偽隨機(jī)序列及編碼.ppt

指導(dǎo)教師 楊建國二零零七年十一月 指導(dǎo)教師 楊建國 二零零八年三月 通信原理 第十一章偽隨機(jī)序列及其編碼 11 1偽隨機(jī)序列的概念11 2正交碼與偽隨機(jī)碼11 3偽隨機(jī)序列的產(chǎn)生11 4m序列11 5M序列11 6Gold序列11 7正交沃爾什函數(shù)11 8偽隨機(jī)序列的應(yīng)用 11 1偽隨機(jī)序列的概念 在通信技術(shù)中 隨機(jī)噪聲是造成通信質(zhì)量下降的重要因素 因而它最早受到人們的關(guān)注 如果信道中存在著隨機(jī)噪聲 對于模擬信號來說 輸出信號就會產(chǎn)生失真 對于數(shù)字信號來說 解調(diào)輸出就會出現(xiàn)誤碼 另外 如果信道的信噪比下降 那么信道的傳輸容量將會受到限制 偽隨機(jī)序列應(yīng)當(dāng)具有類似隨機(jī)序列的性質(zhì) 在工程上常用二元 0 1 序列來產(chǎn)生偽噪聲碼 它具有以下幾個特點(diǎn) 1 在隨機(jī)序列的每一個周期內(nèi)0和1出現(xiàn)的次數(shù)近似相等 2 每一周期內(nèi) 長度為n的游程取值 相同碼元的碼元串 出現(xiàn)的次數(shù)比長度為n 1的游程次數(shù)多一倍 3 隨機(jī)序列的自相關(guān)類似于白噪聲自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 11 2正交碼與偽隨機(jī)碼 若M個周期為T的模擬信號s1 t s2 t sM t 構(gòu)成正交信號集合 則有 11 1 設(shè)序列周期為p的編碼中 碼元只取值 1和 1 而x和y是其中兩個碼組 式中 xi yi 1 1 i 1 2 n 則x和y之間的互相關(guān)函數(shù)定義為 11 2 若碼組x和y正交 則有 x y 0 如果一種編碼碼組中任意兩者之間的相關(guān)系數(shù)都為0 即碼組兩兩正交 這種兩兩正交的編碼就稱為正交編碼 由于正交碼各碼組之間的相關(guān)性很弱 受到干擾后不容易互相混淆 因而具有較強(qiáng)的抗干擾能力 類似地 對于長度為 的碼組x的自相關(guān)函數(shù)定義為 11 3 對于 0 1 二進(jìn)制碼 式 11 2 的互相關(guān)函數(shù)定義可簡化為 x y A D A D A D p 11 4 式中 A是x和y中對應(yīng)碼元相同的個數(shù) D是x和y中對應(yīng)碼元不同的個數(shù) 式 11 3 的自相關(guān)函數(shù)也表示為 x j A D A D A D p 11 5 式中 A是碼字xi與其位移碼字xi j的對應(yīng)碼元相同的個數(shù) D是對應(yīng)碼元不同的個數(shù) 偽隨機(jī)碼具有白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性 因此 對偽隨機(jī)碼定義可寫為 1 凡自相關(guān)函數(shù)具有 11 6 形式的碼 稱為偽隨機(jī)碼 又稱為狹義偽隨機(jī)碼 2 凡自相關(guān)函數(shù)具有 11 7 形式的碼 稱為廣義偽隨機(jī)碼 狹義偽隨機(jī)碼是廣義偽隨機(jī)碼的特例 11 3偽隨機(jī)序列的產(chǎn)生 編碼理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是抽象代數(shù)的有限域理論 一個有限域是指集合F元素個數(shù)是有限的 而且滿足所規(guī)定的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算中的交換律 結(jié)合律 分配律等 常用的只含 0 1 兩個元素的二元集F2 由于受自封性的限制 這個二元集只有對模二加和模二乘才是一個域 一般來說 對整數(shù)集Fp 0 1 2 p 1 若p為素?cái)?shù) 對于模p的加法和乘法來說 Fp是一個有限域 可以用移位寄存器作為偽隨機(jī)碼產(chǎn)生器 產(chǎn)生二元域F2及其擴(kuò)展域F2m中的各個元 m為正整數(shù) 可用域上多項(xiàng)式來表示一個碼組 域上多項(xiàng)式定義為 11 8 稱其為F的n階多項(xiàng)式 加號為模二和 式中 ai是F的元 anxn稱為f x 的首項(xiàng) an是f x 的首項(xiàng)系數(shù) 記F域上所有多項(xiàng)式組成的集合為F x 若g x 是F x 中的另一多項(xiàng)式 11 9 如果n m 規(guī)定f x 和g x 的模二和為 11 10 其中 bm 1 bm 2 bn 0 規(guī)定f x 和g x 的模二乘為 11 11 若g x 0 則在F x 總能找到一對多項(xiàng)式q x 稱為商 和r x 稱為余式 使得 f x q x g x r x 11 12 這里r