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湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)2014年物理奧賽教案第一講 力和平衡知識(shí)要點(diǎn):力學(xué)中常見(jiàn)的幾種力。摩擦力。彈性力。胡克定律。萬(wàn)有引力定律。均勻球殼對(duì)殼內(nèi)和殼外質(zhì)點(diǎn)的引力公式(不要求導(dǎo)出)。共點(diǎn)力作用下物體的平衡。力矩。剛體的平衡。重心。物體平衡的種類(lèi)。物體相對(duì)于地球靜止或勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)叫平衡;物體與物體之間的相互作用稱(chēng)之為力;物體受力都要發(fā)生形變,在研究力對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)之前,可把物體簡(jiǎn)化為各點(diǎn)間距離保持不變的剛體。研究平衡系統(tǒng)的主要任務(wù)是:首先把平衡物體從其所在位置隔離出來(lái),用力取代其它物體(或場(chǎng))對(duì)它的作用,把它簡(jiǎn)化為受力的平衡剛體;其次,研究作用在平衡剛體上的平衡力系,從基本的二力平衡原理出發(fā),運(yùn)用矢量方法,導(dǎo)出它所滿(mǎn)足的平衡條件;然后針對(duì)具體問(wèn)題,直接運(yùn)用相應(yīng)力系的平衡條件進(jìn)行數(shù)學(xué)求解,求出物體所受的全部未知力或平衡的幾何位置。一、矢量的運(yùn)算1、加法a b表達(dá): + = 。名詞:為“和矢量”。法則:平行四邊形法則。如圖所示。和矢量大?。篶 = ,其中a為和的夾角。和矢量方向:在、之間,和夾角= arcsin2、減法表達(dá): = 。名詞:為“被減數(shù)矢量”,為“減數(shù)矢量”,為“差矢量”。法則:三角形法則。如圖所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點(diǎn),然后連接兩時(shí)量末端,指向被減數(shù)時(shí)量的時(shí)量,即是差矢量。q 差矢量大?。篴 = ,其中為和的夾角。差矢量的方向可以用正弦定理求得。一條直線(xiàn)上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。對(duì)于曲線(xiàn)上矢量的合成也同樣可以進(jìn)行。如:已知質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng),半徑為R ,周期為T(mén) ,求它在T內(nèi)和在T內(nèi)的平均加速度大小。ABORvAvAvBv1v2vAvC解析:如圖所示,A到B點(diǎn)對(duì)應(yīng)T的過(guò)程,A到C點(diǎn)對(duì)應(yīng)T的過(guò)程。這三點(diǎn)的速度矢量分別設(shè)為、和。根據(jù)加速度的定義 = 得:= ,= 由于有兩處涉及矢量減法,設(shè)兩個(gè)差矢量 = ,= ,根據(jù)三角形法則,它們?cè)趫D中的大小、方向已繪出(的“三角形”已被拉伸成一條直線(xiàn))。本題只關(guān)心各矢量的大小,顯然: = = = ,且: = = , = 2= 所以:= = = ,= = = 。觀察與思考:這兩個(gè)加速度是否相等,勻速率圓周運(yùn)動(dòng)是不是勻變速運(yùn)動(dòng)?答:否;不是。3、乘法矢量的乘法有兩種:叉乘和點(diǎn)乘,和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。 叉乘表達(dá): = 名詞:稱(chēng)“矢量的叉積”,它是一個(gè)新的矢量。叉積的大?。篶 = absin,其中為和的夾角。意義:的大小對(duì)應(yīng)由和作成的平行四邊形的面積。叉積的方向:垂直和確定的平面,并由右手螺旋定則確定方向,如圖所示。顯然,但有:= 點(diǎn)乘表達(dá): = c名詞:c稱(chēng)“矢量的點(diǎn)積”,它不再是一個(gè)矢量,而是一個(gè)標(biāo)量。點(diǎn)積的大?。篶 = abcos,其中為和的夾角。如功的定義為:W=FScosq二、力、剛體、五個(gè)靜力學(xué)公理1、力物體間的相互作用,是物體產(chǎn)生加速度和形變?cè)?。力系是作用在物體上的一群力,根據(jù)其力的作用線(xiàn)在空間的幾何位置關(guān)系,分為空間、平面、匯交、平衡力系等。FF在研究力對(duì)剛體的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)時(shí),由力的等效原理可知,力對(duì)剛體是滑移矢量,作用點(diǎn)沿力的作用線(xiàn)滑移。如如圖所示。注:力可沿一個(gè)剛體滑移,但不可從一個(gè)剛體滑移到另一個(gè)剛體上,也不要在一個(gè)變形體上滑移。2、剛體不因力的作用而發(fā)生形變的物體就叫做剛體。剛體是一種理想化的力學(xué)模型,實(shí)際生活中,當(dāng)物體因受力作用而發(fā)生形變足夠小時(shí),以至忽略這種形變即不影響問(wèn)題的正確解決,又能使解決的過(guò)程在為簡(jiǎn)化,這時(shí)就能把該物體當(dāng)成剛體處理。3、五個(gè)靜力學(xué)公理二力平衡公理兩個(gè)力平衡的充分必要條件是:此二力作用于同一個(gè)剛體上,并且等大、反向、在同一條直線(xiàn)上。