2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第03章3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程試題.docx

3.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程 3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程一、直線的點(diǎn)斜式方程1直線的點(diǎn)斜式方程的定義已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為k，則直線l的方程為 .這個(gè)方程是由直線上一定點(diǎn)及其斜率確定的，因此稱(chēng)為直線的 ，簡(jiǎn)稱(chēng) .當(dāng)直線l的傾斜角為0時(shí)(如圖1)，,即k=0,這時(shí)直線l與x軸平行或重合，l的方程就是,或.當(dāng)直線l的傾斜角為90時(shí)(如圖2)，直線沒(méi)有斜率，這時(shí)直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.因?yàn)檫@時(shí)l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以它的方程是,或.深度剖析（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，才能用直線的點(diǎn)斜式方程.（2）當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程表示過(guò)定點(diǎn)的無(wú)數(shù)條直線.2直線的點(diǎn)斜式方程的推導(dǎo)如圖，設(shè)點(diǎn)是直線l上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式得 (1),即 (2).注意方程(1)與方程(2)的差異：點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程(1)，但滿(mǎn)足方程(2)，因此，點(diǎn)不在方程(1)表示的圖形上，而在方程(2)表示的圖形上，方程(1)不能稱(chēng)為直線l的方程. 上述過(guò)程可以證明直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程(2)的解.對(duì)上面的過(guò)程逆推，可以證明以方程(2)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上，所以這個(gè)方程就是過(guò)點(diǎn),斜率為k的直線l的方程.二、直線的斜截式方程1直線的斜截式方程的定義我們把直線l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的 .如果直線l的斜率為k，且在y軸上的截距為b，則方程為，即 叫做直線的 ，簡(jiǎn)稱(chēng) .當(dāng)b=0時(shí)，表示過(guò)原點(diǎn)的直線；當(dāng)k=0且b0時(shí)，表示與x軸平行的直線；當(dāng)k=0且b=0時(shí)，表示與x軸重合的直線.深度剖析（1）縱截距不是距離，它是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、零或負(fù)數(shù). 縱截距也可能不存在，比如當(dāng)直線與y軸平行時(shí).（2）由于有些直線沒(méi)有斜率，即有些直線在y軸上沒(méi)有截距，所以并非所有直線都可以用斜截式表示.2直線的斜截式方程的推導(dǎo)已知直線l在y軸上的截距為b，斜率為k，求直線l的方程.這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于給出了直線上一點(diǎn)及直線的斜率k，求直線的方程，是點(diǎn)斜式方程的一種特殊情況，代入點(diǎn)斜式方程可得,即.三、直線的兩點(diǎn)式方程1直線的兩點(diǎn)式方程的定義已知直線過(guò)兩點(diǎn),當(dāng)時(shí)，直線的方程為 .這個(gè)方程是由直線上的兩點(diǎn)確定的，因此稱(chēng)為直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式.2直線的兩點(diǎn)式方程的推導(dǎo)已知直線過(guò)兩點(diǎn)(其中)，此時(shí)直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的.當(dāng)時(shí)，所求直線的斜率.任取中的一點(diǎn)，例如取，由點(diǎn)斜式方程，得,當(dāng)時(shí)，可寫(xiě)為.四、直線的截距式方程1直線的截距式方程的定義已知直線過(guò)點(diǎn)，()，則由直線的兩點(diǎn)式方程可以得到直線的方程為 _.我們把直線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做直線在軸上的_，此時(shí)直線在軸上的截距是 _.這個(gè)方程由直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距和確定，因此叫做直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)截距式.2直線的截距式方程的推導(dǎo)已知直線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，如圖，其中.將兩點(diǎn),的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得,即.五、中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,則.此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.六、直線系方程1過(guò)定點(diǎn)的直線系方程當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，我們可設(shè)直線方程為.由此方程可知，k取不同的值時(shí)，它就表示不同的直線，且每一條直線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn),當(dāng)k取遍所允許的每一個(gè)值后，這個(gè)方程就表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的許多直線，所以把這個(gè)方程叫做過(guò)定點(diǎn)的直線系方程.