x 的階數(shù)小于g x 的階數(shù) 式 11 12 稱為帶余除法算式 當(dāng)余式r x 0 就說f x 可被g x 整除 圖11 1是一個4級移位寄存器 用它就可產(chǎn)生偽隨機(jī)序列 規(guī)定移位寄存器的狀態(tài)是各級存數(shù)從右至左的順序排列而成的序列 這樣的狀態(tài)叫正狀態(tài)或簡稱狀態(tài) 反之 稱移位寄存器狀態(tài)是各級存數(shù)從左至右的順序排列而成的序列叫反狀態(tài) 圖11 1中的反饋邏輯為 11 13 圖11 14級移位寄存器 當(dāng)移位寄存器的初始狀態(tài)是1000時 即an 4 1 an 3 0 an 2 0 an 1 0 經(jīng)過一個時鐘節(jié)拍后 各級狀態(tài)自左向右移到下一級 末級輸出一位數(shù) 與此同時模二加法器輸出加到移位寄存器第一級 從而形成移位寄存器的新狀態(tài) 下一個時鐘節(jié)拍到來又繼續(xù)上述過程 末級輸出序列就是偽隨機(jī)序列 在這種條件下 圖11 1產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列是 這是一個周期長度p 15的隨機(jī)序列 當(dāng)圖11 1的初始狀態(tài)是0狀態(tài)時 即an 4 an 3 an 2 an 1 0移存器的輸出是一個0序列 4級移存器共有16個狀態(tài) 除去一個0狀態(tài)外 還有15個狀態(tài) 對于圖11 1來說 只要隨機(jī)序列的周期達(dá)到最大值 這時無論如何改變移存器的初始狀態(tài) 其輸出只改變序列的初相 序列的排序規(guī)律不會改變 但是 如果改變圖11 1四級移存器的反饋邏輯 其輸出序列就會發(fā)生變化 例如 當(dāng)反饋邏輯變成 11 14 時 給定不同的初始狀態(tài)1111 0001 1011 可以得到三個完全不同的輸出序列 111100111100 000101000001 101101101101 它們的周期分別是6 6和3 由此 我們可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論 1 線性移位寄存器的輸出序列是一個周期序列 2 當(dāng)初始狀態(tài)是0狀態(tài)時 線性移位寄存器的輸出是一個0序列 3 級數(shù)相同的線性移位寄存器的輸出序列與寄存器的反饋邏輯有關(guān) 4 序列周期p 2n 1 n級線性移位寄存器 的同一個線性移存器的輸出還與起始狀態(tài)有關(guān) 5 序列周期p 2n 1的線性移位寄存器 改變移位寄存起初始狀態(tài)只改變序列的起始相位 而周期序列排序規(guī)律不變 11 4m序列 11 4 1線性反饋移位寄存器的特征多項(xiàng)式 1 線性反饋移位寄存器的遞推關(guān)系式遞推關(guān)系式又稱為反饋邏輯函數(shù)或遞推方程 設(shè)圖11 2所示的線性反饋移位寄存器的初始狀態(tài)為 a0a1 an 2an 1 經(jīng)一次移位線性反饋 移位寄存器左端第一級的輸入為 若經(jīng)k次移位 則第一級的輸入為 11 15 其中 l n k 1 n k 1 2 3 由此可見 移位寄存器第一級的輸入 由反饋邏輯及移位寄存器的原狀態(tài)所決定 式 11 15 稱為遞推關(guān)系式 圖11 2 m序列的線性反饋移位寄存器的一般結(jié)構(gòu)圖 2 線性反饋移位寄存器的特征多項(xiàng)式用多項(xiàng)式f x 來描述線性反饋移位寄存器的反饋連接狀態(tài) 11 16 式 11 16 稱為特征多項(xiàng)式或特征方程 其中 xi存在 表明ci 1 否則ci 0 x本身的取值并無實(shí)際意義 ci的取值決定了移位寄存器的反饋連接 由于c0 cn 1 因此 f x 是一個常數(shù)項(xiàng)為1的n次多項(xiàng)式 n為移位寄存器級數(shù) 可以證明 一個n級線性反饋移位寄存器能產(chǎn)生m序列的充要條件是它的特征多項(xiàng)式為一個n次本原多項(xiàng)式 若一個n次多項(xiàng)式f x 滿足下列條件 1 f x 為既約多項(xiàng)式 即不能分解因式的多項(xiàng)式 2 f x 可整除 xp 1 p 2n 1 3 f x 除不盡 xq 1 q p 則稱f x 為本原多項(xiàng)式 以上為我們構(gòu)成m序列提供了理論根據(jù) 11 4 2m序列產(chǎn)生器 用線性反饋移位寄存器構(gòu)成m序列產(chǎn)生器 關(guān)鍵是由特征多項(xiàng)式f x 來確定反饋線的狀態(tài) 而且特征多項(xiàng)式f x 必須是本原多項(xiàng)式 現(xiàn)以n 4為例來說明m序列產(chǎn)生器的構(gòu)成 用4級線性反饋移位寄存器產(chǎn)生的m序列 其周期為p 24 1 15 其特征多項(xiàng)式f x 是4次本原多項(xiàng)式 