2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科).doc

2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1（5分）已知集合A=xR|3x+20，B=xR|（x+1）（x3）0，則AB=（）A（，1）B（1，）C，3D（3，+）2（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A（1，3）B（3，1）C（1，3）D（3，1）3（5分）設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（）ABCD4（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A2B4C8D165（5分）函數(shù)f（x）=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A0B1C2D36（5分）已知an為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）Aa1+a32a2Ba12+a322a22C若a1=a3，則a1=a2D若a3a1，則a4a27（5分）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（）A28+6B30+6C56+12D60+128（5分）某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，則m的值為（）A5B7C9D11二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9（5分）直線y=x被圓x2+（y2）2=4截得的弦長(zhǎng)為10（5分）已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1=，S2=a3，則a2=，Sn=11（5分）在ABC中，若a=3，b=，則C的大小為12（5分）已知函數(shù)f（x）=lgx，若f（ab）=1，則f（a2）+f（b2）=13（5分）己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)則的值為14（5分）已知f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2若xR，f（x）0或g（x）0，則m的取值范圍是三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（13分）已知函數(shù)f（x）=（1）求f（x）的定義域及最小正周期；（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間16（14分）如圖1，在RtABC中，C=90，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖2（1）求證：DE平面A1CB；（2）求證：A1FBE；（3）線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ？說明理由17（13分）近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，先隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）；“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；（2）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；（3）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a0，a+b+c=600當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時(shí)，寫出a，b，c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)s2的值（求：S2=+，其中為數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)）18（13分）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a0），g（x）=x3+bx（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處有公共切線，求a，b的值；（2）當(dāng)a=3，b=9時(shí)，函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間k，2上的最大值為28，求k的取值范圍19（14分）已知橢圓C：+=1（ab0）的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為，直線y=k（x1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，（）求橢圓C的方程；（）當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值20（13分）設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表，abcdef滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f1，1，且a+b+c+d+e+f=0記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1，2），Cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值（1）對(duì)如下數(shù)表A，求k（A）的值110.80.10.31（2）設(shè)數(shù)表A形如1112ddd1其中1d0求k（A）的最大值；（）對(duì)所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A，求k（A）的最大值2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1（5分）（2012北京）已知集合A=xR|3x+20，B=xR|（x+1）（x3）0，則AB=（）A（，1）B（1，）C，3D（3，+）【解答】解：因?yàn)锽=xR|（x+1）（x3）0=x|x1或x3，又集合A=xR|3x+20=x|x，所以AB=x|xx|x1或x3=x|x3，故選：D2（5分）（2012北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A（1，3）B（3，1）C（1，3）D（3，1）【解答】解：=1+3i，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），故選A3（5分）（2012北京）設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（）ABCD【解答】解：其構(gòu)成的區(qū)域D如圖所示的邊長(zhǎng)為2的正方形，面積為S1=4，滿足到原點(diǎn)的距離大于2所表示的平面區(qū)域是以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓外部，面積為=4，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率P=故選：D4（5分）（2012北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A2B4C8D16【解答】解：第1次判斷后S=1，k=1，第2次判斷后S=2，k=2，第3次判斷后S=8，k=3，第4次判斷后33，不滿足判斷框的條件，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果：8故選C5（5分）（2012北京）函數(shù)f（x）=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A0B1C2D3【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，+）y=在定義域上為增函數(shù)，y=在定義域上為增函數(shù)函數(shù)f（x）=在定義域上為增函數(shù)而f（0）=10，f（1）=0故函數(shù)f（x）=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)故選B6（5分）（2012北京）已知an為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）Aa1+a32a2Ba12+a322a22C若a1=a3，則a1=a2D若a3a1，則a4a2【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a1+a3=，當(dāng)且僅當(dāng)a2，q同為正時(shí)，a1+a32a2成立，故A不正確；，故B正確；若a1=a3，則a1=a1q2，q2=1，q=1，a1=a2或a1=a2，故C不正確；若a3a1，則a1q2a1，a4a2=a1q（q21），其正負(fù)由q的符號(hào)確定，故D不正確故選B7（5分）（2012北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（）A28+6B30+6C56+12D60+12【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是底面為直角邊長(zhǎng)為4和5的三角形，一個(gè)側(cè)面垂直底面的等腰三角形，高為4，底邊長(zhǎng)為5，如圖，所以S底=10，S后=，S右=10，S左=6