高等數(shù)學(xué) 一 微積分 考試必過(guò)歸納總結(jié) 要點(diǎn)重點(diǎn).doc

全書(shū)內(nèi)容可粗分為以下三大部分：第一部分 函數(shù)極限與連續(xù)（包括級(jí)數(shù)）第二部分 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（包括多元函數(shù)）第三部分 積分計(jì)算及其應(yīng)用 （包括二重積分和方程）第一部分 函數(shù)極限與連續(xù)一、關(guān)于函數(shù)概念及特性的常見(jiàn)考試題型： 1、求函數(shù)的自然定義域。2、判斷函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性。3、求反函數(shù)。4、求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。二、 極限與連續(xù) 常見(jiàn)考試題型： 1、求函數(shù)或數(shù)列的極限。2、考察分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限是否存在， 函數(shù)是否連續(xù)。3、函數(shù)的連續(xù)與間斷。4、求函數(shù)的漸進(jìn)線。5、級(jí)數(shù)的性質(zhì)及等比級(jí)數(shù)。6、零點(diǎn)定理。每年必有的考點(diǎn)第三部分 導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用 常見(jiàn)考試題型：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、討論分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性。3、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)， 隱含數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)；4、討論函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，求曲線的拐點(diǎn)；5、求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值；6、實(shí)際問(wèn)題求最值。 每年必有的考點(diǎn)第四部分 積分計(jì)算及應(yīng)用 考試常見(jiàn)題型1、不定積分的概念與計(jì)算；2、定積分的計(jì)算；3、定積分計(jì)算平面圖形的面積；4、定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積；5、無(wú)窮限反常積分6、二重積分7、微分方程最近幾年考題中，積分計(jì)算的題目較多， 而且也有一定的難度。第一部分 函數(shù)極限與連續(xù)一、關(guān)于函數(shù)概念及特性的常見(jiàn)考試題型： 1、求函數(shù)的自然定義域。2、判斷函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性。3、求反函數(shù)。4、求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。例1.函數(shù)y=的定義域是_. 2007.7知識(shí)點(diǎn)：定義域 約定函數(shù)的定義域是使函數(shù)的解析表達(dá)式有意義的一切實(shí)數(shù)所構(gòu)成的數(shù)集。解 要使根式函數(shù)有意義必須滿足，要使成立， 只有，即.注：我們所求定義域的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，而初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次的運(yùn)算及有限次的復(fù)合得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。這就需要我們把基本初等函數(shù)的定義域、值域等搞清楚。 基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖形如下表所示(表周期)：名稱表達(dá)式定義域 圖 形 特 性常數(shù)函數(shù) 有界，偶函數(shù)冪函數(shù)隨而異，但在上均有定義時(shí)在單增；時(shí)在單減無(wú)界 指 數(shù) 函 數(shù) 單增 單減無(wú)界對(duì) 數(shù) 函 數(shù) 單增 單減 無(wú)界 正 弦 函 數(shù) 奇函數(shù)有界 余 弦 函 數(shù) 偶函數(shù)有界 正 切 函 數(shù) 奇函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)單增，無(wú)界 余 切 函 數(shù),奇函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)單減無(wú)界 反 正 弦 函 數(shù)奇函數(shù)單增 有界 反 余 弦 函 數(shù)單減有界 反 正 切 函 數(shù) 奇函數(shù)單增 有界 反 余 切 函 數(shù) 單減有界例2 求函數(shù)的值域 2007.4解：由可知，所以，故的值域?yàn)槔? . 1.下列函數(shù)中在所給的區(qū)間上是有界函數(shù)的為（ ）Af (x)= 0，1Bf (x)= （-1，0）Cf (x)=ex (-，+)Df (x)=lnx (0，+)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的有界性 注：函數(shù)的有界性是指值域的有界性。解：A，故f (x)=在0，1上為有界函數(shù)。 B 故f (x)=在（-1，0）上為無(wú)界函數(shù)。CD結(jié)合函數(shù)圖像判斷。