能整除 x15 1 先將 x15 1 分解因式 使各因式為既約多項(xiàng)式 再尋找f x 其中 4次既約多項(xiàng)式有3個 但 x4 x3 x2 x 1 能整除 x5 1 故它不是本原多項(xiàng)式 因此找到兩個4次本原多項(xiàng)式 x4 x 1 和 x4 x3 1 由其中任何一個都可產(chǎn)生m序列 用f x x4 x 1 構(gòu)成的m序列產(chǎn)生器如圖11 3所示 圖11 3m序列產(chǎn)生器 設(shè)4級移位寄存器的初始狀態(tài)為1000 c4 c1 c0 1 c3 c2 0 輸出序列 ak 的周期長度為15 11 4 3m序列的性質(zhì) 1 均衡特性 平衡性 m序列每一周期中1的個數(shù)比0的個數(shù)多1個 由于p 2n 1為奇數(shù) 因而在每一周期中1的個數(shù)為 p 1 2 2n 1 偶數(shù) 而0的個數(shù)為 p 1 2 2n 1 1 奇數(shù) 上例中p 15 1的個數(shù)為8 0的個數(shù)為7 當(dāng)p足夠大時 在一個周期中1與0出現(xiàn)的次數(shù)基本相等 2 游程特性 游程分布的隨機(jī)性 我們把一個序列中取值 1或0 相同連在一起的元素合稱為一個游程 在一個游程中元素的個數(shù)稱為游程長度 例如圖11 2中給出的m序列 ak 000111101011001 在其一個周期的15個元素中 共有8個游程 其中長度為4的游程1個 即1111 長度為3的游程1個 即000 長度為2的游程2個 即11與00 長度為1的游程4個 即2個1與2個0 m序列的一個周期 p 2n 1 中 游程總數(shù)為2n 1 其中 長度為1的游程個數(shù)占游程總數(shù)的1 2 長度為2的游程個數(shù)占游程總數(shù)的1 22 1 4 長度為3的游程個數(shù)占游程總數(shù)的1 2 3 1 8 等等 一般地 長度為k的游程個數(shù)占游程總數(shù)的1 2k 2 k 其中1 k n 2 而且 在長度為k的游程中 連1游程與連0游程各占一半 長為 n 1 的游程是連0游程 長為n的游程是連1游程 3 移位相加特性 線性疊加性 m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是該m序列的某個位移序列 設(shè)mr是周期為p的m序列mp的r次延遲移位后的序列 那么 11 17 其中 ms為mp某次延遲移位后的序列 例如 mp 000111101011001 mp延遲兩位后得mr 再模二相加 mr 010001111010110 ms mp mr 010110010001111 可見 ms mp mr為mp延遲8位后的序列 4 自相關(guān)特性 m序列具有非常重要的自相關(guān)特性 在m序列中 常常用 1代表0 用 1代表1 此時定義 設(shè)長為p的m序列 記作 a1 a2 a3 ap p 2n 1 經(jīng)過j次移位后 m序列為 aj 1 aj 2 aj 3 aj p 其中 ai p ai 以p為周期 以上兩序列的對應(yīng)項(xiàng)相乘然后相加 利用所得的總和 來衡量一個m序列與它的j次移位序列之間的相關(guān)程度 并把它叫做m序列 a1 a2 a3 ap 的自相關(guān)函數(shù) 記作 11 18 當(dāng)采用二進(jìn)制數(shù)字0和1代表碼元的可能取值時 式 11 18 可表示為 11 19 式中 A D分別是m序列與其j次移位的序列在一個周期中對應(yīng)元素相同 不相同的數(shù)目 式 11 19 還可以改寫為 11 20 由移位相加特性可知 ai ai j仍是m序列中的元素 所以式 11 20 分子就等于m序列中一個周期中0的數(shù)目與1的數(shù)目之差 另外由m序列的均衡性可知 在一個周期中0比1的個數(shù)少一個 故得A D 1 j為非零整數(shù)時 或p j為零時 因此得 11 21 如圖11 4所示 m序列的自相關(guān)函數(shù)只有兩種取值 1和 1 p R j 是一個周期函數(shù) 即 R j R j kp 11 22 式中 k 1 2 p 2n 1 為周期 而且R j 是偶函數(shù) 即 R j R j j 整數(shù) 11 23 圖11 4m序列的自相關(guān)函數(shù) 5 偽噪聲特性 如果我們對一個正態(tài)分布白噪聲取樣 若取樣值為正 記為 1 若取樣值為負(fù) 記為 1 將每次取樣所得極性排成序列 可以寫成 1 1 1 1 1 1 1 1 1 這是一個隨機(jī)序列 它具有如下基本性質(zhì) 1 序列中 1和 1出現(xiàn)的概率相等 2 序列中長度為1的游程約占1 2 長度為2的游程約占1 4 長度為3的游程約占1 8 一般地 長度為k的游程約占1 2k 而且 1 1游程的數(shù)目各占一半 3 由于白噪聲的功率譜為常數(shù) 因此其自相關(guān)函數(shù)為一沖擊函數(shù) 