情況下的超幾何分布問(wèn)題 可用二項(xiàng)分布近似計(jì)算 其中n 10 p 90 q 10 k 8 28 泊松 Poisson 分布 定義 如果隨機(jī)變量X的概率函數(shù)是 則稱X服從參數(shù)為 的泊松分布 29 泊松分布的應(yīng)用背景 泊松分布常見(jiàn)于所謂稠密性的問(wèn)題中 如一段時(shí)間內(nèi) 電話用戶對(duì)電話臺(tái)的呼喚次數(shù) 候車的旅客數(shù) 原子放射粒子數(shù) 織機(jī)上斷頭的次數(shù) 以及零件鑄造表面上一定大小的面積內(nèi)砂眼的個(gè)數(shù)等等 另外 對(duì)成功率為p的n重Bernoulli實(shí)驗(yàn) 只要n比較大 p較小 n 100 p 0 1 時(shí) 可以通過(guò)隨后將介紹的 泊松定理 轉(zhuǎn)化為近似服從泊松分布的問(wèn)題而得到解決 所以泊松分布的應(yīng)用非常廣泛 30 泊松定理 Poisson定理 在n重Bernoulli實(shí)驗(yàn)中 成功次數(shù)X服從二項(xiàng)分布 設(shè)每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為pn 0 pn 1 且 則有 泊松定理表明 泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布 當(dāng)n很大 p很小時(shí) 二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù) np 的泊松分布 n 100 p 0 1 31 泊松分布的數(shù)學(xué)期望 32 泊松分布的方差 泊松分布的期望 方差都等于分布的參數(shù) 33 例題與解答 例8設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 0 的Poisson分布 當(dāng)k為何值時(shí) P X k 取最大值 解 考慮比值 由此可知 所以有 34 例題與解答 例9 隨機(jī)變量X服從泊松分布 EX 5 查表求P X 2 P X 5 P X 20 解因泊松分布的參數(shù) 就是它的期望值 故 5 查書(shū)后附表 有P5 2 0 084224 P5 5 0 175467 P5 20 0 35 例題與解答 例10 槍擊飛機(jī) 每次命中目標(biāo)的概率為0 001 連續(xù)射擊5000次 求擊中2彈或2彈以上的概率 解 設(shè)命中次數(shù)為X X B 5000 0 001 n較大 p較小 應(yīng)用Possion定理 np 5 所求為P X 2 1 P X 2 1 P X 0 P X 1 由Excel可得 P X 0 0 0067 P X 1 0 0337所以 P X 2 1 0 0067 0 0337 0 9596 36 例題與解答 例11 一大批產(chǎn)品的廢品率為p 0 015 求任取一箱 有100個(gè)產(chǎn)品 箱中恰有一個(gè)廢品的概率 解所取一箱中的廢品個(gè)數(shù)X服