湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)2014年物理奧賽教案+第一講+力和平衡.doc

湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)2014年物理奧賽教案第一講 力和平衡知識(shí)要點(diǎn)：力學(xué)中常見(jiàn)的幾種力。摩擦力。彈性力。胡克定律。萬(wàn)有引力定律。均勻球殼對(duì)殼內(nèi)和殼外質(zhì)點(diǎn)的引力公式（不要求導(dǎo)出）。共點(diǎn)力作用下物體的平衡。力矩。剛體的平衡。重心。物體平衡的種類(lèi)。物體相對(duì)于地球靜止或勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)叫平衡；物體與物體之間的相互作用稱(chēng)之為力；物體受力都要發(fā)生形變，在研究力對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)之前，可把物體簡(jiǎn)化為各點(diǎn)間距離保持不變的剛體。研究平衡系統(tǒng)的主要任務(wù)是：首先把平衡物體從其所在位置隔離出來(lái)，用力取代其它物體(或場(chǎng))對(duì)它的作用，把它簡(jiǎn)化為受力的平衡剛體；其次，研究作用在平衡剛體上的平衡力系，從基本的二力平衡原理出發(fā)，運(yùn)用矢量方法，導(dǎo)出它所滿(mǎn)足的平衡條件；然后針對(duì)具體問(wèn)題，直接運(yùn)用相應(yīng)力系的平衡條件進(jìn)行數(shù)學(xué)求解，求出物體所受的全部未知力或平衡的幾何位置。一、矢量的運(yùn)算1、加法a b表達(dá)： + = 。名詞：為“和矢量”。法則：平行四邊形法則。如圖所示。和矢量大?。篶 = ，其中a為和的夾角。和矢量方向：在、之間，和夾角= arcsin2、減法表達(dá)： = 。名詞：為“被減數(shù)矢量”，為“減數(shù)矢量”，為“差矢量”。法則：三角形法則。如圖所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點(diǎn)，然后連接兩時(shí)量末端，指向被減數(shù)時(shí)量的時(shí)量，即是差矢量。q 差矢量大?。篴 = ，其中為和的夾角。差矢量的方向可以用正弦定理求得。一條直線(xiàn)上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。對(duì)于曲線(xiàn)上矢量的合成也同樣可以進(jìn)行。如：已知質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R ，周期為T(mén) ，求它在T內(nèi)和在T內(nèi)的平均加速度大小。ABORvAvAvBv1v2vAvC解析：如圖所示，A到B點(diǎn)對(duì)應(yīng)T的過(guò)程，A到C點(diǎn)對(duì)應(yīng)T的過(guò)程。這三點(diǎn)的速度矢量分別設(shè)為、和。根據(jù)加速度的定義 = 得：= ，= 由于有兩處涉及矢量減法，設(shè)兩個(gè)差矢量 = ，= ，根據(jù)三角形法則，它們?cè)趫D中的大小、方向已繪出（的“三角形”已被拉伸成一條直線(xiàn)）。本題只關(guān)心各矢量的大小，顯然： = = = ，且： = = ， = 2= 所以：= = = ，= = = 。觀察與思考：這兩個(gè)加速度是否相等，勻速率圓周運(yùn)動(dòng)是不是勻變速運(yùn)動(dòng)？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有兩種：叉乘和點(diǎn)乘，和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。 叉乘表達(dá)： = 名詞：稱(chēng)“矢量的叉積”，它是一個(gè)新的矢量。叉積的大?。篶 = absin，其中為和的夾角。意義：的大小對(duì)應(yīng)由和作成的平行四邊形的面積。叉積的方向：垂直和確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖所示。顯然，但有：= 點(diǎn)乘表達(dá)： = c名詞：c稱(chēng)“矢量的點(diǎn)積”，它不再是一個(gè)矢量，而是一個(gè)標(biāo)量。點(diǎn)積的大?。篶 = abcos，其中為和的夾角。如功的定義為：W=FScosq二、力、剛體、五個(gè)靜力學(xué)公理1、力物體間的相互作用，是物體產(chǎn)生加速度和形變?cè)?。力系是作用在物體上的一群力，根據(jù)其力的作用線(xiàn)在空間的幾何位置關(guān)系，分為空間、平面、匯交、平衡力系等。FF在研究力對(duì)剛體的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)時(shí)，由力的等效原理可知，力對(duì)剛體是滑移矢量，作用點(diǎn)沿力的作用線(xiàn)滑移。如如圖所示。