請(qǐng)注意,一定要:共物、等大、反向、同直線(xiàn)這四個(gè)條件缺一不可。增減平衡力系公理在作用于剛體的任何一個(gè)力系上,增加或減去一組平衡力系,原力系對(duì)物體的外效應(yīng)仍然不變。力的平衡四邊形定則用一個(gè)力等效地代替兩個(gè)或幾個(gè)力對(duì)物體的共同作用叫力的合成,將一個(gè)力化為等效的兩個(gè)或幾個(gè)力,叫力的分解。力的合成與力的分解遵循平行四邊形定則。牛頓第三定律兩個(gè)物體間的相互作用力,總是大小相等,方向相反,并且作用在同一條直線(xiàn)上。剛化公理如果可變形體在已知力系的作用下處于平衡狀態(tài),則可將此受力物體看作剛體,其平衡不受影響。比如,彈簧就是常見(jiàn)一種典型的可變形物,當(dāng)它的兩端受到壓力(或拉力)時(shí)就會(huì)發(fā)生壓縮(或拉伸)形變,所加的這一對(duì)力等大、反向、共軸線(xiàn)時(shí),彈簧必定穩(wěn)定在相應(yīng)的壓縮(或拉伸)狀態(tài),并保持這種形變量不變,好象成了新形狀的剛體。彈簧秤就是憑借這種相應(yīng)的穩(wěn)定性來(lái)測(cè)力和示數(shù)的。三、幾種常見(jiàn)的力1、重力GG=mg,方向豎直向下。注意:豎直向下是指與當(dāng)?shù)氐撵o止水平面垂直的方向,也稱(chēng)鉛垂線(xiàn)方向。實(shí)際上,重力是地球地物體引力的一個(gè)分力,另一個(gè)分力提供物體隨地球自轉(zhuǎn)所需要的向心力。2、彈力N直接接觸的物體,在發(fā)生彈性形變時(shí)出現(xiàn)的力稱(chēng)為彈力,方向和接觸面法線(xiàn)方向相同,作用點(diǎn)在兩個(gè)物體的接觸處。在彈性限度內(nèi),彈簧的彈力與彈簧的形變(伸長(zhǎng)量或壓縮量)成正比:F=-kx式中k為彈簧的勁度系數(shù),由彈簧本身性質(zhì)決定(如匝數(shù)、材料及彈簧的幾何尺寸等),負(fù)號(hào)表示彈簧彈力的方向與形變x的方向相反,彈簧伸長(zhǎng)時(shí)x取正。3、摩擦力f摩擦力分為靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力。是一個(gè)物體在另一個(gè)物體表面有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí),所產(chǎn)生的阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)趨勢(shì)的力,方向沿接觸面的切線(xiàn)且阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)?;瑒?dòng)摩擦力的計(jì)算式:f=mN。其中N是正壓力,m是動(dòng)摩擦因數(shù),由接觸面的情況和材料決定。靜摩擦力的大小是可變的,范圍在0ffm之間。式中fm為最大靜摩擦力,fm=msN, m是最大靜摩擦力系數(shù),略大于m,在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下可以認(rèn)為相等。ajfmFFNfmNGjGsinj摩擦角:令摩擦系數(shù)m等于某一角j的正切值,即m=tanj,這個(gè)角j稱(chēng)為摩擦角。在臨界摩擦(將要發(fā)生滑動(dòng))狀態(tài)下,fm/N=ms=tanj。若用fk表示滑動(dòng)摩擦力,N表示正壓力,則滑動(dòng)摩擦角為:j=arctan(fk/N)支持面作用下物體的沿接觸面法線(xiàn)方向的彈力N與最大靜摩擦力fm的合力F(簡(jiǎn)稱(chēng)全反力)與接觸面法線(xiàn)方向的夾角等于摩擦角,如圖所示。右圖中,當(dāng)fm=Gsinj,即mGcosj=Gsinj時(shí),m=tanj,此時(shí)j就是摩擦角。通常情況下,靜摩擦力f未達(dá)到最大值,即fsmsN,即fs/Nmstanj,因此接觸面反作用于物體的全反力F的作用線(xiàn)與面法線(xiàn)的夾角a=arctanfs/N,不能大于摩擦角,即aj,這可作為判斷物體不發(fā)生滑動(dòng)的條件。【例1】如圖所示,小木塊和水平地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為m,用一個(gè)與水平方面成多大角度的力拉著小木塊做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)最省力?Fa解析:NNABC【例2】如圖所示,兩塊固定的木板A、B之間夾著一塊長(zhǎng)方體木塊C,C重6N,A、B對(duì)C的壓力大小都是N=10N,今對(duì)C施加一個(gè)外力F,將C從兩板間水平拉出,求F的大小和方向。已知C與A、B之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4。解析:答案:大小為10N,方向與水平方向夾tan-10.75小結(jié):涉及到二維或三維情況下的相對(duì)運(yùn)動(dòng),常用方法是根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向與滑動(dòng)摩擦力方向相反的結(jié)論確定滑動(dòng)摩擦力方向。wOOFm【例3】如圖所示,有一半徑為r的圓柱繞豎直軸OO以角速度w勻速轉(zhuǎn)動(dòng),如果用力F把質(zhì)量為m的物體壓在圓柱側(cè)面,能使物體以速度v勻速下滑,求物體m與圓柱面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)?