例4、設(shè)函數(shù)是定義在上的任意函數(shù)，證明： （1）、是偶函數(shù)（2）、是奇函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：奇偶性 若對(duì)于任何，恒有成立，則稱是奇函數(shù)。若對(duì)于任何，恒有成立，則稱是偶函數(shù)奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱分析：因?yàn)槭嵌x在對(duì)稱區(qū)間上，根據(jù)定義，只需證明：（1）（2）只證（1）： 偶函數(shù)。例5、求函數(shù)的反函數(shù). 07.10知識(shí)點(diǎn)：反函數(shù)求反函數(shù)的步驟是：先從函數(shù)中解出，再置換與，就得反函數(shù)。解：由 ，可得，所以，上式中與的記號(hào)互換，即得反函數(shù)為例61. 設(shè)f (x)=x3-x，則f =( )A.-2 B. C.0 D.2. 已知f(x+1)=x2，則f(x)=_.2009.10知識(shí)點(diǎn) ：復(fù)合函數(shù)解：1. 答案：C2. 令 則，故由可得，即.二、 極限與連續(xù) 常見(jiàn)考試題型： 1、求函數(shù)或數(shù)列的極限。2、考察分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限是否存在， 函數(shù)是否連續(xù)。3、函數(shù)的連續(xù)與間斷。4、求函數(shù)的漸進(jìn)線。5、級(jí)數(shù)的性質(zhì)及等比級(jí)數(shù)。6、零點(diǎn)定理。典型例題求極限方法總結(jié)：利用極限四則運(yùn)算、 連續(xù)函數(shù)、重要極限、無(wú)窮小代換、洛比達(dá)法則等例7求知識(shí)點(diǎn)： 若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，解 因?yàn)楣?例8、解 ： 知識(shí)點(diǎn)：一般地，設(shè)，則 例9 _. 2007.7解： 例10 （1）、 2008.1 (2) 2009.1知識(shí)點(diǎn)：重要極限：， 解: (1) 因?yàn)?，。(2) 求 2009.1解：例11. 知識(shí)點(diǎn)：重要極限 解： (4) 例12求極限（1） （2）知識(shí)點(diǎn)：利用等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)極限。為無(wú)窮小， 且， 則 解：(1)因?yàn)? 所以 （2）因?yàn)椋?，所以 注：在使用等價(jià)無(wú)窮小代換時(shí)，應(yīng)注意只能對(duì)乘除法代換，不能對(duì)加減法代換，即只對(duì)極限中的各個(gè)因式進(jìn)行代換記住下列幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小以及由此導(dǎo)出其它的等價(jià)無(wú)窮小1、 導(dǎo)出 時(shí)，2、 導(dǎo)出 時(shí)，3、， 導(dǎo)出 時(shí)，4、， 導(dǎo)出 時(shí)， 5、， 導(dǎo)出 時(shí)，6、， 導(dǎo)出 時(shí)，例13：(1) 09.7 (2) 09.4 (3) 07.4 （4）知識(shí)點(diǎn)： 洛必達(dá)法則：使用洛必達(dá)法則必須判斷所求的極限是分式型的未定式 、其它類型的未定式 ， ， 可轉(zhuǎn)化為分式型的未定式，從而可以用洛必達(dá)法則解：(1) （2） (3) (4) 例14求極限（1）. 2009.10 (2) 2007.1知識(shí)點(diǎn); 等價(jià)無(wú)窮小和洛比達(dá)法則結(jié)合解： （1） (2) 例15 .設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(0)=1，則（）2007.4A.0B. C.1 D.2知識(shí)點(diǎn)： 變上限函數(shù)求導(dǎo)求極限解： =例16設(shè)函數(shù)f(x)=在x=0點(diǎn)連續(xù)，則k=（）2009.4知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)連續(xù) 若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。分段函數(shù)在分段點(diǎn)點(diǎn)處連續(xù)在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)。解：因?yàn)樵邳c(diǎn)0處連續(xù)，所以 例17函數(shù) 的間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 【 】(A) 0個(gè) (B) 1個(gè) (C) 2個(gè) (D) 3個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 判斷初等函數(shù)的間斷點(diǎn)如果在點(diǎn)不連續(xù)，則稱是的間斷點(diǎn) 若下列三種情況之一成立，則是的間斷點(diǎn)：i無(wú)定義 (是無(wú)定義的孤立點(diǎn)) ii不存在 iii有定義，存在，但 若是含有分母的初等函數(shù)，則分母的零點(diǎn)是間斷點(diǎn) 若是分段函數(shù)，則分段的分界點(diǎn)是可疑的間斷點(diǎn)解：將函數(shù)的分母做因式分解，則有分母的零點(diǎn)就是函數(shù)的間斷點(diǎn)可以看到分母的零點(diǎn)為，應(yīng)選擇C注： 對(duì)函數(shù)做因式分解是判斷函數(shù)零點(diǎn)的常用方法例18求曲線的水平漸近線和豎直漸近線.2009.10解： 因?yàn)?，所以為曲線的水平漸近線，為曲線的水平豎直漸近線。例三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：例20設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，且f(0)=0, f(1)=1. 