北師大版選修45 一般形式的柯西不等式 課件（30張）.pptx

1 2一般形式的柯西不等式 第二章 1柯西不等式 學習目標1 理解并掌握三維形式的柯西不等式 2 了解柯西不等式的一般形式 體會從特殊到一般的思維過程 3 會用三維形式及一般形式的柯西不等式解決一些特殊形式的問題 問題導學 達標檢測 題型探究 內容索引 問題導學 知識點一三維形式的柯西不等式 思考1類比平面向量 在空間向量中 如何用 推導三維形式的柯西不等式 答案設 a1 a2 a3 b1 b2 b3 思考2三維形式的柯西不等式中 等號成立的條件是什么 答案當且僅當 共線時 即 0或存在實數k 使a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3時 等號成立 梳理三維形式的柯西不等式 a1b1 a2b2 a3b3 2 知識點二一般形式的柯西不等式 1 一般形式的柯西不等式 a1b1 a2b2 anbn 2 2 柯西不等式等號成立的條件當且僅當bi 0 i 1 2 n 或存在一個實數k 使得 i 1 2 n 時等號成立 當向量 a1 a2 an 與向量 b1 b2 bn 共線時 等號成立 ai kbi 題型探究 類型一利用柯西不等式證明不等式 命題角度1三維形式的柯西不等式的應用例1設a b c為正數 且不全相等 證明 因為題設中a b c不全相等 故 中等號不成立 反思與感悟有些問題一般不具備直接應用柯西不等式的條件 可以通過 1 構造符合柯西不等式的形式及條件 可以巧拆常數 2 構造符合柯西不等式的形式及條件 可以重新安排各項的次序 3 構造符合柯西不等式的形式及條件 可以改變式子的結構 從而達到使用柯西不等式的目的 4 構造符合柯西不等式的形式及條件 可以添項 證明由柯西不等式知 證明 原不等式成立 命題角度2一般形式的柯西不等式的應用 證明 反思與感悟一般形式的柯西不等式看著往往感覺比較復雜 這時一定要注意式子的結構特征 一邊一定要出現 方 和 積 的形式 跟蹤訓練2已知a1 a2 an r 且a1 a2 an 1 求證 證明 a1 a2 an 2 1 類型二利用柯西不等式求函數的最值 例3 1 若實數x y z滿足x 2y 3z a a為常數 則x2 y2 z2的最小值為 答案 解析 即14 x2 y2 z2 a2 解 x y z 1 解答 1 2 3 2 36 反思與感悟利用柯西不等式求最值時 關鍵是對原目標函數進行配湊 以保證出現常數結果 同時 要注意等號成立的條件 跟蹤訓練3已知a 0 b 0 c 0 函數f x x a x b c的最小值為4 1 求a b c的值 解答 解因為f x x a x b c x a x b c a b c 當且僅當 a x b時 等號成立 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值為a b c 又已知f x 的最小值為4 所以a b c 4 解由 1 知a b c 4 由柯西不等式 得 解答 達標檢測 1 2 4 3 答案 解析 1 2 4 3 a 2b 3c的最小值為9 答案 解析 1 2 4 3 答案 解析 16 當且僅當a b c d時取等號 1 2 4 3 證明 規(guī)律與方法 2 要求ax by z的最大值 利用柯西不等式 ax by z 2 a2 b2 12 x2 y2 z2 的形式 再結合已知條件進行