注：力可沿一個(gè)剛體滑移，但不可從一個(gè)剛體滑移到另一個(gè)剛體上，也不要在一個(gè)變形體上滑移。2、剛體不因力的作用而發(fā)生形變的物體就叫做剛體。剛體是一種理想化的力學(xué)模型，實(shí)際生活中，當(dāng)物體因受力作用而發(fā)生形變足夠小時(shí)，以至忽略這種形變即不影響問(wèn)題的正確解決，又能使解決的過(guò)程在為簡(jiǎn)化，這時(shí)就能把該物體當(dāng)成剛體處理。3、五個(gè)靜力學(xué)公理二力平衡公理兩個(gè)力平衡的充分必要條件是：此二力作用于同一個(gè)剛體上，并且等大、反向、在同一條直線(xiàn)上。請(qǐng)注意，一定要：共物、等大、反向、同直線(xiàn)這四個(gè)條件缺一不可。增減平衡力系公理在作用于剛體的任何一個(gè)力系上，增加或減去一組平衡力系，原力系對(duì)物體的外效應(yīng)仍然不變。力的平衡四邊形定則用一個(gè)力等效地代替兩個(gè)或幾個(gè)力對(duì)物體的共同作用叫力的合成，將一個(gè)力化為等效的兩個(gè)或幾個(gè)力，叫力的分解。力的合成與力的分解遵循平行四邊形定則。牛頓第三定律兩個(gè)物體間的相互作用力，總是大小相等，方向相反，并且作用在同一條直線(xiàn)上。剛化公理如果可變形體在已知力系的作用下處于平衡狀態(tài)，則可將此受力物體看作剛體，其平衡不受影響。比如，彈簧就是常見(jiàn)一種典型的可變形物，當(dāng)它的兩端受到壓力(或拉力)時(shí)就會(huì)發(fā)生壓縮(或拉伸)形變，所加的這一對(duì)力等大、反向、共軸線(xiàn)時(shí)，彈簧必定穩(wěn)定在相應(yīng)的壓縮(或拉伸)狀態(tài)，并保持這種形變量不變，好象成了新形狀的剛體。彈簧秤就是憑借這種相應(yīng)的穩(wěn)定性來(lái)測(cè)力和示數(shù)的。三、幾種常見(jiàn)的力1、重力GG=mg，方向豎直向下。注意：豎直向下是指與當(dāng)?shù)氐撵o止水平面垂直的方向，也稱(chēng)鉛垂線(xiàn)方向。實(shí)際上，重力是地球地物體引力的一個(gè)分力，另一個(gè)分力提供物體隨地球自轉(zhuǎn)所需要的向心力。2、彈力N直接接觸的物體，在發(fā)生彈性形變時(shí)出現(xiàn)的力稱(chēng)為彈力，方向和接觸面法線(xiàn)方向相同，作用點(diǎn)在兩個(gè)物體的接觸處。在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力與彈簧的形變(伸長(zhǎng)量或壓縮量)成正比：F=-kx式中k為彈簧的勁度系數(shù)，由彈簧本身性質(zhì)決定(如匝數(shù)、材料及彈簧的幾何尺寸等)，負(fù)號(hào)表示彈簧彈力的方向與形變x的方向相反，彈簧伸長(zhǎng)時(shí)x取正。3、摩擦力f摩擦力分為靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力。是一個(gè)物體在另一個(gè)物體表面有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，所產(chǎn)生的阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)趨勢(shì)的力，方向沿接觸面的切線(xiàn)且阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)?；瑒?dòng)摩擦力的計(jì)算式：f=mN。其中N是正壓力，m是動(dòng)摩擦因數(shù)，由接觸面的情況和材料決定。靜摩擦力的大小是可變的，范圍在0ffm之間。式中fm為最大靜摩擦力，fm=msN, m是最大靜摩擦力系數(shù)，略大于m，在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下可以認(rèn)為相等。ajfmFFNfmNGjGsinj摩擦角：令摩擦系數(shù)m等于某一角j的正切值，即m=tanj，這個(gè)角j稱(chēng)為摩擦角。在臨界摩擦(將要發(fā)生滑動(dòng))狀態(tài)下，fm/N=ms=tanj。若用fk表示滑動(dòng)摩擦力，N表示正壓力，則滑動(dòng)摩擦角為：j=arctan(fk/N)支持面作用下物體的沿接觸面法線(xiàn)方向的彈力N與最大靜摩擦力fm的合力F(簡(jiǎn)稱(chēng)全反力)與接觸面法線(xiàn)方向的夾角等于摩擦角，如圖所示。右圖中，當(dāng)fm=Gsinj，即mGcosj=Gsinj時(shí)，m=tanj，此時(shí)j就是摩擦角。通常情況下，靜摩擦力f未達(dá)到最大值，即fsmsN，即fs/Nmstanj，因此接觸面反作用于物體的全反力F的作用線(xiàn)與面法線(xiàn)的夾角a=arctanfs/N，不能大于摩擦角，即aj，這可作為判斷物體不發(fā)生滑動(dòng)的條件。【例1】如圖所示，小木塊和水平地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為m，用一個(gè)與水平方面成多大角度的力拉著小木塊做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)最省力？