把m序列與上述隨機(jī)序列比較 當(dāng)周期長度p足夠大時 m序列與隨機(jī)序列的性質(zhì)是十分相似的 可見 m序列是一種偽噪聲特性較好的偽隨機(jī)序列 且易產(chǎn)生 因此應(yīng)用十分廣泛 11 5M序列 M序列是一種非線性的偽隨機(jī)序列 它是最長序列 是由非線性移位寄存器產(chǎn)生的碼長為2n的周期序列 M序列已達(dá)到n級移位寄存器所能達(dá)到的最長周期 所以又稱為全長序列 M序列的構(gòu)造可以在m序列基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn) 因?yàn)閙序列包含了2n 1個非零狀態(tài) 僅缺一個0狀態(tài) 因此 只要在m序列適當(dāng)?shù)奈恢蒙喜迦胍粋€0狀態(tài) 即可完成碼長為2n 1的m序列向碼長為2n的M序列轉(zhuǎn)換 一般地講 0狀態(tài)插入應(yīng)在狀態(tài)xnxn 1 x1 100 0之后 同時緊跟0狀態(tài)的后繼序列狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是原m序列狀態(tài) 后繼狀態(tài)應(yīng)是0 001即可 因此 重要是檢測后n 1個0 即檢測M序列的狀態(tài)xn 1xn 2 x1然后加上原反饋邏輯f0 x1 x2 xn 得到新的反饋邏輯 11 24 現(xiàn)以本原多項(xiàng)式f x 1 x x4產(chǎn)生的碼長為15的m序列加長碼長為16的M序列四級移位寄存器為例說明 四級M序列發(fā)生器的原理圖如圖11 5所示 反饋邏輯函數(shù)為 11 25 圖11 5中的000狀態(tài)檢測器可檢測到1000和0000兩個狀態(tài) 當(dāng)檢測到1000狀態(tài)時 檢測器輸出為1 這個1與反饋輸入an 此時為1 模二加得到0 輸入到an 1 使后續(xù)狀態(tài)成為0狀態(tài) 在0狀態(tài)時檢測器繼續(xù)輸出1 此1與反饋輸入an此時為0 模二加得到1 輸入到an 1 使0狀態(tài)的后續(xù)狀態(tài)保持原來的循環(huán)狀態(tài)0001 這樣就把0狀態(tài)插進(jìn)原始序列之中 圖11 5四級M序列發(fā)生器 下面給出M序列狀態(tài)流程 設(shè)初始狀態(tài)為0100 0100 1001 0011 0110 1101 1010 0101 1011 0111 1111 1110 1100 1000 0000 0001 0010 0100 初態(tài) 構(gòu)成M序列的方法很多 但實(shí)現(xiàn)起來并非易事 要能方便 簡練地得到M序列 仍需作不懈努力 周期為p 2n的M序列的隨機(jī)特性有下列幾點(diǎn) 1 在一個周期內(nèi) 序列中0和1的元素各占一半 即各為2n 1 2 在每一個周期內(nèi)共有2n 1個游程 其中同樣長度的0游程和1游程的個數(shù)相等 當(dāng)1 k n 2時 長為k的游程占總游程數(shù)的一半 長為n 1游程不存在 長為n的游程有兩個 3 歸一化自相關(guān)函數(shù)RM 具有如下相關(guān)值 RM 0 1 RM 00 n RM n 1 4W f0 p 0 其中 W f0 是M序列發(fā)生器的反饋邏輯函數(shù)表示成 f x1 x2 xn f0 x1 x2 xn 1 xn 的形式時 f0取值為1的個數(shù) 通常把W f0 叫做f0的權(quán)重 當(dāng) n時 RM 無確定表示式 只能從給定的M序列中逐點(diǎn)移位計(jì)算得到 以上特點(diǎn)說明 M序列的自相關(guān)函數(shù)是多值的 而且有較大的旁峰 長度相同的M序列具有不同的自相關(guān)特性 M序列的自相關(guān)特性也是多值的 對于任意的自然數(shù)n 一定有n級M序列以及產(chǎn)生此M序列的n級移位寄存器存在 n級M序列的總長為 Mn 2 2n 1 n 11 26 表11 1列出了不同n值時所得到的M序列和m序列的數(shù)目 可以看出 當(dāng)n 4時 M序列比m序列的數(shù)目多得多 這對于某些需要地址序列很多的應(yīng)用場合提供了選擇的靈活性 表11 1M序列和m序列數(shù)目的比較 11 6偽隨機(jī)序列的應(yīng)用 11 6 1Gold序列的生成 周期為p 2n 1 的m序列優(yōu)選對 an 和 bn an 與 bn 的移位 次的 bn 0 1 p 1 逐位模二相加所得的序列 an bn 都是不同的Gold序列 產(chǎn)生Gold序列的電路原理框圖如圖11 6所示 圖中m序列發(fā)生器1和2產(chǎn)生的m序列是一個m序列優(yōu)選對 m序列發(fā)生器1的初始狀態(tài)固定不變 調(diào)整m序列發(fā)生器2的初始狀態(tài) 在同一時鐘脈沖控制下 