由于過(guò)點(diǎn)與x軸垂直的直線不能被表示，因此直線系 ()中沒(méi)有直線.2平行直線系方程在斜截式方程中，若k一定，而b可變動(dòng)，方程表示斜率為k的一束平行線，這些直線構(gòu)成的集合我們稱(chēng)之為平行直線系.K知識(shí)參考答案：一、 點(diǎn)斜式方程 點(diǎn)斜式二、截距 斜截式方程 斜截式三、四、 截距 五、 K重點(diǎn)直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程，根據(jù)直線方程判定兩直線的平行與垂直K難點(diǎn)直線系問(wèn)題、直線方程的綜合應(yīng)用K易錯(cuò)忽略直線重合的情形或直線方程成立的條件致錯(cuò)、忽略直線方程的局限性致錯(cuò)1直線的點(diǎn)斜式方程用點(diǎn)斜式求直線的方程，確定直線的斜率和其上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)后即可求解.【例1】已知點(diǎn)和直線l：.求：（1）過(guò)點(diǎn)A且與直線l平行的直線方程；（2）過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線方程.【例2】已知在第一象限的中,A(1,1),B(5,1),且CAB=60,CBA=45,求邊AB,AC和BC所在直線的點(diǎn)斜式方程.【解析】由A(1,1),B(5,1)可知邊AB所在直線的斜率為0,故邊AB所在直線的方程為y-1=0.由ABx軸,且在第一象限，知邊AC所在直線的斜率kAC=tan 60=,邊BC所在直線的斜率kBC=tan(180-45)=-1,所以,邊AC所在直線的方程為y-1=(x-1),邊BC所在直線的方程為y-1=-(x-5).2直線的斜截式方程根據(jù)斜率和截距的幾何意義判斷k，b的正負(fù)時(shí)，（1）直線呈上升趨勢(shì)；直線呈下降趨勢(shì)；直線呈水平狀態(tài).（2）直線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方；直線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方；直線過(guò)原點(diǎn).【例3】已知直線l與直線y=-2x+3的斜率相同,且在y軸上的截距為5,求直線l的斜截式方程,并畫(huà)出圖形.【解析】因?yàn)橹本€l與直線y=-2x+3的斜率相同,所以直線l的斜率為-2.又直線l在y軸上的截距為5,所以直線l的斜截式方程為y=-2x+5.在直線l上取一點(diǎn)(1,3),作出圖形如圖所示.【名師點(diǎn)評(píng)】直線的斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特殊情形.【例4】已知直線l的斜率為，且和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，求直線l的方程.3直線的兩點(diǎn)式方程已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求解直線方程，可直接將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的兩點(diǎn)式方程，化簡(jiǎn)即得.代入點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)注意橫縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.若點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)，需注意當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸重合時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求解.【例5】已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)(4，0)，B(0，3)，C(2，1)，求：(1)BC邊所在的直線的方程；(2)BC邊上中線所在的直線的方程.4直線的截距式方程（1）由已知條件確定橫、縱截距.（2）若兩截距為零，則直線過(guò)原點(diǎn)，直接寫(xiě)出方程即可；若兩截距不為零，則代入公式中，可得所求的直線方程（3）如果題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等、截距互為相反數(shù)或在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的多少倍等條件時(shí)，采用截距式求直線方程時(shí)一定要注意考慮“零截距”的情況.【例6】已知直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，求直線的方程【解析】設(shè)直線的方程為，則，又直線過(guò)點(diǎn)，由得或.直線的方程為或，即或5中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求以任意已知兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)坐標(biāo).（2）從中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以看出線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)只與的橫坐標(biāo)有關(guān)，中點(diǎn)的縱坐標(biāo)只與的縱坐標(biāo)有關(guān).【例7】已知，則過(guò)點(diǎn)和線段的中點(diǎn)的直線方程為ABCD【答案】B【解析】由題意可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故所求直線方程為，整理，得，故選B.6直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題本題考查了直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上就是考查直線方程的點(diǎn)斜式，同時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合的思想解題. 若直線存在斜率，則可以把直線方程化為點(diǎn)斜式的形式，無(wú)論直線的斜率k取何值時(shí)，直線都過(guò)定點(diǎn).【例8】已知直線.（1）求證：直線l過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，直線上的點(diǎn)都在x軸上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【解析】（1）由，得由直線方程的點(diǎn)斜式可知，直線過(guò)定點(diǎn)（2）設(shè)函數(shù)，顯然其圖象是一條直線(如圖)，若使時(shí)，直線上的點(diǎn)都在x軸上方，需滿(mǎn)足,即,解得.