證明：至少存在一點(diǎn)（0，1），使f()=1-.2008.7知識(shí)點(diǎn) 零點(diǎn)定理 若在閉區(qū)間連續(xù)，且，則至少有一點(diǎn)，使證明：.令，則在閉區(qū)間連續(xù)，則由零點(diǎn)定理至少有一點(diǎn)，使即。第二部分 導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用 常見(jiàn)考試題型：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、討論分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性。3、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)， 隱含數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)；4、討論函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，求曲線的拐點(diǎn)；5、求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值；19 求級(jí)數(shù)的和6、實(shí)際問(wèn)題求最值。 一、有關(guān)定義的題型例21設(shè)f (0)=1，求 2008.10知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義 解: 例22設(shè)=, 討論該函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性知識(shí)點(diǎn)： 1、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)在點(diǎn)處連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù).2、函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等3、分段函數(shù)在分段點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)可用導(dǎo)數(shù)的左右極限來(lái)得到。解：因?yàn)?所以 在處連續(xù)因?yàn)?，在處不可導(dǎo)總之，在處連續(xù)不可導(dǎo)例23 .設(shè)，則=。2007.4解： 例24求曲線上點(diǎn)（0，1）處的切線是.知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率 解：因?yàn)樗郧€在點(diǎn)（0，1）處的切線方程的斜率為,則曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為, 即例25設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則在處（C.）2005年4月A.極限不一定存在B.不一定連續(xù)C.可微D.不一定可微知識(shí)點(diǎn)：可導(dǎo)可微可導(dǎo)連續(xù)例26、若函數(shù)在點(diǎn)處自變量增量=0.25，對(duì)應(yīng)函數(shù)增量的線性主部為2，求函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值 2006年1月知識(shí)點(diǎn)：微分解： 因?yàn)?所以 二、有關(guān)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的題型基本求導(dǎo)公式 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 若函數(shù)，都在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有()； ()；()， 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)及可以復(fù)合成函數(shù)，若 在點(diǎn)可導(dǎo)，且在相應(yīng)的點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，或 ， 初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題全部解決例27、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1) y= .2009.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 , 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：逐層求導(dǎo)， 外層求導(dǎo)，內(nèi)層不動(dòng)。解：2）例28、 求下列函數(shù)的微分 知識(shí)點(diǎn):求微分解：（1）因?yàn)?所以 （2）設(shè)：，則; ，故所以 例29、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）設(shè) 2005.1 （2） 2007.知識(shí)點(diǎn)：當(dāng)冪指函數(shù)求導(dǎo)，或當(dāng)函數(shù)是多個(gè)因式相乘時(shí)，采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法解 兩邊取對(duì)數(shù)： 兩邊關(guān)于求導(dǎo)： 因?yàn)?