Fa解析：NNABC【例2】如圖所示，兩塊固定的木板A、B之間夾著一塊長(zhǎng)方體木塊C，C重6N，A、B對(duì)C的壓力大小都是N=10N，今對(duì)C施加一個(gè)外力F，將C從兩板間水平拉出，求F的大小和方向。已知C與A、B之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4。解析：答案：大小為10N，方向與水平方向夾tan-10.75小結(jié)：涉及到二維或三維情況下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，常用方法是根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向與滑動(dòng)摩擦力方向相反的結(jié)論確定滑動(dòng)摩擦力方向。wOOFm【例3】如圖所示，有一半徑為r的圓柱繞豎直軸OO以角速度w勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如果用力F把質(zhì)量為m的物體壓在圓柱側(cè)面，能使物體以速度v勻速下滑，求物體m與圓柱面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)？(已知物體m在水平方向受光滑擋板的作用使之不能隨圓柱一起轉(zhuǎn)動(dòng))解析：v0【例4】一個(gè)質(zhì)量為m=20kg的鋼件，架在兩根完全相同的平行長(zhǎng)直圓柱上，如圖所示。鋼件的重心與兩柱等距，兩柱的軸線(xiàn)在同一水平面內(nèi)，圓柱的半徑r=0.025m，鋼件與圓柱間的動(dòng)摩擦因數(shù)為m=0.20。兩圓柱各繞自己的軸線(xiàn)作轉(zhuǎn)向相反的轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為w=40rad/s。若沿平行于柱軸的方向施力推著鋼件做速度為v0=0.050m/s的勻速運(yùn)動(dòng)，推力是多大？設(shè)鋼件左右受光滑導(dǎo)槽限制(圖中未畫(huà)出)不發(fā)生橫向運(yùn)動(dòng)。解析：四、共點(diǎn)力作用下物體平衡1、力的運(yùn)算法則所有的矢量都遵循平行四邊形定則。力的三角形定則：兩個(gè)矢量相加將兩個(gè)力首尾相連，連接剩余的兩個(gè)端點(diǎn)的線(xiàn)段表示合力的大小，合力的方向由第一個(gè)矢量的始端指向第二個(gè)矢量的末端；兩個(gè)矢量相減，將這兩個(gè)力的始端平移在一起，連接剩余的兩個(gè)端點(diǎn)的線(xiàn)段即為兩個(gè)力的差矢量的大小，差矢量的方向指向被減矢量。2、平行力的合成與分解同向平行力的合成：兩個(gè)平行力FA和FB相距AB，則合力F的大小為FA+FB，作用點(diǎn)C滿(mǎn)足FAAC=FBBC的關(guān)系。反向平行力的合成：兩個(gè)大小不同的反向平行力FA和FB相距AB，則合力F的大小為FA-FB(FAFB)，作用點(diǎn)滿(mǎn)足FAAC=FBBC的關(guān)系。3、共點(diǎn)力作用下物體平衡條件平衡條件：合外力等于零。即F=0，或Fx=0，F(xiàn)y=04、三力匯交原理若一個(gè)物體受三個(gè)非平行力而處于平衡狀態(tài)，則這三個(gè)力必為共點(diǎn)力。解決三力平衡問(wèn)題常用的方法有：正交分解法；合成與分解法；相似三角形法；正弦定律法；圖解法等。SMN【例5】?jī)筛L(zhǎng)度相等的輕繩，下端懸掛一質(zhì)量為m的物體，上端分別固定在水平天花板上的M、N點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)間的距離為S，如圖所示。已知兩繩能承受的最大拉力均為T(mén)m，則每根繩長(zhǎng)度不得短于多少？解析：【例6】如圖所示，一輕桿兩端固定兩個(gè)小球A和B，A、B兩球質(zhì)量分別為4m和m，輕繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，求平衡時(shí)OA、OB分別為多長(zhǎng)？(不計(jì)繩與滑輪間的摩擦)4mgmgABO解析：qBAC 【例7】如圖所示，質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿，靜止在光滑的半球形容器中，設(shè)桿與水平方向的夾角為q，則容器在A點(diǎn)和B點(diǎn)給桿的支持力各多大？解析：參考答案：NAmgtanq；NB=Rr123【例8】如圖所示，三個(gè)相同的光滑圓柱體，半徑為r，堆放在光滑的圓柱面內(nèi)，試求下面兩個(gè)圓柱體不致分開(kāi)時(shí)，圓柱面的半徑R應(yīng)滿(mǎn)足的條件。解析：答案：R(1+)r【例9】如圖所示，半徑為R的剛性球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈，原長(zhǎng)為2pa，a=R/2，繩圈的勁度系數(shù)為k，將繩圈從球的正上方輕放到球上，使其水平停留在某個(gè)靜力平衡位置，考慮重力，忽略摩擦。