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.7直線的平移規(guī)律直線上下(或沿y軸)平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得(上加下減)；直線左右(或沿x軸)平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得(左加右減).【例9】已知直線，將直線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，則直線的方程為 .【答案】【解析】根據(jù)直線的平移規(guī)律，可得直線的方程為，即.8點(diǎn)斜式和斜截式的實(shí)際應(yīng)用由直線的斜截式方程與一次函數(shù)的表達(dá)式的關(guān)系，利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出直線方程，可以解決實(shí)際問(wèn)題.9忽略了直線重合的情形致錯(cuò)【例11】已知直線，當(dāng)時(shí)，求m的值.【錯(cuò)解】的斜率，的斜率也一定存在，由的方程得,由,得,解得或.m的值為3或.【錯(cuò)因分析】忽略了直線重合的情況，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.【誤區(qū)警示】當(dāng)兩直線的斜率存在時(shí)，兩直線平行的等價(jià)條件是斜率相等且縱截距不相等，做題時(shí)容易忽略縱截距不相等，從而導(dǎo)致錯(cuò)解.10忽略直線方程的局限性致錯(cuò)【例12】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程.【錯(cuò)解】設(shè)直線方程為,將代入，得,解得.故所求的直線方程為.【錯(cuò)因分析】截距相等包含兩層含義，一是截距不為0時(shí)的相等，二是截距為0時(shí)的相等，而后者常常被忽略，導(dǎo)致漏解.【正解】（1）當(dāng)截距為0時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，直線的斜率為,直線的方程為,即.（2）當(dāng)截距不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為,直線過(guò)點(diǎn)，直線的方程為.綜上，直線的方程為或.【誤區(qū)警示】不同形式的方程均有其適用條件，在解題時(shí)應(yīng)注意截距式方程的應(yīng)用前提是截距均不為0且不垂直于坐標(biāo)軸.1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)，傾斜角是60的直線方程是Ay2(x2) By2(x2)Cy2(x2)Dy2(x2)2直線的方程A可以表示任何直線B不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線C不能表示與y軸垂直的直線D不能表示與x軸垂直的直線3直線過(guò)一、二、三象限，則Aa0，b0 Ba0，b0Ca0，b0 Da0，b04直線的圖象可能是5與直線垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是A By=2x4Cy=2x4 D6在y軸上的截距是3，且經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(6,1)中點(diǎn)的直線方程為A B C D7已知直線l1過(guò)點(diǎn)P(2，1)且與直線l2：yx1垂直，則l1的點(diǎn)斜式方程為 8直線必過(guò)定點(diǎn) 9斜率與直線的斜率相等，且過(guò)點(diǎn)的直線的斜截式方程是 .10已知中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0),則中平行于BC邊的中位線所在直線的兩點(diǎn)式方程是 .11寫(xiě)出下列直線的點(diǎn)斜式方程:(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5),且與直線y=2x+7平行;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-1,-1),且與x軸平行.12已知直線l的斜率與直線的斜率相等，且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，求直線l的斜截式方程13已知的頂點(diǎn)是，直線平行于，且分別交邊、于、，的面積是面積的(1)求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)求直線的方程14兩直線與的圖象可能是圖中的 A B C D15若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng),則直線l2過(guò)定點(diǎn) A(0,4)B(0,2)C(-2,4)D(4,-2)16若三點(diǎn)共線，則 .17已知直線l過(guò)定點(diǎn)A(2，3)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線l的方程1234561415BDCBDBBB1【答案】B【解析】ktan60，則點(diǎn)斜式方程為y2(x2)5【答案】D【解析】因?yàn)樗笾本€與y=2x1垂直，所以設(shè)直線方程為.又因?yàn)橹本€在y軸上的截距為4，所以直線的方程為.6【答案】B【解析】易知A(2，1)，B(6,1)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，即直線在x軸上的截距為4，則所求直線的方程為.7【答案】y1(x2)【解析】根據(jù)題意可知直線l1的斜率為1，所以l1的點(diǎn)斜式方程為y1(x2)8【答案】(3，2)【解析】將直線方程變形為y2=a(x3)，由直線方程的點(diǎn)斜式可知，直線過(guò)定點(diǎn)(3，2)9【答案】【解析】因?yàn)樗笾本€的斜率與直線的斜率相等，所以所求直線的斜率.又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線方程為，所以直線的斜截式方程為.11【解析】(1)由題意知,直線的斜率為2,所以其點(diǎn)斜式方程為y-5=2(x-2).(2)由題意知,直線的斜率k=tan 0=0,所以直線的點(diǎn)斜式方程為y-(-1)=0,即y=-1.12【解析】由題意知，直線l的斜率為，故可設(shè)直線l的方程為，所以直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為b，所以，所以直線l的方程為