例30、設(shè), 求 2004.10知識(shí)點(diǎn)： 高階導(dǎo)數(shù) ，熟記下列高階導(dǎo)數(shù)公式 解：,所以 例31 求在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算 解法： , 則 , 例32、求函數(shù))當(dāng)時(shí)的全微分. 2005年1月知識(shí)點(diǎn)：全微分解： 所以 注意：如果求非具體點(diǎn)的全微分，只需求出偏導(dǎo)函數(shù)，帶入全微分公式即可：例33、y, 求 2009.7解：，例34 設(shè)方程確定隱函數(shù),求 2005.10知識(shí)點(diǎn)：隱含數(shù)求導(dǎo)二元方程確定一個(gè)一元的隱函數(shù),且F(x, y, z) = 0確定二元函數(shù)z =z (x, y)，且：，解：令原方程即為 ，注：使用公式時(shí)，將方程表示為 或三、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用邊際函數(shù)：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)彈性函數(shù): 經(jīng)濟(jì)函數(shù)彈性函數(shù)如下定義：注意：1）在點(diǎn)可導(dǎo)，在點(diǎn)的彈性就存在。 2）= 例35 1已知生產(chǎn)某商品x個(gè)的邊際收益為30-2x，則總收益函數(shù)為（）2007.1A30-2x2B30-x2C30x-2x2D30x-x2知識(shí)點(diǎn)：表示某產(chǎn)品產(chǎn)量， 分別表示成本函數(shù)、收益函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)，則邊際成本 MC =邊際收益 MR =邊際利潤(rùn) ML =顯然：= MRMC 解：因?yàn)?，答案?供給價(jià)格彈性與需求價(jià)格彈性1、設(shè) 是市場(chǎng)對(duì)某一種商品的供給函數(shù)，其中為商品價(jià)格， 為市場(chǎng)供給量，則： - 供給價(jià)格彈性2、設(shè) 是市場(chǎng)對(duì)某一種商品的需求函數(shù)，其中為商品價(jià)格， 為市場(chǎng)需求量，則： - 需求價(jià)格彈性注意，當(dāng)時(shí)，所以 負(fù)號(hào)保證：， 需求價(jià)格彈性總是正數(shù)。例36.設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中p表示商品價(jià)格，D為需求量，a、b為正常數(shù)，則需求量對(duì)價(jià)格的彈性（）2005.10A.B. C. D. 解：2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)形態(tài)方面的應(yīng)用理論基礎(chǔ)：微分中值定理函數(shù)的凹凸性，單調(diào)性， 極值最值例37 函數(shù)在區(qū)間是否滿足羅爾定理的條件，若滿足，求出使的點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：、羅爾定理 若函數(shù)滿足： (1) 在閉區(qū)間連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo) (3) ，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函數(shù)滿足： (1) 在閉區(qū)間連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo) 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使解： 在連續(xù)且可導(dǎo)，又故在滿足羅爾定理的條件由于令，得，即點(diǎn)例38 .函數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)（）2005年1月A.單調(diào)減小B.單調(diào)增加C.不增不減D.有增有減知識(shí)點(diǎn)： 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)， 在上可導(dǎo)，(1)、若在內(nèi)， 則在上單調(diào)增加；(2)、若在內(nèi)， 則在上單調(diào)減少。解：因?yàn)?所以應(yīng)該選A例39. 試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。知識(shí)點(diǎn)： 求單調(diào)區(qū)間一階導(dǎo)數(shù)為零（駐點(diǎn)）或不存在的點(diǎn)可能恰好是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，這些分界點(diǎn)將函數(shù)的定義域分劃成若干個(gè)部分單調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?且當(dāng)時(shí)， ， 故函數(shù)在上單調(diào)減少； 當(dāng)時(shí)， ， 故函數(shù)在上單調(diào)增加。故為單調(diào)遞增區(qū)間，為單調(diào)增區(qū)間。例40求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)：曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)時(shí)，曲線為凹的，曲線為凸的。確定曲線拐點(diǎn)的方法：1、求出在區(qū)間上為零或不存在的點(diǎn)；2、這些點(diǎn)將區(qū)間劃分成若干個(gè)部分區(qū)間，然后考察在每個(gè)部分區(qū)間上的符號(hào)，確定曲線的凹凸性；3、若在兩個(gè)相鄰的部分區(qū)間上，曲線的凹凸性相反，則此分界點(diǎn)是拐點(diǎn)；若在兩個(gè)相鄰的部分區(qū)間上，曲線的凹凸性相同，則此分界點(diǎn)不是拐點(diǎn)。解：時(shí)，。例41求函數(shù)y=x-ln(1+x)的極值.