活躍在高考中的二次函數(shù)問題.doc

活躍在高考題中的二次函數(shù)問題二次函數(shù)是出現(xiàn)在初中數(shù)學中的一個具體的基本初等函數(shù)，初中階段對它的的教學要求比較低，加上初中學生的接受水平所限制和各地區(qū)初中畢業(yè)升學考試的要求不一，高中階段的教材中又沒有這部分內容。因此這塊內容在教學中，就并沒有真正達到高中階段應用要求的高度，各地區(qū)一般采用的方法都是在初中與高中銜接的過程中補充一些二次函數(shù)的內容。事實上高中數(shù)學問題中，二次函數(shù)問題的應用卻是十分廣泛，本文通過一些具體的高考問題來闡述二次函數(shù)在高考數(shù)學中的應用，期望能給高中學生一些幫助。一、 直接以二次函數(shù)為模型來處理的問題 例1、設，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）ABCD解：，因為是關于的減函數(shù)，所以當時，令，在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，所以，即 所以選B這是2008年全國高考理科數(shù)學9題，是一道解析幾何與函數(shù)的簡單綜合問題，它是通過求二次函數(shù)的值域，來求出離心率取值范圍的。例2、求函數(shù)的最大值解： ,令 ，則 ，當時所以函數(shù)的最大值為這是2004年全國高考理科數(shù)學15題，它的處理過程是通過換元，直接把問題轉化成了一個二次函數(shù)的最大值問題。二、三次函數(shù)求導后形成的二次函數(shù)問題例3、已知函數(shù)，若在處取得最小值，求a的取值范圍。解： ，由得（）（1）當時，方程（）沒有解，函數(shù)沒有極小值；(2)當或時，由得 ， ，由題設可以知道，當時，不等式無解；當時，解不等式得綜合(1)(2)得的取值范圍是。這是2011全國高考文科數(shù)學試卷第21題的第二問，它是通過二次方程的判別式進行分類討論來處理問題的。三、其它函數(shù)中形成的二次函數(shù)問題例4、設函數(shù)有兩個極值點，且求的取值范圍，并討論的單調性解: 求原函數(shù)的導數(shù)得令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得當時，在內為增函數(shù)；21世紀教育網(wǎng) 當時，在內為減函數(shù)；當時，在內為增函數(shù)；這是2009年全國高考理科數(shù)學22題的一問，它是通過構造函數(shù)，直接把問題轉化成了一個二次函數(shù)問題來處理的。例5、已知函數(shù)（I）若時，求的最小值；解：由已知得，若 ，則當時，所以若 ，則當時，在所以當時綜上，的最小值是這是2013年高考理科大綱卷第22題的第一問，它是借助函數(shù)對應方程根的討論來處理的。轉化后能夠利用二次函數(shù)來處理的高考試題還有很多。作為生活中應用最廣泛的一種函數(shù)，依據(jù)新課程標準倡導的基本理念，二次函數(shù)的有關內容必然會成了高考中長考不衰，靈活多變的的考查內容，因此在學習的過