(已知物體m在水平方向受光滑擋板的作用使之不能隨圓柱一起轉(zhuǎn)動(dòng))解析:v0【例4】一個(gè)質(zhì)量為m=20kg的鋼件,架在兩根完全相同的平行長(zhǎng)直圓柱上,如圖所示。鋼件的重心與兩柱等距,兩柱的軸線(xiàn)在同一水平面內(nèi),圓柱的半徑r=0.025m,鋼件與圓柱間的動(dòng)摩擦因數(shù)為m=0.20。兩圓柱各繞自己的軸線(xiàn)作轉(zhuǎn)向相反的轉(zhuǎn)動(dòng),角速度為w=40rad/s。若沿平行于柱軸的方向施力推著鋼件做速度為v0=0.050m/s的勻速運(yùn)動(dòng),推力是多大?設(shè)鋼件左右受光滑導(dǎo)槽限制(圖中未畫(huà)出)不發(fā)生橫向運(yùn)動(dòng)。解析:四、共點(diǎn)力作用下物體平衡1、力的運(yùn)算法則所有的矢量都遵循平行四邊形定則。力的三角形定則:兩個(gè)矢量相加將兩個(gè)力首尾相連,連接剩余的兩個(gè)端點(diǎn)的線(xiàn)段表示合力的大小,合力的方向由第一個(gè)矢量的始端指向第二個(gè)矢量的末端;兩個(gè)矢量相減,將這兩個(gè)力的始端平移在一起,連接剩余的兩個(gè)端點(diǎn)的線(xiàn)段即為兩個(gè)力的差矢量的大小,差矢量的方向指向被減矢量。2、平行力的合成與分解同向平行力的合成:兩個(gè)平行力FA和FB相距AB,則合力F的大小為FA+FB,作用點(diǎn)C滿(mǎn)足FAAC=FBBC的關(guān)系。反向平行力的合成:兩個(gè)大小不同的反向平行力FA和FB相距AB,則合力F的大小為FA-FB(FAFB),作用點(diǎn)滿(mǎn)足FAAC=FBBC的關(guān)系。3、共點(diǎn)力作用下物體平衡條件平衡條件:合外力等于零。即F=0,或Fx=0,F(xiàn)y=04、三力匯交原理若一個(gè)物體受三個(gè)非平行力而處于平衡狀態(tài),則這三個(gè)力必為共點(diǎn)力。解決三力平衡問(wèn)題常用的方法有:正交分解法;合成與分解法;相似三角形法;正弦定律法;圖解法等。SMN【例5】?jī)筛L(zhǎng)度相等的輕繩,下端懸掛一質(zhì)量為m的物體,上端分別固定在水平天花板上的M、N點(diǎn),M、N兩點(diǎn)間的距離為S,如圖所示。已知兩繩能承受的最大拉力均為T(mén)m,則每根繩長(zhǎng)度不得短于多少?解析:【例6】如圖所示,一輕桿兩端固定兩個(gè)小球A和B,A、B兩球質(zhì)量分別為4m和m,輕繩長(zhǎng)為L(zhǎng),求平衡時(shí)OA、OB分別為多長(zhǎng)?(不計(jì)繩與滑輪間的摩擦)4mgmgABO解析:qBAC 【例7】如圖所示,質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿,靜止在光滑的半球形容器中,設(shè)桿與水平方向的夾角為q,則容器在A點(diǎn)和B點(diǎn)給桿的支持力各多大?解析:參考答案:NAmgtanq;NB=Rr123【例8】如圖所示,三個(gè)相同的光滑圓柱體,半徑為r,堆放在光滑的圓柱面內(nèi),試求下面兩個(gè)圓柱體不致分開(kāi)時(shí),圓柱面的半徑R應(yīng)滿(mǎn)足的條件。解析:答案:R(1+)r【例9】如圖所示,半徑為R的剛性球固定在水平桌面上,有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈,原長(zhǎng)為2pa,a=R/2,繩圈的勁度系數(shù)為k,將繩圈從球的正上方輕放到球上,使其水平停留在某個(gè)靜力平衡位置,考慮重力,忽略摩擦。(1)設(shè)平衡時(shí)繩圈長(zhǎng)為2pb,b=a,求勁度系數(shù)k(用M、R、g表示,g為重力加速度)O(2)設(shè)k=,求繩圈的最后平衡位置及長(zhǎng)度。解析:答案:k= 2a。五、力矩、力偶的概念1、力臂從轉(zhuǎn)軸到力的作用線(xiàn)的垂直距離叫力臂。2、力矩M0(F)ABrFO力和力臂的乘積叫力矩,記為M=FL。單位為:“牛米”。一般規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?,順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。力矩的進(jìn)一步理解:力矩也是力使物體繞某點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的能量。力對(duì)點(diǎn)之矩是矢量如圖所示,力F對(duì)O點(diǎn)之矩,用矢量M0(F)表示,圖中r表示力F的作用點(diǎn)A的位置矢量,這個(gè)力矩矢量的大小為:M0(F)=rFsin(r,F)=2DABO面積方向:略力對(duì)軸之矩是代數(shù)量AhFO從一般意義上講,力對(duì)軸之矩是一個(gè)沿軸向的矢量,在定軸情況下不必強(qiáng)調(diào)矢量性,把它作為代數(shù)量處理較為便利。當(dāng)力線(xiàn)與軸相垂直時(shí),邊力線(xiàn)作軸的垂直平面,如圖所示,力F對(duì)軸O的之矩為M0(F)=Fh通常規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?、力偶由兩個(gè)等值、反向的平行力組成的力矩。M=FRNRF力偶不能合成一個(gè)力,也是一個(gè)基本力學(xué)量。