三角形復(fù)習(xí)指導(dǎo).docVIP

三角形復(fù)習(xí)指導(dǎo)山東 左加亭三角形是最簡單、最基本的幾何圖形之一，本章介紹了與三角形有關(guān)的一些概念，探討了三角形三邊之間的關(guān)系、三角形的內(nèi)角和等問題，然后在認(rèn)識全等圖形的基礎(chǔ)上，探索了三角形全等的條件，包括直角三角形全等的條件，并利用三角形全等來解決一些實際問題。為了幫助同學(xué)復(fù)習(xí)好這部分內(nèi)容，請同學(xué)們先完成下列填空：一、 復(fù)習(xí)目標(biāo)1、 進(jìn)一步認(rèn)識三角形的有關(guān)概念，了解三邊之間的關(guān)系以及三角形的內(nèi)角和，了解三角形的穩(wěn)定性。2、 經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握兩個三角形全等的條件，能應(yīng)用三角形的全等解決一些實際問題。3、 能夠用尺規(guī)作出三角形。4、 在復(fù)習(xí)過程中，通過觀察、操作（折、拼、畫、圖案、設(shè)計）想象、推理、交流等活動，發(fā)展空間觀念，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，在探索圖形性質(zhì)的過程中，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。二、基本知識點回顧：1、 三角形的有關(guān)概念（1） 三角形的定義 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，它有三條邊、三個內(nèi)角和三個頂點，三角形可用符號“”表示。（2） 三角形的三條重要線段，包括三條角平分線、三條中線、三條高線。注意：三角形的角平分線不同于一個角的平分線，前者是一條線段，后者是一條射線。三角形的高線是線段，而線段的垂線是直線；銳角三角形的三奪高線都在三角形的內(nèi)部，直角三角形中，有兩條高線恰好是它的兩條邊，鈍角三角形的三條高線中，有兩條高線在三角形的外部，它們的垂足落在邊的延長線上三角形的三條角平分線交于一點，三條中線交于一點，三角形的三條高所在的直線交于一點。2、 三角形的有關(guān)性質(zhì)（1） 邊的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊。（2） 角的性質(zhì)：三角形的內(nèi)角和為，一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角，直角三角形的兩個銳角互余。（3） 穩(wěn)定性：即三角形的三邊的長度確定后，三角形的形狀保持不變。3、 三角形的分類（1）按邊分（2）按角分4、 全等三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)（1） 全等圖形：兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形 全等圖形的特征 ：全等圖形的形狀和大小都相等 全等三角形：兩個能夠完全重合的三角形叫做全等三角形，兩個全等三角形重合時，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的角叫做對應(yīng)角。（2） 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。5、 全等三角形的判定條件（1） 一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS （2） 直角三角形：SAS，ASA，AAS，SSS ，HL注意：不能把“邊邊角”和“角角角”作為判定兩個三角形全等的依據(jù)。6、 作三角形用尺規(guī)作三角形的類型主要有：（1） 己知三角形的三邊，求作這個三角形（2） 己知三角形的兩邊及其夾角，求作這個三角形（3） 己知三角形的兩個內(nèi)角及其夾角，求作這個三角形注意：在作三角形等幾何作圖中，作圖痕跡務(wù)必保留，不能將作圖痕跡抹掉在作符合某些條件的三角形時，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正確的。三、重點難點和關(guān)鍵點重點：本章的重點是三角形的性質(zhì)，包括等腰三角形、直角三角形的一些性質(zhì)，由于全等三角形是研究圖形相等的工具，所以這部分內(nèi)容也是本章重點。難點：是運用三角形全等解決問題，以及它的說理過程。關(guān)鍵點：是探索出三角形全等的條件四、難點突破1、 掌握一些特殊的輔助線的添加方法例1、 如圖AB/CD，AD/BC，則AB=DC，AD=BC說理理由。