產(chǎn)生的兩個m序列經(jīng)過模二加后可得到Gold序列 通過設(shè)置m序列發(fā)生器2的不同初始狀態(tài) 可以得到不同的Gold序列 圖11 6產(chǎn)生Gold序列的電路原理框圖 11 6 2Gold序列的特性 1 Gold序列的相關(guān)特性 Gold序列的自相關(guān)函數(shù)Ra 在 0時與m序列相同 具有尖銳的自相關(guān)峰 當(dāng)1 p 1時 與m序列有所差別 自相關(guān)函數(shù)值不再是 1 p 其最大旁瓣值變?yōu)?t n p 周期為p 2n 1 的m序列優(yōu)選對可以構(gòu)成p個Gold序列 這p個Gold序列加上2個m序列 一個m序列優(yōu)選對 共有p 2 2n 1 個序列 它們之中任何兩個序列的周期性互相關(guān)函數(shù)都是三值函數(shù) u1 u2 u3 同長度 不同m序列優(yōu)選對產(chǎn)生的Gold序列的周期性互相關(guān)函數(shù)不是三值函數(shù) 2 Gold序列的均衡特性與m序列不同 Gold序列并非全都具有均衡特性 我們把具有在一個周期內(nèi) 1 的個數(shù)比 0 的個數(shù)只多一個的這種均衡特性的Gold序列稱為均衡的Gold序列 均衡的Gold序列在實(shí)際工程中作平衡調(diào)制時有較高的載波抑制度 對于由周期p 2n 1的m序列優(yōu)選對生成的Gold序列 當(dāng)n是奇數(shù)時 2n 1個Gold序列中有2n 1 1個Gold序列是均衡的 約占50 其余的或者是 1 的碼元數(shù)太多 或者是 0 的碼元數(shù)太多 都是不均衡的 Gold序列 當(dāng)n是偶數(shù) 不是4的倍數(shù) 時 有2n 1 2n 2 1個Gold序列是平衡的 約占75 其余的都是不均衡的Gold序列 因此 只有約50 n是奇數(shù) 或75 n是不為4的倍數(shù)的偶數(shù) 的Gold序列可以用于CDMA通信系統(tǒng)中 3 Gold序列的數(shù)量 Gold序列的數(shù)量與m序列優(yōu)選對的周期 也可以說與m序列優(yōu)選對的長度 有關(guān) 周期越長構(gòu)成的Gold序列的數(shù)量越多 周期為p 2n 1 的m序列優(yōu)選對可以構(gòu)成2n 1個Gold序列 隨著n的增加 Gold序列數(shù)以2的n次冪增長 因此Gold序列數(shù)比m序列數(shù)多得多 并且它們具有優(yōu)良的自相關(guān)特性和互相關(guān)特性 完全可以滿足實(shí)際工程的需要 表11 2給出了m序列周期與m序列數(shù) m序列優(yōu)選對數(shù) Gold序列數(shù)的關(guān)系 由表11 2可知 隨著m序列周期的增長 m序列數(shù) m序列優(yōu)選對數(shù)和Gold 序列數(shù)都增多 而且Gold序列數(shù)的增長比m序列數(shù)的要快得多 此外 n 4k k 1 2 3 的m序列沒有優(yōu)選對 所以也不存在對應(yīng)的Gold序列 表11 2 m序列周期與m序列數(shù) m序列優(yōu)選對數(shù) Gold序列數(shù)的關(guān)系 11 7正交沃爾什函數(shù) 沃爾什 Walsh 函數(shù)集是完備的非正弦型的二元 取值為 1與 1 正交函數(shù)集 其相應(yīng)的離散沃爾什函數(shù)簡稱為沃爾什序列或沃爾什碼 沃爾什函數(shù)是定義在半開區(qū)間 0 1 的矩形波族 每個矩形波有一個編號n n 0 1 2 3 矩形波幅度的取值為 1或 1 規(guī)定起始時矩形波的取值為 1 然后在 1與 1之間變化 變化的次數(shù) 1變 1與 1變 1的次數(shù)之和 m n 在 1或 1上持續(xù)的時間可以相等 也可以不相等 不相等時較長的持續(xù)時間Tl為較短的持續(xù)時間Ts的兩倍 編號為n的沃爾什函數(shù)用Wal n t 表示 沃爾什函數(shù)的波形如圖11 7所示 圖11 7沃爾什函數(shù)的波形 11 7 1沃爾什函數(shù)的構(gòu)成 1 連續(xù)沃爾什函數(shù)的構(gòu)成1 瑞得麥徹函數(shù) 瑞得麥徹 Rademacher 函數(shù)是定義與上述沃爾什函數(shù)的定義基本相同 不同的是 其方波的變化的次數(shù) 1變 1與 1變 1的次數(shù)之和 m 2n 1 在 1或 1上持續(xù)的時間T 1 2n 編號為n的瑞得麥徹函數(shù)用Rad n t 表示 瑞得麥徹函數(shù)的波形如圖11 8所示 圖11 8瑞得麥徹函數(shù)的波形 2 連續(xù)沃爾什函數(shù)的構(gòu)成 用瑞得麥徹函數(shù)可以構(gòu)造沃爾什函數(shù) 設(shè)沃爾什函數(shù)的編號為n 瑞得麥徹函數(shù)的編號為nr 則有用瑞得麥徹函數(shù)構(gòu)成沃爾什函數(shù)的公式如下 