力偶使物體繞某點(diǎn)(軸)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng),這種轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小,由構(gòu)成該力偶的兩個(gè)力對(duì)某點(diǎn)(軸)之力矩和力偶矩M來(lái)量度。3、有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件平衡條件:M順=M逆4、重心物體所受重力的作用點(diǎn)叫重心。計(jì)算重心的方法:同向平行力的合成法:各分力對(duì)合力作用點(diǎn)的合力矩為零,則合力作用點(diǎn)為重心。ABCxyx1x2xcy1y2yc割補(bǔ)法:把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補(bǔ)成形狀規(guī)則的物體,再由同向平行力合成法求重心位置。公式法:如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,質(zhì)量為m1和m2的A、B兩質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則由兩物體共同組成的整體的重心坐標(biāo)為xc=,yc=O1OO2【例10】如圖所示,飛輪重1500N,由實(shí)驗(yàn)測(cè)得其重心離轉(zhuǎn)軸O1為4毫米處的O點(diǎn)處,若在右側(cè)離軸25cm處鉆一圓孔,剩余部分重心將移動(dòng)軸心O1,試求鉆去部分的重力。(答案:24N)解析:【例11】一個(gè)質(zhì)量為m=50kg的均勻圓柱體,放在臺(tái)階的旁邊,臺(tái)階的高度h是圓柱體半徑r的一半,如圖所示,圓柱體與臺(tái)階接觸處(如圖中P點(diǎn))是粗糙的,現(xiàn)要在圖中圓柱體的最上方A處施一最小的力使圓柱體則能開(kāi)始以P為軸向臺(tái)階上滾動(dòng),求:OrAPh(1)所施力的最小值;(2)臺(tái)階對(duì)圓柱體的作用力的大小。參考答案:(1)2.45102N;(2)4.32102NAOECDO【例12】半徑為R、質(zhì)量為m1的均勻圓球與一質(zhì)量為m2的重物分別用細(xì)繩AD和ACE懸掛于同一點(diǎn)A,并處于平衡。如圖所示,已知懸點(diǎn)A到球心O的距離為L(zhǎng),若不考慮繩的質(zhì)量和繩與球的摩擦,試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角q。(10屆預(yù)賽試題)解析:ABOab小結(jié):由力矩平衡關(guān)系處理問(wèn)題,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)軸的選擇,通常選擇未知又不需要求的力的作用點(diǎn)所在的軸為轉(zhuǎn)軸,這樣減小方程中未知量個(gè)數(shù),簡(jiǎn)化運(yùn)算?!纠?3】有一個(gè)水平放置的半徑為R的圓柱形光滑槽面,其軸線(xiàn)通過(guò)O點(diǎn),槽內(nèi)放著兩個(gè)半徑均為r的光滑圓柱體A、B,如圖所示,質(zhì)量分別為mA和mB,且r=R/3,求圓柱體A、B平衡時(shí),OA線(xiàn)與豎直線(xiàn)間的夾角a是多少?解析:答案:a=tan-1【例14】如圖所示,一根細(xì)棒上端A處用鉸鏈與天花板相連,下端用鉸鏈與另一細(xì)棒相連,兩棒的長(zhǎng)度相等,兩棒限在圖示的豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),且不計(jì)鉸鏈處的摩擦,當(dāng)在C端加一適當(dāng)?shù)耐饬?紙面內(nèi)),可使兩棒平衡在圖示的位置處,即兩棒間的夾角為90,且C端正處于A端的正下方。ABC(1)不管兩棒質(zhì)量如何,此外力只可能在哪個(gè)方向范圍內(nèi)?試說(shuō)明道理(不要求推理)。(2)如果AB棒質(zhì)量m1=1kg,BC棒的質(zhì)量為m2=2kg,求此外力大小和方向。解析:【例15】如圖所示,一個(gè)半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿,細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連,球下邊墊上一塊木板后,細(xì)桿恰好水平,而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦(已知摩擦因素為m),所以要將木板從球下面向右抽出時(shí),至少需要大小為F的水平拉力。試問(wèn):現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些,至少需要多大的水平推力?解析:這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。答案: 。A1B1A2A3A4A5A6B2B3B4B5B6m【例16】有六個(gè)完全相同的剛性長(zhǎng)條薄片AiBi(i=1,2,3,6),其兩端下方各有一個(gè)小突起,薄片及突起的重量均可以不計(jì),現(xiàn)將此六個(gè)薄片架在一只水平的碗口上,另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中,由正上方俯視如圖所示,若將一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)放在薄片A6B6上一點(diǎn),這一點(diǎn)與此薄片中點(diǎn)的距離等于它與小突起A6的距離,求此薄片A6B6中點(diǎn)所受的(由另一薄片的小突起A1所施的)壓力。