分析：要得到AB=DC，AD=BC需要構(gòu)造三角形，所以連結(jié)AC，解：連結(jié)AC因為AB/CD，所以1=2又因為AD/BC所以3=4在ADC和CBA中所以ADCCBA（ASA）所以AB=DC，AD=BC2、 挖握隱含條件利用兩次全等例2、 如圖，1=2，3=4，則AEB是否與AED相等為什么？分析：要知AEB=AED，需要知ABEADE，但缺少全等條件，還需要ABCADC得到AB=AD，所以本題需要利用三角形兩次全等得到兩角相等，要注意觀察圖形，發(fā)現(xiàn)公共邊等條件。解：AEB=AED理由如下：在ABC和ADC中：所以ABCADC（ASA）所以AB=AD在ABC和ADC中所以ABEADE（SAS）所以AEB=AED五、思想方法滲透1、分解圖形法 復(fù)雜的圖以都是由較簡單的圖形組成的，故可將復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，從而使問題簡單化。2、構(gòu)造圖形法 當(dāng)直接證明有因難時，常通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形達(dá)到解題的目的。3、轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜的問題的轉(zhuǎn)化為簡單的問題，或?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來處理的一種方法。以上三種方法我們經(jīng)常在解題中遇到，同學(xué)們在學(xué)習(xí)中總要遵循由特殊到一般的方法，不僅要學(xué)習(xí)邏輯推理，而且要學(xué)習(xí)合理推理一一一猜想，不斷培養(yǎng)自己的創(chuàng)新精神和實踐能力。六、常見考點例析考點一：考查有關(guān)概念三角形的三邊關(guān)系、三角形的內(nèi)角等于的應(yīng)用是考試的熱點問題，經(jīng)常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)。例1、（2006寧德市）在活動課上，小紅巳有兩根長為4cm，8cm的小木棒，現(xiàn)打箅拼一個等腰三角形，則小紅應(yīng)取的第三根小木棒的長 cm。分析：要取第三根小木棒的長度，就要看它和己有的兩根小木棒構(gòu)成的三角形是否滿足：任意兩邊之和大于第三邊或任意兩邊之差小于第三邊。解： 當(dāng)4為腰時，4，4，8不滿足三角形三邊關(guān)系定理，當(dāng)8為腰時，4，8，8滿足三角形三邊關(guān)系定理，所以應(yīng)填8。例2、若三角形的一個角是另一個角的6倍，而這兩個角的和比第三個角大，則此三角形的最大角是 析解：設(shè)另一個角為x度，則此角是6x度，第三個角是（x十6x一44）度根據(jù)三角形的內(nèi)角等于，得（x十6x一44）十x十6x=180，所以x=16，6x=96，x十6x一44=68，所以最大角為。考點二、考查全等三角形 說明三角形全等的條件，是本章的重點之一，本考點多以解答題、說理題、和簡單的探索題形式出現(xiàn)。例3、（2006陜西）如圖四邊形ABCD中，AC垂直平分BD于點O。（1） 圖中有多少對全等三角形？請把它們都寫出來。（2） 任選（1）中的一對全等三角形加以證明分析：判定兩個三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，要判定直角三角形全等的方法除上述方法外，還有HL，要綜合運用這些方法找全等三角形。解：（1）圖中有三對全等三角形：AOBAOD，COBCOD，ABCADC （2）證明ABCADC 證明：因為AC垂直平分BD，所以AB=AD，CB=CD又因為AC=AC，所以ABCADC（SSS）例4、如圖在AFD和EBC中，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，有下列四個論斷：（1）AD=CB（2）AE=CF（3）B=D（4）AD/BC請你用其中的三個作為條件，余下的作為結(jié)論，編一道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程。分析：本題主要考查對三角形全等的識別的掌握情況，本題答案不惟一，現(xiàn)給出一種情況。解：己知AE=CF，B=D，AD/BC，試說明AD=BC成立的理由。AE=CF AE+EF=CF+EF即AF=CEAD/BC A=C ADFCBE AD=BC例5、下面四個條件中，請你以其中兩個為巳知條件，第三個為結(jié)論，推出一個正確的結(jié)論（只需寫出一個情況）（1） AE=AD（2）AB=AC（3）OB=OC（4）B=C分析：本題是一道多解型試題，答案較多，目的在于考查學(xué)生匯聚思維、探究問題的能力。