11 27 式中 n 0 1 2 nr 0 1 2 由2nr 1 1 n 2nr 1確定nr gi為n的格雷碼 GrayCode 的第i位 從右往左數(shù) 當(dāng)gi 1時 Rad i t gi Rad i t 當(dāng)gi 0時 Rad i t gi 1 n的格雷碼轉(zhuǎn)換過程是 先把n的十進(jìn)制數(shù) n 10轉(zhuǎn)換為n的二進(jìn)制數(shù) n 2 再用公式gi bi 1bi i 1 N 和bN 1 0把n的二進(jìn)制數(shù) n 2轉(zhuǎn)換為n的格雷碼 n g 例如用公式 11 27 求Wal 11 t 由23 1 7 n 11 24 1 15確定nr 4 11 10 11 2 1011 2 g1 b2 b1 1 1 0 g2 b3 b2 0 1 1 g3 b4 b3 1 0 1 g4 b5 b4 0 1 1 則有 2 離散沃爾什函數(shù)的構(gòu)成離散沃爾什函數(shù)也稱沃爾什序列或沃爾什碼 用WN n 表示 n為離散沃爾什函數(shù)的編號 N為離散沃爾什函數(shù)長度 即元素或碼元的個數(shù) 兩個離散沃爾什函數(shù)只有當(dāng)它們的編號和長度相同時 這兩個離散沃爾什函數(shù)才是相同的 1 用哈達(dá)馬矩陣的行 或列 構(gòu)成離散沃爾什函數(shù) 離散沃爾什函數(shù)可由哈達(dá)馬 Hadamard 矩陣的行 或列 構(gòu)成 一階哈達(dá)馬矩陣為 高階哈達(dá)馬矩陣的遞推公式如下 11 28 式中 Nm 2m m 1 2 3 例如 m 1時 m 2時 m 3時 Nm階哈達(dá)馬矩陣的通式可表示為 11 29 式中 Nm 2m m 1 2 3 用哈達(dá)馬矩陣HNm的行 或列 可以構(gòu)成離散沃爾什函數(shù)WNm n 它們的對應(yīng)關(guān)系如下 11 30 式中 Nm 2m m 1 2 3 n 0 1 2 2m 1 nh 1 2 3 2m 上式表明編號為n 長度為Nm的離散沃爾什函數(shù)WNm n 是由Nm階哈達(dá)馬矩陣HNm的第nh行 或列 所構(gòu)成的 長度為Nm的離散沃爾什函數(shù)WNm n 的編號n與Nm階哈達(dá)馬矩陣HNm的行 或列 號nh的換算關(guān)系可由式 11 31 和式 11 32 確定 定義 當(dāng)m 0 Nm 20 1時 當(dāng)nh im為奇數(shù)時 11 31 當(dāng)nh im為偶數(shù)時 11 32 式中 m 1 2 3 Nm 2m 為哈達(dá)馬矩陣HNm的階數(shù) 或離散沃爾什函數(shù)WNm n 的長度 nh im 1 2 3 2m 為Nm階哈達(dá)馬矩陣HNm的行 或列 號 nNm im 的值就是Nm階哈達(dá)馬矩陣HNm的第im行 或列 所對應(yīng)的離散沃爾什函數(shù)WNm n 的編號n 2 用連續(xù)沃爾什函數(shù)構(gòu)成離散沃爾什函數(shù) 上述用哈達(dá)馬矩陣的行 或列 構(gòu)成離散沃爾什函數(shù)的方法 其離散沃爾什函數(shù)WNm n 的編號n與相應(yīng)的哈達(dá)馬矩陣HNm的行 或列 號nh之間的換算關(guān)系比較繁瑣 我們也可以通過在半開區(qū)間 0 1 上對連續(xù)沃爾什函數(shù)Wal n t 進(jìn)行等間隔抽樣來得到離散沃爾什函數(shù)WNm n 具體的方法是 抽樣的次數(shù)N等于將要構(gòu)成的離散沃爾什函數(shù)WNm n 的長度Nm 2m m 0 1 2 同時被抽樣的連續(xù)沃爾什函數(shù)的最大編號nmax Nm 1 從而可以得到對應(yīng)的離散沃爾什函數(shù)WNm n 例如 欲構(gòu)造長度Nm 26 64的離散沃爾什函數(shù) 可以通過對連續(xù)沃爾什函數(shù) Wal 0 t Wal 63 t 的每一個函數(shù)進(jìn)行N Nm 次等間隔抽樣來得到 11 7 2沃爾什函數(shù)的基本性質(zhì) 沃爾什函數(shù)具有如下一些基本性質(zhì) 1 在半開區(qū)間 0 1 上正交 即 11 33 該性質(zhì)為沃爾什函數(shù)基本性質(zhì)中最重要的性質(zhì) 2 除Wal 0 t 外 其他的Wal n t 在半開區(qū)間 0 1 上的均值為0 3 兩個沃爾什函數(shù)相乘仍為沃爾什函數(shù) 即 Wal i t Wal j t Wal k t 11 34 這表示沃爾什函數(shù)對于乘法是自閉的 4 沃爾什函數(shù)集是完備的 即長度為N的離散沃爾什函數(shù) 沃爾什序列 一共有N個 5 沃爾什函數(shù)與瑞得麥徹函數(shù)的關(guān)系由式 11 27 確定 6 沃爾什函數(shù)在同步時是完全正交的 7 沃爾什函數(shù)在不同步時 其自相關(guān)和互相關(guān)特性均不理想 