(6屆預(yù)賽試題)解析:答案:P=【例17】某水果店,所用的秤是量程為10kg的吊盤(pán)式桿秤?,F(xiàn)有一較大西瓜,超過(guò)此秤的量程。店員甲找到另一秤砣,與此桿秤秤砣完全相同,把它與原秤砣結(jié)在一起作為秤砣進(jìn)行稱(chēng)量。平衡時(shí),雙砣位于6.5kg刻度處,他將刻度乘以2得13kg,作為此西瓜的質(zhì)量,賣(mài)給顧客,店員乙對(duì)這種稱(chēng)量結(jié)果表示懷疑,為了檢驗(yàn),他取另一西瓜,用單秤砣正常稱(chēng)量得8kg,用店員甲的雙秤砣去稱(chēng)量,示數(shù)為3kg,乘以2得6kg。這證明店員甲的辦法是不可靠的。試問(wèn),店員甲賣(mài)給顧客的那個(gè)西瓜實(shí)際質(zhì)量是多大?(9屆預(yù)賽試題)解析: 六、一般物體的平衡 穩(wěn)度1、物體平衡的種類(lèi)可分為三種:(1)穩(wěn)定平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時(shí),有一個(gè)力或力矩使之回到平衡位置,這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡,處于穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時(shí)一般是勢(shì)能增加。(2)不穩(wěn)定平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時(shí),有一個(gè)力或力矩使它的偏離繼續(xù)增大,這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡,處于不穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時(shí)一般是勢(shì)能減小。(3)隨遇平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時(shí),它所受的力或力矩不發(fā)生變化,它能夠在新的位置上再次平衡,這樣的平衡叫隨遇平衡。處于隨遇平衡的物體偏離平衡位置時(shí)勢(shì)能一般不變。2、浮體平衡的穩(wěn)定性WFAGWFBGB(a)(b)浮在流體表面的浮體,所受浮力與重力大小相等、方向相反,處于平衡狀態(tài),浮體平衡的穩(wěn)定性,將因所受擾動(dòng)方式的不同而異。顯然,浮體對(duì)鉛垂方向的擾動(dòng),其平衡是穩(wěn)定的,對(duì)水平方向的擾動(dòng),其平衡是隨遇的。浮體對(duì)于過(guò)質(zhì)心的水平對(duì)稱(chēng)軸的旋轉(zhuǎn)擾動(dòng),其平衡的穩(wěn)定性視具體情況而定,以浮于水面的般體為例:當(dāng)船體向右傾斜(即船體繞過(guò)質(zhì)心的水平對(duì)稱(chēng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)一小角度)時(shí),其浮心B將向右偏離,浮力FB與重力W構(gòu)成一對(duì)力偶,力偶矩將促使船體恢復(fù)到原來(lái)的方位,如圖a所示??梢?jiàn)船體對(duì)這種擾動(dòng),其平衡是穩(wěn)定的。但如果船體重心G太高,船體傾斜所造成的力偶也可能促使傾斜加劇,這時(shí)船體的平衡就是不穩(wěn)定的,如圖b所示。3、穩(wěn)度123物體穩(wěn)定的程度。一般來(lái)講,使一個(gè)物體的平衡遭到破壞所需要的能量越多,這個(gè)平衡的穩(wěn)度就越高?!纠?8】如圖所示,三個(gè)直徑為重力相同的圓柱體垛在起,問(wèn)圓柱體之間摩擦因數(shù)m最小為何值時(shí),它們才不會(huì)滾散?(已知圓柱體與地面及圓柱體之間的摩擦因數(shù)相同)解析:【例19】用一根細(xì)線(xiàn)豎直懸掛一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)木桿,置于水桶內(nèi)水平面上方,如圖所示,當(dāng)水桶緩慢上提時(shí),細(xì)桿逐漸浸入水中,當(dāng)木桿浸入水中超過(guò)一定深度L時(shí),木桿開(kāi)始出現(xiàn)傾斜現(xiàn)象,求L。已知木桿的密度為r,水的密度為r0。解析:【例20】邊長(zhǎng)為a的均勻立方體,對(duì)稱(chēng)地放在一個(gè)半徑為r的圓柱面頂部,如圖所示。假設(shè)靜摩擦系數(shù)足夠大,足以阻止立方體下滑,試證物體穩(wěn)定的平衡條件為ra/2。rarCqqO解析:Lm1m2ABABFh【例21】用兩個(gè)“爬犁”(雪撬)在水平雪地上運(yùn)送一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻橫梁,簡(jiǎn)化示意圖如圖所示,每個(gè)爬犁的上端A與被運(yùn)送的橫梁端頭固連,下端B與雪地接觸,假設(shè)接觸面積很小,一水平牽引力F作用于前爬犁,作用點(diǎn)到雪地的距離用h表示,已知前爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)為m1,后爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)為m2。