高中數(shù)學(xué)《拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案 北師大版選修11(1).docVIP

第6課時(shí)拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用1.根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)進(jìn)行一些簡單問題的應(yīng)用,會(huì)利用幾何性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、焦半徑和通徑.2.能判斷拋物線與直線的位置關(guān)系,理解拋物線的焦點(diǎn)弦的特殊意義,結(jié)合定義得到焦點(diǎn)弦的公式,并利用該公式解決一些相關(guān)的問題.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋物線及拋物線的簡單幾何性質(zhì),拋物線的幾何性質(zhì)應(yīng)用非常廣泛,通過類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論研究拋物線的幾何性質(zhì),再一次體會(huì)用曲線的方程研究曲線性質(zhì)的方法,拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等性質(zhì)不難掌握,而拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用是學(xué)習(xí)的難點(diǎn),學(xué)習(xí)中應(yīng)注重幾何模型與數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換.問題1:直線和拋物線的位置關(guān)系的判定方法聯(lián)立直線和拋物線方程得:ax2+bx+c=0.當(dāng)a0時(shí),0;=0;0)為例,根據(jù)拋物線的定義,可以將焦點(diǎn)弦長轉(zhuǎn)化為|ab|=,這樣在求解時(shí)可以大大簡化運(yùn)算量.過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦叫通徑.直接應(yīng)用拋物線定義,得到通徑:d=2p.問題3:關(guān)于拋物線的幾個(gè)結(jié)論設(shè)ab是過拋物線y2=2px(p0)焦點(diǎn)f的弦,過點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2)的直線的傾斜角為,p(x0,y0)是拋物線上任意一點(diǎn),則(1)以ab為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切;(2)a,b兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值.即x1x2=p24,y1y2=-p2;(3)焦半徑(拋物線上一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)f的線段)為|pf|=x0+p2;(4)焦點(diǎn)弦|ab|=x1+x2+p=2psin2,1|fa|+1|fb|=2p;(5)焦點(diǎn)三角形面積為soab=p22sin;(6)若點(diǎn)p(x0,y0)在拋物線y2=2px(p0)或x2=2py(p0)的內(nèi)部(含焦點(diǎn)區(qū)域),則y022px0或x020),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于a,b兩點(diǎn),若線段ab的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為().a.x=1b.x=-1c.x=2d.x=-22.若點(diǎn)(3,1)是拋物線y2=2px(p0)的一條弦的中點(diǎn),且弦所在直線的斜率為2,則p等于().a.1b.2c.12d.43.已知o為坐標(biāo)原點(diǎn),f為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),a是拋物線上一點(diǎn),若oaaf=-4,則點(diǎn)a的坐標(biāo)是.4.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為15,求拋物線的方程.(2013年新課標(biāo)卷)設(shè)拋物線c:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為f,點(diǎn)m在c上,|mf|=5.若以mf為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則c的方程為().a.y2=4x或y2=8xb.y2=2x或y2=8xc.y2=4x或y2=16xd.y2=2x或y2=16x考題變式(我來改編):第6課時(shí)拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用知識(shí)體系梳理問題1:直線與拋物線相交,有兩個(gè)不同的交點(diǎn)直線與拋物線相切,只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與拋物線相離相交問題2:x1+x2+p基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.a設(shè)直線l的方程為3x-2y+c=0,拋物線y2=2x的焦點(diǎn)f(12,0),所以312-20+c=0,所以c=-32,故直線l的方程是6x-4y-3=0.選a.2.b不妨設(shè)a,b兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),其中x1x2.由直線ab斜率為-2,且過點(diǎn)(1,0)得直線ab的方程為y=-2(x-1),代入拋物線方程y2=8x,得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,解得x1=2+3,x2=2-3,|ab|=1+(-2)2|x1-x2|=215.3.x2=16y過焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸y軸垂直的弦長等于p的2倍.所求拋物線的方程為x2=16y.4.解:設(shè)r(x,y),相應(yīng)的p(x1,y1),則x+x12=-1+02,y+y12=2+02x1=-x-1,y1=-y+2,由x1=-x-10,得x-1.又點(diǎn)p在拋物線x2=y上,(-x-1)2=-y+2,即(x+1)2=-y+2(x0,即a4.x1+x2=a-2,x1x2=1,oaob=x1x2+y1y2=2x1x2+x1+x2+1=a+1.a+1=a2-1,解得a=-1或a=2(舍去).所求方程y2=-x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-14,0),準(zhǔn)線方程為x=14.