幾何體的表面積為：S=S底+S后+S右+S左=30+6故選：B8（5分）（2012北京）某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，則m的值為（）A5B7C9D11【解答】解：若果樹前n年的總產(chǎn)量S與n在圖中對(duì)應(yīng)P（S，n）點(diǎn)則前n年的年平均產(chǎn)量即為直線OP的斜率由圖易得當(dāng)n=9時(shí)，直線OP的斜率最大即前9年的年平均產(chǎn)量最高，故選C二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9（5分）（2012北京）直線y=x被圓x2+（y2）2=4截得的弦長(zhǎng)為【解答】解：圓x2+（y2）2=4的圓心坐標(biāo)為（0，2），半徑為2圓心到直線y=x的距離為直線y=x被圓x2+（y2）2=4截得的弦長(zhǎng)為2=故答案為：10（5分）（2012北京）已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1=，S2=a3，則a2=1，Sn=【解答】解：根據(jù)an為等差數(shù)列，S2=a1+a2=a3=+a2；d=a3a2=a2=+=1Sn=故答案為：1，11（5分）（2012北京）在ABC中，若a=3，b=，則C的大小為【解答】解：ABC中，a=3，b=，由正弦定理=得：=，sinB=又ba，BA=B=C=故答案為：12（5分）（2012北京）已知函數(shù)f（x）=lgx，若f（ab）=1，則f（a2）+f（b2）=2【解答】解：函數(shù)f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2故答案為：213（5分）（2012北京）己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)則的值為1【解答】解：因?yàn)?1故答案為：114（5分）（2012北京）已知f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2若xR，f（x）0或g（x）0，則m的取值范圍是（4，0）【解答】解：g（x）=2x2，當(dāng)x1時(shí)，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0此時(shí)f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1時(shí)恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的左面則4m0故答案為：（4，0）三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（13分）（2012北京）已知函數(shù)f（x）=（1）求f（x）的定義域及最小正周期；（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間【解答】解：（1）由sinx0得xk（kZ），故求f（x）的定義域?yàn)閤|xk，kZf（x）=2cosx（sinxcosx）=sin2xcos2x1=sin（2x）1f（x）的最小正周期T=（2）函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2k+，2k+（kZ）由2k+2x2k+，xk（kZ）得k+xk+，（kZ）f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：k+，k+（kZ）16（14分）（2012北京）如圖1，在RtABC中，C=90，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖2（1）求證：DE平面A1CB；（2）求證：A1FBE；（3）線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ？說明理由【解答】解：（1）D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，DEBC，又DE平面A1CB，DE平面A1CB（2）由已知得ACBC且DEBC，DEAC，DEA1D，又DECD，DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，DEA1F，又A1FCD，A1F平面BCDE，A1FBE（3）線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，則PQBCDEBC，DEPQ平面DEQ即為平面DEP由（）知DE平面A1DC，DEA1C，又P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，A1CDP，A1C平面DEP，從而A1C平面DEQ，故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ17（13分）（2012北京）近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，先隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）；“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；（2）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；（3）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a0，a+b+c=600當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時(shí)，寫出a，b，c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)s2的值（求：S2=+，其中為數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)）【解答】解：（1）由題意可知：廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾”箱400噸，故廚余垃圾投放正確的概率為；（2）由題意可知：生活垃圾投放錯(cuò)誤有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率為；（3）由題意可知：a+b+c=600，a，b，c的平均數(shù)為200=，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2aca2+b2+c2，因此有當(dāng)a=600，b=0，c=0時(shí)，有s2=8000018（13分）（2012北京）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a0），g（x）=x3+bx（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處有公共切線，求a，b的值；（2）當(dāng)a=3，b=9時(shí)，函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間k，2上的最大值為28，求k的取值范圍【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a0），則f（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，則g（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）為公共切點(diǎn)，可得：2a=3+b 又f（1）=a+1，g（1）=1+b，a+1=1+b，即a=b，代入式，可得：a=3，b=3（2）當(dāng)a=3，b=9時(shí)，設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x29x+1則h（x）=3x2+6x9，令h（x）=0，解得：x1=3，x2=1；k3時(shí)，函數(shù)h（x）在（，3）上單調(diào)增，在（3，1上單調(diào)減，（1，2）上單調(diào)增，所以在區(qū)間k，2上的最大值為h（3）=283k2時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間k，2上的最大值小于28所以k的取值范圍是（，319（14分）（2012北京）已知橢圓C：+=1（ab0）的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為，直線y=k（x1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，（）求橢圓C的方程；（）當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值【解答】解：（）橢圓一個(gè)頂點(diǎn)為A （2，0），離心率為，b=橢圓C的方程為；（）直線y=k（x1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，|MN|=A（2，0）到直線y=k（x1）的距離為AMN的面積S=AMN的面積為，k=120（13分）（2012北京）設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表，abcdef滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f1，1，且a+b+c+d+e+f=0記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1，2），Cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|