解：由已知（1） AE=AD（2）AB=AC說明（4）B=C成立的理由。 ABEACDB=C 考點三、利用三角形全等證明角或邊相等的問題角或邊相等的證明大多是通過利用三角形全等來證明的，本考點多以解答題、證明題的形式出現(xiàn)。例6、（2006宜昌市）已知AB=AC，AE=AD，點D、E分別在AB、AC上，如圖求證：B=C分析：角或邊相等的證明大多是通過利用三角形全等來證明的，在證明中要注意全等所應(yīng)具備的條件。證明：在ABE和ACD中因為A=A又因為AB=AC，AE=AD所以ABEACD（SAS）所以B=C考點四：運用全等三角形測量距離利用全等三角形解決實際問題是考試中的一個重點，多以大題的形式出現(xiàn)。例7、在一座樓相鄰兩面墻的外根部有兩點A，C，如圖請你設(shè)計方案測量A，C兩點間的距離。分析：本題無法直接測量A，C兩點間的距離，我們可以借助三角形全等的知識解決。解：測量方法：（1）沿兩面墻分別畫出延長線，使DB=AB，EB=CB（2）連結(jié)DE，DE的長就是A，C兩點間的距離。ABCDBEDE=AC所以只要測得DE的長就可知A、C兩點間的距離。例8、如圖是舉世聞名的三星堆考中中發(fā)掘出的一個三角形殘缺玉片，工作人員想制作該玉片模型，則對圖中作哪些數(shù)據(jù)測量后，就可作成符合規(guī)格的三角形玉片模型，并說明其中的道理。析解：測量A、B的度數(shù)和線段AB的長度，就能作出和原三角形一樣的玉片模型。理由：作AA，AB=AB, B=B則ABCABC(ASA)考點五：探究直角三角形全等和直角三角形全等的有關(guān)試題多以填空題或解答題的形式出現(xiàn)。例9、己知：ADB=ACB=，AD=BC，那么AC=BD嗎？為什么？1與2是否相等，為什么？分析：在證明直角三角形全等時，除了一般的判定方法外，還有特殊方法即HL，本題就是利用它來判定直角三角形全等的。欲證1=2，必須證ABDBAC故首先要證DAC=CBD解：因為直角三角形ABD與直角三角形BAC中，有一條直角邊AD=BC，另外斜邊AB=BA，所即這兩個直角三角形全等，即ABDBAC（HL）所以AC=BD且有DAB=CBA，CAB=DBA從而DAB一CAB=CBA一DBA即DAC=CBD又由AD=BC，AC=BD知ADCBCD（SAS）所以1=2答：AC=BD，1=2考點六：作圖根據(jù)所給的線段和條件作三角形是本章的一個組成部分，重在作圖能力的考查。 例10、己知：三角形的兩條邊另別是3cm和4cm，且3cm這條邊所對的角是，求作這個三角形。分析：先作一個角，再作出它的一個鄰邊，只要再把三角形角所對的邊確定了，所做的三角形就確定了。解：作法（1）作角（2）截AB=4cm（3）以B為圓心，以3cm為半經(jīng)畫弧，交角的一邊于C，C點（4）連張結(jié)，得到的和都是符合條件的三角形。如圖。考點七：創(chuàng)新題例11、（2006浙江紹興）我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會全等？（1） 閱讀與證明：對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然他們?nèi)龋瑢τ谶@兩個三角形均為鈍角三角形，可證他們?nèi)?，（證明略）對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：已知ABC，均為銳角三角形，求證：ABC證明：分別過點B，作于D，于如圖則，BCD（2） 歸納與敘述由（1）可得到一個正確的結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論。分析：這類閱讀理解題，在展示問題全貌的同時，在關(guān)鍵處留下一些疑難點，讓考生認(rèn)真思考，以補(bǔ)充欠缺的部分，這相當(dāng)于提示了整體思路，讓學(xué)生在整體理解的基礎(chǔ)上，給予具體的補(bǔ)充。解：（1）又ADB又ABC（2）若ABC，均為銳角三角形或均為直角三角形或均為鈍角三角形，則ABC點評：本命題提供的閱讀材料為考生暗發(fā)了“命題”在一般情況下不成立，卻在特殊情況下成立的信號，同時要求考生要面對數(shù)學(xué)難題，能接受挑戰(zhàn)，進(jìn)入發(fā)明創(chuàng)造的角度，提出了較高的素質(zhì)要求。六、應(yīng)注意的問題1、 幾何是公理、定理的體系，在學(xué)習(xí)中要認(rèn)真理解記憶這些公理、定理，弄請它們的題設(shè)和結(jié)