并隨同步誤差值的增大而快速惡化 11 8偽隨機(jī)序列的應(yīng)用 11 8 1擴(kuò)展頻譜通信擴(kuò)展頻譜通信系統(tǒng)簡稱擴(kuò)頻 SS 系統(tǒng) 它將待傳送的基帶信號在頻域上擴(kuò)展為遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原來信號帶寬的頻譜 再在接收端把已擴(kuò)展頻譜的信號變換到原來信號的頻帶上 以恢復(fù)出原來的基帶信號的 數(shù)字基帶擴(kuò)展頻譜通信系統(tǒng)的模型如圖11 9所示 圖11 9數(shù)字基帶擴(kuò)展頻譜通信系統(tǒng)的模型 擴(kuò)展頻譜技術(shù)的理論基礎(chǔ)是香農(nóng)公式 對于具有加性高斯白噪聲的連續(xù)信道 其信道容量C與信道傳輸帶寬B及信噪比S N之間的關(guān)系可以用下式表示 11 35 這個公式表明 在保持信息傳輸速率不變的條件下 信噪比和帶寬之間具有互換關(guān)系 就是說 可以用擴(kuò)展信號的頻譜作為代價 換取用很低的信噪比來傳送信號 同樣可以得到很低的差錯率 擴(kuò)頻系統(tǒng)有以下特點(diǎn) 1 有利于加密 防止竊聽 2 抗干擾 抗衰落和抗阻塞能力強(qiáng) 3 具有選擇地址能力 多址通信時頻譜利用率高 4 信號的功率譜密度很低 有利于信號的隱蔽 5 在擴(kuò)頻信道中可同時容納大量 瞬時 用戶 6 可以進(jìn)行高分辨率的測距 1 直接序列擴(kuò)頻方式直接序列擴(kuò)頻 DirectSequenceSpreadSpectrum DSSS 又稱為直擴(kuò) DS 它是用高速率的偽隨機(jī)序列與信息序列模二加后的序列去控制載波的相位而獲得直擴(kuò)信號的 圖11 10 a 和 b 就是直擴(kuò)系統(tǒng)的原理方框圖和擴(kuò)頻信號傳輸圖 圖11 10直擴(kuò)系統(tǒng)的原理方框圖和擴(kuò)頻信號傳輸圖 a 原理方框圖 b 擴(kuò)頻信號傳輸圖 2 跳變頻率擴(kuò)頻方式 跳變頻率擴(kuò)頻 FrequencyHoppingSpreadSpectrum FHSS 又稱為跳頻 FH 它是用偽碼構(gòu)成跳頻指令來控制頻率合成器 并在多個頻率中進(jìn)行選擇的移頻鍵控 跳頻指令由所傳信息碼與偽隨機(jī)碼模二加的組合來構(gòu)成 因此 它又稱為跳頻圖案 跳頻系統(tǒng)原理如圖11 11所示 在發(fā)送端信息碼與偽碼調(diào)制后 按不同的跳頻圖案去控制頻率合成器 使其輸出頻率在信道里隨機(jī)跳躍地變化 在接收端 為了對輸入信號解跳 需要有與發(fā)送端相同的本地偽碼發(fā)生器構(gòu)成的跳頻圖案去控制頻率合成器 使其輸出的跳頻信號能在混頻器中與接收到的跳頻信號差頻出一個固定中頻信號 經(jīng)中頻放大器后 送到解調(diào)器恢復(fù)出原信息 圖11 11跳頻系統(tǒng)原理 3 跳變時間擴(kuò)頻方式 跳變時間擴(kuò)頻 TimeHoppingSpreadSpectrum THSS 又稱為跳時 TH 它是用偽碼序列來啟閉信號的發(fā)射時刻和持續(xù)時間的 該方式一般和其他方式混合使用 4 混合式擴(kuò)頻方式在實(shí)際系統(tǒng)中 當(dāng)僅僅采用單一工作方式而不能達(dá)到所希望的性能時 往往采用兩種或兩種以上工作方式的混合式擴(kuò)頻 如FH DS DS TH FH TH等 11 8 2碼分多址 CDMA 通信多址系統(tǒng)是指多個用戶通過一個共同的信道交換消息的通信系統(tǒng) 傳統(tǒng)的信號劃分方式有頻分和時分 相應(yīng)地可構(gòu)成頻分多址系統(tǒng)和時分多址系統(tǒng) 一種新的多址方式是碼分多址系統(tǒng) 它給每個用戶分配一個多址碼 要求這些碼的自相關(guān)特性尖銳 而互相關(guān)特性的峰值盡量小 以便準(zhǔn)確識別和提取有用信息 同時各個用戶間的干擾可減小到最低限度 碼分多址系統(tǒng)有以下特點(diǎn) 1 所有用戶可以異步地共享整個頻帶資源 也就是說 不同用戶碼元發(fā)送信號的時間并不要求同步 2 系統(tǒng)容量大 3 信道數(shù)據(jù)率非常高 碼分多址擴(kuò)頻通信系統(tǒng)模型如圖11 12所示 同時工作的通信用戶共有k個 各自使用不同的偽隨機(jī)碼PNi t i 1 2 k 發(fā)射的信息數(shù)據(jù)分別是di t i 1 2 k 對于擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中的某一接收機(jī) 盡管想接收第i個通信用戶發(fā)送來的信息數(shù)據(jù)di t 實(shí)際進(jìn)入接收機(jī)的信號除第i個發(fā)來的信號外 也有其他 k 1 個用戶發(fā)射出來的信號 由于偽隨機(jī)碼的相關(guān)特性 因此 該接收機(jī)可以識別和提取有用信息 