問(wèn)要在前后兩爬犁都與雪地接觸的條件下,使橫梁沿雪地勻速向前移動(dòng),h應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?水平牽引力F應(yīng)多大?設(shè)爬犁的質(zhì)量可忽略不計(jì)。Ff1N1f2N2L解析:【例22】如圖所示,杯中盛有密度均勻的混合液體,其密度為,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后變?yōu)槊芏确謩e為1和2的(1FB),作用點(diǎn)滿(mǎn)足FAAC=FBBC的關(guān)系。3、共點(diǎn)力作用下物體平衡條件平衡條件:合外力等于零。即F=0,或Fx=0,F(xiàn)y=04、三力匯交原理(受三力平衡的物體,三力若不平行,則必共點(diǎn))若一個(gè)物體受三個(gè)非平行力而處于平衡狀態(tài),則這三個(gè)力必為共點(diǎn)力。解決三力平衡問(wèn)題常用的方法有:正交分解法;合成與分解法;相似三角形法;正弦定理法;圖解法等。SMN【例5】?jī)筛L(zhǎng)度相等的輕繩,下端懸掛一質(zhì)量為m的物體,上端分別固定在水平天花板上的M、N點(diǎn),M、N兩點(diǎn)間的距離為S,如圖所示。已知兩繩能承受的最大拉力均為T(mén)m,則每根繩長(zhǎng)度不得短于多少?解析:選物體m為研究對(duì)象,受力如圖所示,設(shè)拉力T與豎直方向夾角為q,由平衡條件有2Tcosq=mg,由圖中幾何關(guān)系看出:cosq=,由此得:T=又因?yàn)門(mén)Tm,所以Tm整理得:L【例6】如圖所示,一輕桿兩端固定兩個(gè)小球A和B,A、B兩球質(zhì)量分別為4m和m,輕繩長(zhǎng)為L(zhǎng),求平衡時(shí)OA、OB分別為多長(zhǎng)?(不計(jì)繩與滑輪間的摩擦)4mgmgABO解法一:相似三角形法分別對(duì)A、B作出受力圖,由圖上可見(jiàn),利用相似三角形法有:=,=又因?yàn)锳、B由同一根輕繩相連,所以TA=TB,且繩子長(zhǎng)度一定,有:OA+OB=L聯(lián)立解得:OA=L/5,OB=4L/5解法二:轉(zhuǎn)軸物體平衡法4mgL1=mgL2,故L1:L2=1:4其余同上。解法三:質(zhì)心法?!纠?】如圖所示,質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿,靜止在光滑的半球形容器中,設(shè)桿與水平方向的夾角為q,則容器在A點(diǎn)和B點(diǎn)給桿的支持力各多大?qBACqBGCNANBq90-2qA解析:正弦定理法。如圖所示,先受力分析,然后找出角度的關(guān)系,由正弦定理有:=解得:NAmgtanq;NB=【例8】如圖所示,三個(gè)相同的光滑圓柱體,半徑為r,堆放在光滑的圓柱面內(nèi),試求下面兩個(gè)圓柱體不致分開(kāi)時(shí),圓柱面的半徑R應(yīng)滿(mǎn)足的條件。解析:設(shè)球1受到下面圓柱面的彈力為N2,球2受到底下圓柱面的彈力為N1,且N1與豎直方向夾角為a,要使2、3兩球剛好不分開(kāi)的條件是這兩球無(wú)彈力。選球1為對(duì)象,由受力圖有:Rr123mg=2N2cos30,得N2=選球2為對(duì)象,由平衡條件得:N1sina=sin30mgra23N1N2N1cosa=mg+cos30消去N1得:tana=,sina=由幾何關(guān)系看出:=得:R=(1+)r,即球2、3不分開(kāi)的條件是R(1+)r=6.3rO【例9】如圖所示,半徑為R的剛性球固定在水平桌面上,有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈,原長(zhǎng)為2pa,a=R/2,繩圈的勁度系數(shù)為k,將繩圈從球的正上方輕放到球上,使其水平停留在某個(gè)靜力平衡位置,考慮重力,忽略摩擦。(1)設(shè)平衡時(shí)繩圈長(zhǎng)為2pb,b=a,求勁度系數(shù)k(用M、R、g表示,g為重力加速度)(2)設(shè)k=,求繩圈的最后平衡位置及長(zhǎng)度。解析:(1)設(shè)平衡時(shí)繩圈位于球面上對(duì)應(yīng)于緯度為q的緯度線(xiàn)上,繩中張力為T(mén),選擇一微元段L為對(duì)象,對(duì)應(yīng)頂角為q,質(zhì)量為m,如圖所示,如圖所示FTTq故F=2Tsin();m=由圖可知,對(duì)微元分析知:Nsinq=F,mg=NcosqOmgNF故T=因?yàn)閝0,上式簡(jiǎn)化得:T=對(duì)彈性繩滿(mǎn)足胡克定律,T=2k(b-a)T=2k()a=kR()ORqx由幾何知識(shí)有:sinq=b/R=,tanq=1因此 k=(2)當(dāng)k=時(shí),由(1)的結(jié)論T=及T=2k(x-a)得tanq=2sinq-1變形得:sinq=2sinqcosq-cosq,得:sin22q=1+2sinqcosq因?yàn)?sin(2q)1,故上式無(wú)解,表明此時(shí)彈性繩已落在桌面上,這時(shí)繩長(zhǎng)為原長(zhǎng)2a。五、力矩、力偶的概念1、力臂從轉(zhuǎn)軸到力的作用線(xiàn)的垂直距離叫力臂。2、力矩M0(F)ABrFO力和力臂的乘積叫力矩,記為M=FL。單位為:“牛米”。