【小結(jié)】這類問題的一般方法: (1)用直線方程和拋物線方程列方程組;(2)消元化為一個(gè)一元二次方程后,利用韋達(dá)定理得到x1+x2 ,x1x2 ;(3)將x1+x2 ,x1x2 代入題中的條件,從而得到關(guān)系式,使問題得到解決.探究二:【解析】若拋物線開口向右,如圖,依題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),則直線方程為y=-x+12p.設(shè)直線交拋物線于a(x1,y1),b(x2,y2),則由拋物線定義,得|ab|=|af|+|fb|=|ac|+|bd|=x1+p2+x2+p2=8.又a(x1,y1),b(x2,y2)是拋物線和直線的交點(diǎn),由y=-x+12p,y2=2px消去y,得x2-3px+p24=0,x1+x2=3p,p=2,所求拋物線方程為y2=4x.同理,當(dāng)拋物線開口向左時(shí),可求得拋物線方程為y2=-4x.【小結(jié)】(1)在解決與焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題時(shí),一是注意焦點(diǎn)弦所在的直線方程和拋物線方程聯(lián)立得方程組,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題;二是注意焦點(diǎn)弦、焦半徑公式的應(yīng)用,解題時(shí)注意整體代入的思想,可使運(yùn)算、化簡簡便.(2)在解決直線與拋物線的問題中經(jīng)常遇到中點(diǎn)弦的問題,處理的基本方法是點(diǎn)差法、利用根與系數(shù)的關(guān)系快速地求出中點(diǎn)弦所在直線的斜率.探究三:【解析】設(shè)直線l的方程為y=kx+3,將其代入y2=4x,整理得k2x2+(6k-4)x+9=0,則=(6k-4)2-49k2=16-48k=0,解得k=13,直線l的方程為y=13x+3.問題直線l的斜率一定存在嗎?結(jié)論上述解法只考慮了直線的斜率k存在的情況,而忽視了k不存在以及直線l平行拋物線對(duì)稱軸時(shí)兩種情形.于是,正確解答為:當(dāng)斜率k存在且k0時(shí),直線l的方程為y=13x+3,當(dāng)k=0時(shí),直線l:y=3,此時(shí)l平行于對(duì)稱軸,且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)(94,3),當(dāng)k不存在時(shí),直線l與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)l的方程為x=0,綜上,過點(diǎn)(0,3)且與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程為y=13x+3,y=3,x=0.【小結(jié)】要判斷直線與拋物線的位置關(guān)系,通常是通過討論直線方程與拋物線方程組成的方程組的解的情況來判斷,對(duì)于直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況,應(yīng)特別注意平行于拋物線對(duì)稱軸的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),但它不是切線,不能用=0求解,此時(shí)應(yīng)分類討論.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:橢圓的方程可化為x24+y29=1,其短軸在x軸上,拋物線的對(duì)稱軸為x軸,設(shè)拋物線的方程為y2=2px或y2=-2px(p0).拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3,即p2=3,p=6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程分別為y2=12x,x=-3或y2=-12x,x=3.應(yīng)用二:設(shè)以q為中點(diǎn)的弦ab端點(diǎn)坐標(biāo)為a(x1,y1),b(x2,y2),由題意,得x1x2,則有y12=8x1,y22=8x2,x1+x2=8,y1+y2=2.-,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),將代入,得y1-y2=4(x1-x2),即4=y1-y2x1-x2,k=4.所求弦ab所在直線方程為y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.應(yīng)用三:設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx-2,將其代入y2=-12x,整理得ky2+12y+24=0,當(dāng)k=0時(shí),直線l:y=-2,此時(shí)l平行于對(duì)稱軸,直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)(-13,-2),當(dāng)k0時(shí),由于=122-424k=0,解得k=32,直線l的方程為y=32x-2.當(dāng)k不存在時(shí),直線l與拋物線相切與頂點(diǎn),此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)l的方程為x=0.綜上,過點(diǎn)(0,-2)且與拋物線y2=-12x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程為y=32x-2,y=-2,x=0.基礎(chǔ)智能檢測1.b拋物線的焦點(diǎn)為f(p2,0),所以過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-p2,即x=y+p2,代入y2=2px得y2=2p(y+p2)=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y22=p=2(y1,y2分別為點(diǎn)a,b的縱坐標(biāo)),所以拋物線方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x=-1.2.b設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為p1(x1,y1),p2(x2,y2),則y12=2px1,y22=2px2,兩式相減得y1-y2x1-x2=2py1+y2=2.又因?yàn)閥1+y2=2,所以p=2.3.(1,2)或(1,-2)拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0),設(shè)a(y024,y0),則oa=(y024,y0),af=(1-y024,-y0),由oaaf=-4,得y0=2,點(diǎn)a的坐標(biāo)是(1,2)或(1,-2).4.解:設(shè)拋物線的方程為y2=2px,則y2=2px,y=2x+1,消去y,得4x2-(2p-4)x+1=0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),x1+x2=p-22,x1x