知識(shí)點(diǎn)： 函數(shù)的極值，駐點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)）連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)求函數(shù)的極值的步驟： 先求出駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（可疑的極值點(diǎn)），再利用第一充分條件，第二充分條件判斷可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn)第一充分條件 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，在去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)， (1)、當(dāng) 則為的極大值(2)、當(dāng) 則為的極小值第二充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)， 且， 則(1)、當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在處取得極大值；(2)、當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在處取得極小值。解：， 定義域：令時(shí)，所以x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn), 而函數(shù)的極小值為0.例42 求在區(qū)間上的最大值與最小值知識(shí)點(diǎn)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值。 方法： 1、先求區(qū)間內(nèi)部可疑的極值點(diǎn)2、計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)和內(nèi)部可疑極值點(diǎn)的函數(shù)值。3、比較函數(shù)值大小， 確定最大值和最小值。解 令，得駐點(diǎn)由于，比較可知，在上的最大值為，最小值為。例43證明：當(dāng)時(shí)， 。 2007.1知識(shí)點(diǎn)：利用單調(diào)性證明不等式。 證明：令，則 ，單調(diào)遞減，所以當(dāng)， ， 即.例44.已知某廠生產(chǎn)件某產(chǎn)品的成本為(1)要使平均成本最小,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品? 2005年1(2)如產(chǎn)品以每件500元出售,要使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品? 知識(shí)點(diǎn)：實(shí)際問(wèn)題：1）求出目標(biāo)函數(shù)，寫(xiě)出定義域。 2）求唯一駐點(diǎn)。 3）由實(shí)際意義和駐點(diǎn)唯一直接判斷最值情況。解：(1) 平均成本函數(shù)為 則，令得由實(shí)際意義和駐點(diǎn)唯一可知，當(dāng)生產(chǎn)1000產(chǎn)品時(shí)，平均成本最小。 (2) 利潤(rùn)函數(shù)令得由實(shí)際意義和駐點(diǎn)唯一可知，當(dāng)生產(chǎn)6000產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)最大.第三部分 積分計(jì)算及應(yīng)用 考試常見(jiàn)題型1、不定積分的概念與計(jì)算；2、定積分的計(jì)算；3、定積分計(jì)算平面圖形的面積；4、定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積；5、無(wú)窮限反常積分6、二重積分7、微分方程一、 不定積分例45 設(shè)，則f (x)= _.2007.10知識(shí)點(diǎn)：不定積分的概念與性質(zhì)如果或 ，函數(shù)就稱為一個(gè)原函數(shù)，得全體原函數(shù)為解：例46知識(shí)點(diǎn)：不定積分的計(jì)算：運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 ( 為非零常數(shù) )基本積分表為前提1 2 (為常數(shù))， 3 ()， 4 5 6 7， 8 ，9， 10，11， 12 ，13 ， 14 ，解： 注意：計(jì)算不定積分一定不要漏掉常數(shù)C。例47 (1) (2) (3) （4）2008.10知識(shí)點(diǎn)：不定積分的第一換元積分法（湊微分法）解：(1) 。(2) 。(3) (4)+C注意：常見(jiàn)的湊微分公式 ； ； ； ； ； ； 例48. （1）求不定積分. （2） 2007.4知識(shí)點(diǎn)：不定積分第二換元法解：（1） 注意：若被積函數(shù)中含有的式子，取換元（2）則 所以 +C=注意：當(dāng)分母次數(shù)比分子次數(shù)高于1時(shí)，可以采用倒代換。例49 求不定積分（1） 2008.1 （2）知識(shí)點(diǎn)：分部積分法解：（1） （2） 注意：不定積分的幾種計(jì)算方法有時(shí)需要結(jié)合使用，而且也可以移植到定積分的計(jì)算。二 定積分牛頓(Newton)萊布尼茨(Leibniz)公式 例50 正弦曲線的一段y=sin x)與x軸所圍平面圖形的面積為（ ）09.7A.1B.2C.3D.4知識(shí)點(diǎn)：定積分的幾何意義解： 例51 知識(shí)點(diǎn)： 被積函數(shù)含有絕對(duì)值的定積分解： 由定積分的區(qū)間可加性，原積分 在區(qū)間上，從而；在區(qū)間上，從而 原積分注： 對(duì)于含有絕對(duì)值的定積分，應(yīng)利用積分的區(qū)間可加性脫掉絕對(duì)值號(hào)。例52 計(jì)算定積分 （1）。 （2） 2008.1知識(shí)點(diǎn)：定積分的換元計(jì)算換元必?fù)Q限， 下限對(duì)下限， 上限對(duì)上限解： （1） 取代換，則， 原積分 。（2）令， 則 例53 計(jì)算定積分 知識(shí)點(diǎn)： 對(duì)稱區(qū)間上定積分偶倍奇零設(shè)在上連續(xù)，證明：(1) 若為奇函數(shù)，則；(2) 若為偶函數(shù)，則解：例54 設(shè) 求