一般規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎槙r(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。力矩的進(jìn)一步理解:力矩也是力使物體繞某點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的能量。力對(duì)點(diǎn)之矩是矢量如圖所示,力F對(duì)O點(diǎn)之矩,用矢量M0(F)表示,圖中r表示力F的作用點(diǎn)A的位置矢量,這個(gè)力矩矢量的大小為:M0(F)=rFsin(r,F)=2DABO面積方向:略力對(duì)軸之矩是代數(shù)量AhFO從一般意義上講,力對(duì)軸之矩是一個(gè)沿軸向的矢量,在定軸情況下不必強(qiáng)調(diào)矢量性,把它作為代數(shù)量處理較為便利。當(dāng)力線(xiàn)與軸相垂直時(shí),邊力線(xiàn)作軸的垂直平面,如圖所示,力F對(duì)軸O的之矩為M0(F)=Fh通常規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?、力偶由兩個(gè)等值、反向的平行力組成的力矩。M=FRNRF力偶不能合成一個(gè)力,也是一個(gè)基本力學(xué)量。力偶使物體繞某點(diǎn)(軸)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng),這種轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小,由構(gòu)成該力偶的兩個(gè)力對(duì)某點(diǎn)(軸)之力矩和力偶矩M來(lái)量度。3、有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件平衡條件:M順=M逆4、重心物體所受重力的作用點(diǎn)叫重心。計(jì)算重心的方法:同向平行力的合成法:各分力對(duì)合力作用點(diǎn)的合力矩為零,則合力作用點(diǎn)為重心。ABCxyx1x2xcy1y2yc割補(bǔ)法:把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補(bǔ)成形狀規(guī)則的物體,再由同向平行力合成法求重心位置。公式法:如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,質(zhì)量為m1和m2的A、B兩質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則由兩物體共同組成的整體的重心坐標(biāo)為xc=,yc=O1OO2x1x2【例10】如圖所示,飛輪重1500N,由實(shí)驗(yàn)測(cè)得其重心離轉(zhuǎn)軸O1為4毫米處的O點(diǎn)處,若在右側(cè)離軸25cm處鉆一圓孔,剩余部分重心將移動(dòng)軸心O1,試求鉆去部分的重力。解析:補(bǔ)償法,設(shè)鉆去部分重力為G,離中心O的距離為x2,O1離O的距離為x1,若把鉆去部分補(bǔ)起來(lái),則系統(tǒng)總重力在O處,故有(1500-G)x1=Gx2,得G=24N注:本題亦可把鉆去的部分看成是一個(gè)順時(shí)針?lè)较虻牧睾鸵粋€(gè)逆時(shí)針?lè)较虻牧丿B加而成,當(dāng)兩個(gè)力矩去處理,比較方法?!纠?1】一個(gè)質(zhì)量為m=50kg的均勻圓柱體,放在臺(tái)階的旁邊,臺(tái)階的高度h是圓柱體半徑r的一半,如圖所示,圓柱體與臺(tái)階接觸處(如圖中P點(diǎn))是粗糙的,現(xiàn)要在圖中圓柱體的最上方A處施一最小的力使圓柱體則能開(kāi)始以P為軸向臺(tái)階上滾動(dòng),求:(1)所施力的最小值;(2)臺(tái)階對(duì)圓柱體的作用力的大小。OrAPh解析:(1)連接AP,作A作AP的垂線(xiàn),即為最小力的方向??傻米钚×?.45102N;(2)方法很多。法一:小球受力三力作用,由SFx=0,SFx=0可求出法二:由三力匯交原理可知,臺(tái)對(duì)球的作用力一定過(guò)A點(diǎn),而F又平行于P與最低點(diǎn)連線(xiàn),可在一個(gè)直角三角形中求出力的大小為4.32102N【例12】半徑為R、質(zhì)量為m1的均勻圓球與一質(zhì)量為m2的重物分別用細(xì)繩AD和ACE懸掛于同一點(diǎn)A,并處于平衡。如圖所示,已知懸點(diǎn)A到球心O的距離為L(zhǎng),若不考慮繩的質(zhì)量和繩與球的摩擦,試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角q。(10屆預(yù)賽試題)解析:選懸點(diǎn)A為轉(zhuǎn)軸,從A向CO作垂線(xiàn)交于CO于O點(diǎn),系統(tǒng)受拉力TAD和TAC作用且過(guò)懸點(diǎn),力矩為零,由力矩平衡條件得:AOECDOm1m2m1gOO=m2gCO又在三角形中有:OO=LsinqOC=R-OO=R-Lsinq三式解得:sinq=即q=arcsin小結(jié):由力矩平衡關(guān)系處理問(wèn)題,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)軸的選擇,通常選擇未知又不需要求的力的作用點(diǎn)所在的軸為轉(zhuǎn)軸,這樣減小方程中未知量個(gè)數(shù),簡(jiǎn)化運(yùn)算。