而把其他用戶的干擾減小到最低 圖11 12碼分多址擴(kuò)頻通信系統(tǒng)模型 在CDMA數(shù)字蜂窩移動通信系統(tǒng)中 可為每個基站分配一個PN序列 以不同的PN序列來區(qū)分基站地址 也可只用一個PN序列 而用PN序列的初始相位來區(qū)分基站地址 即每個基站分配一個PN序列的初始相位 Qualcomm CDMA數(shù)字蜂窩移動通信系統(tǒng)就采用給每個基站分配一個PN序列的初始相位的方法 它用周期為215 32768碼片 人為插入一個碼片 的PN序列 每64個碼片為一初始相位 共有512種初始相位 分配給512個基站 CDMA數(shù)字蜂窩移動通信系統(tǒng)中 移動用戶的識別需要采用周期足夠長的PN序列 以滿足對用戶地址量的需求 在Qualcomm CDMA數(shù)字蜂窩移動通信系統(tǒng)中的反向信道采用周期為242 人為插入一個碼片 的PN序列 用于區(qū)分不同的移動臺 這利用了m序列良好的自相關(guān)特性 沃爾什函數(shù)最重要的性質(zhì)是正交性 正交碼最重要的應(yīng)用之一就是用作CDMA通信系統(tǒng)的地址碼 例如 碼長為64的沃爾什碼共有64個 用于區(qū)分同一小區(qū)下64個移動通信用戶的前向信道 由基站發(fā)向某用戶的信號需經(jīng)過該前向信道碼調(diào)制 二次調(diào)制 由沃爾什函數(shù)的正交性可知 只有具有相同沃爾什碼的用戶才可從接收到的信號中取出有用信息 而其他用戶不可以 這樣就實(shí)現(xiàn)了碼分多址 若采用碼分雙工技術(shù)實(shí)現(xiàn)雙工通信 發(fā)送信號和接收信號各用一個碼分信道 地址碼 64個沃爾什碼只能作為32個移動通信用戶的地址碼 為了提供足夠多的用戶地址碼 可以采用碼長更長的沃爾什碼 11 8 3通信加密 數(shù)字通信的一個重要優(yōu)點(diǎn)是容易做到加密 在這方面m序列的應(yīng)用很多 數(shù)字加密的基本原理框圖如圖11 13所示 將信源產(chǎn)生的二進(jìn)制數(shù)字消息和一個周期很長的m序列模二相加 這樣就將原消息變成不可理解的另一序列 將這種加密序列在信道中傳輸 被他人竊聽也不可理解其內(nèi)容 在接收端再加上一同樣的m序列 就能恢復(fù)為原發(fā)送消息 圖11 13數(shù)字加密的基本原理框圖 設(shè)信源發(fā)送的數(shù)碼為X1 1011010011 m序列Y 1100001011 數(shù)碼X1與m序列Y的各對應(yīng)位分別進(jìn)行模二加運(yùn)算后 獲得序列E 顯然E不同于X1 它已失去了原信息的意義 如果不知道m(xù)序列Y 就無法解出攜帶原信息的數(shù)碼X1 從而起到保密作用 假設(shè)信道傳輸過程中無誤碼 序列E到達(dá)接收端后與m序列Y再進(jìn)行模二加運(yùn)算 可恢復(fù)原數(shù)碼X1 即 圖11 14數(shù)字信號的加密與解密 11 8 4誤碼率的測量在數(shù)字通信中 誤碼率是一項(xiàng)主要的性能指標(biāo) 在實(shí)際測量數(shù)字通信系統(tǒng)的誤碼率時 一般測量結(jié)果與信源送出信號的統(tǒng)計(jì)特性有關(guān) 通常認(rèn)為二進(jìn)制信號中0和1是以等概率隨機(jī)出現(xiàn)的 所以測量誤碼率時最理想的信源應(yīng)是隨機(jī)信號產(chǎn)生器 由于m序列是周期性的偽隨機(jī)序列 因而可作為一種較好的隨機(jī)信源 它通過終端機(jī)和信道后 輸出仍為m序列 在接收端 本地產(chǎn)生一個同步的m序列 與收碼序列逐位進(jìn)行模二加運(yùn)算 一旦有錯 就會出現(xiàn) 1 碼 用計(jì)數(shù)器計(jì)數(shù) 如圖11 15所示 圖11 15誤碼率測試 11 8 5數(shù)字信息序列的擾碼與解擾數(shù)字通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及其性能都與所傳輸?shù)臄?shù)字信號的統(tǒng)計(jì)特性有關(guān) 例如 我們在分析計(jì)算系統(tǒng)的誤碼率時 常假定信源送出的 0 1 碼元是等概的 在一些數(shù)字通信設(shè)備中 從 0 1 碼元的交變點(diǎn)提取位定時信息 若經(jīng)常出現(xiàn)長的 0 1 游程 則將影響位同步的建立與保持 如果數(shù)字信號有周期性 則信號頻譜中將存在離散譜線 電路中存在的不同程度的非線性 有可能使其在多路通信系統(tǒng)其他路中造成串?dāng)_ 為了限制這種串?dāng)_ 常要求數(shù)字信號的最小周期足夠長 如果我們能夠先將信源產(chǎn)生的數(shù)字信號變換成具有近似于白噪聲統(tǒng)計(jì)特性的數(shù)字序列 再進(jìn)行傳輸 在接收端收到這個序列后先變換成原始數(shù)