ABOab【例13】有一個(gè)水平放置的半徑為R的圓柱形光滑槽面,其軸線(xiàn)通過(guò)O點(diǎn),槽內(nèi)放著兩個(gè)半徑均為r的光滑圓柱體A、B,如圖所示,質(zhì)量分別為mA和mB,且r=R/3,求圓柱體A、B平衡時(shí),OA線(xiàn)與豎直線(xiàn)間的夾角a是多少?解析:對(duì)本題常用的處理方法是分別隔離A、B兩物體,各自利用共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件求得。不過(guò),這樣處理比較繁瑣,如把A、B兩物看成一個(gè)整體,它相當(dāng)于繞過(guò)大圓柱圓心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由于大圓柱面對(duì)兩球的彈力均指向轉(zhuǎn)軸,故這兩個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩,從而能方便地求得問(wèn)題的解。設(shè)OA、OB連線(xiàn)分別與豎直線(xiàn)夾a、b角,以過(guò)O點(diǎn)的水平線(xiàn)為軸,對(duì)系統(tǒng)有:mAg(R-r)sina=mBg(R-r)sinb又因?yàn)镺A=OB=AB=2r所以a+b=60解得:a=tan-1【例14】如圖所示,一根細(xì)棒上端A處用鉸鏈與天花板相連,下端用鉸鏈與另一細(xì)棒相連,兩棒的長(zhǎng)度相等,兩棒限在圖示的豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),且不計(jì)鉸鏈處的摩擦,當(dāng)在C端加一適當(dāng)?shù)耐饬?紙面內(nèi)),可使兩棒平衡在圖示的位置處,即兩棒間的夾角為90,且C端正處于A端的正下方。ABC(1)不管兩棒質(zhì)量如何,此外力只可能在哪個(gè)方向范圍內(nèi)?試說(shuō)明道理(不要求推理)。(2)如果AB棒質(zhì)量m1=1kg,BC棒的質(zhì)量為m2=2kg,求此外力大小和方向。解析:(1)選兩棒整體分析,受重力m1g和m2g作用,它們對(duì)A軸有順時(shí)針?lè)较虻牧?,因此,在C端施加的力F方向不能指向AC豎直線(xiàn)的左方,對(duì)BC棒而言,受重力m2g作用,以B為軸,產(chǎn)生逆時(shí)針?lè)较蛄?,故力F方向只能在BC棒的左上方。綜合二者分析知力F的方向只能在ACB的范圍內(nèi)斜向右上方,棒才可能平衡。(2)設(shè)力F的方向與AC夾角為a,每棒長(zhǎng)為L(zhǎng),由力矩平衡條件:ABCFxFyFa對(duì)整體選A為軸,則有(m1+m2)g=Fsina對(duì)BC棒選B為軸,有:m2g=FLsin(45-a)代入數(shù)據(jù),求得:F=19N,方向?yàn)閍=arcsin0.395。小結(jié):在求力矩時(shí),如遇力臂不易找時(shí),可以將力分解,求出各分力的力矩后再求合力矩。合力矩與分力矩的關(guān)系是:合力矩等于各分力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和。FRLO【例15】如圖所示,一個(gè)半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿,細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連,球下邊墊上一塊木板后,細(xì)桿恰好水平,而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦(已知摩擦因素為m),所以要將木板從球下面向右抽出時(shí),至少需要大小為F的水平拉力。試問(wèn):現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些,至少需要多大的水平推力?解析:這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。以球和桿為對(duì)象,研究其對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡,設(shè)木板拉出時(shí)給球體的摩擦力為f ,支持力為N ,重力為G ,力矩平衡方程為:f R + N(R + L)= G(R + L) 球和板已相對(duì)滑動(dòng),故:f = N 解可得:f = 再看木板的平衡,F(xiàn)=f,(可推出G的表達(dá)式)。同理,木板插進(jìn)去時(shí),球體和木板之間的摩擦f= = F。解得:F= 。A1B1A2A3A4A5A6B2B3B4B5B6m【例16】有六個(gè)完全相同的剛性長(zhǎng)條薄片AiBi(i=1,2,3,6),其兩端下方各有一個(gè)小突起,薄片及突起的重量均可以不計(jì),現(xiàn)將此六個(gè)薄片架在一只水平的碗口上,另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中,由正上方俯視如圖所示,若將一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)放在薄片A6B6上一點(diǎn),這一點(diǎn)與此薄片中點(diǎn)的距離等于它與小突起A6的距離,求此薄片A6B6中點(diǎn)所受的(由另一薄片的小突起A1所施的)壓力。(6屆預(yù)賽試題)解析:設(shè)所求的壓力P1=P(向下),并設(shè)任一小突起Ai,對(duì)其下
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