(1)設(shè)平衡時(shí)繩圈長(zhǎng)為2pb，b=a，求勁度系數(shù)k(用M、R、g表示，g為重力加速度)O(2)設(shè)k=，求繩圈的最后平衡位置及長(zhǎng)度。解析：答案：k= 2a。五、力矩、力偶的概念1、力臂從轉(zhuǎn)軸到力的作用線(xiàn)的垂直距離叫力臂。2、力矩M0(F)ABrFO力和力臂的乘積叫力矩，記為M=FL。單位為：“牛米”。一般規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。力矩的進(jìn)一步理解：力矩也是力使物體繞某點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的能量。力對(duì)點(diǎn)之矩是矢量如圖所示，力F對(duì)O點(diǎn)之矩，用矢量M0(F)表示，圖中r表示力F的作用點(diǎn)A的位置矢量，這個(gè)力矩矢量的大小為：M0(F)=rFsin(r,F)=2DABO面積方向：略力對(duì)軸之矩是代數(shù)量AhFO從一般意義上講，力對(duì)軸之矩是一個(gè)沿軸向的矢量，在定軸情況下不必強(qiáng)調(diào)矢量性，把它作為代數(shù)量處理較為便利。當(dāng)力線(xiàn)與軸相垂直時(shí)，邊力線(xiàn)作軸的垂直平面，如圖所示，力F對(duì)軸O的之矩為M0(F)=Fh通常規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?、力偶由兩個(gè)等值、反向的平行力組成的力矩。M=FRNRF力偶不能合成一個(gè)力，也是一個(gè)基本力學(xué)量。力偶使物體繞某點(diǎn)(軸)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，這種轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小，由構(gòu)成該力偶的兩個(gè)力對(duì)某點(diǎn)(軸)之力矩和力偶矩M來(lái)量度。3、有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件平衡條件：M順=M逆4、重心物體所受重力的作用點(diǎn)叫重心。計(jì)算重心的方法：同向平行力的合成法：各分力對(duì)合力作用點(diǎn)的合力矩為零，則合力作用點(diǎn)為重心。ABCxyx1x2xcy1y2yc割補(bǔ)法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補(bǔ)成形狀規(guī)則的物體，再由同向平行力合成法求重心位置。公式法：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)量為m1和m2的A、B兩質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由兩物體共同組成的整體的重心坐標(biāo)為xc=，yc=O1OO2【例10】如圖所示，飛輪重1500N，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得其重心離轉(zhuǎn)軸O1為4毫米處的O點(diǎn)處，若在右側(cè)離軸25cm處鉆一圓孔，剩余部分重心將移動(dòng)軸心O1，試求鉆去部分的重力。(答案：24N)解析：【例11】一個(gè)質(zhì)量為m=50kg的均勻圓柱體，放在臺(tái)階的旁邊，臺(tái)階的高度h是圓柱體半徑r的一半，如圖所示，圓柱體與臺(tái)階接觸處（如圖中P點(diǎn)）是粗糙的，現(xiàn)要在圖中圓柱體的最上方A處施一最小的力使圓柱體則能開(kāi)始以P為軸向臺(tái)階上滾動(dòng)，求：OrAPh(1)所施力的最小值；(2)臺(tái)階對(duì)圓柱體的作用力的大小。參考答案：(1)2.45102N；(2)4.32102NAOECDO【例12】半徑為R、質(zhì)量為m1的均勻圓球與一質(zhì)量為m2的重物分別用細(xì)繩AD和ACE懸掛于同一點(diǎn)A，并處于平衡。如圖所示，已知懸點(diǎn)A到球心O的距離為L(zhǎng)，若不考慮繩的質(zhì)量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角q。(10屆預(yù)賽試題)解析：ABOab小結(jié)：由力矩平衡關(guān)系處理問(wèn)題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)軸的選擇，通常選擇未知又不需要求的力的作用點(diǎn)所在的軸為轉(zhuǎn)軸，這樣減小方程中未知量個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算?！纠?3】有一個(gè)水平放置的半徑為R的圓柱形光滑槽面，其軸線(xiàn)通過(guò)O點(diǎn)，槽內(nèi)放著兩個(gè)半徑均為r的光滑圓柱體A、B，如圖所示，質(zhì)量分別為mA和mB，且r=R/3，求圓柱體A、B平衡時(shí)，OA線(xiàn)與豎直線(xiàn)間的夾角a是多少？解析：答案：a=tan-1【例14】如圖所示，一根細(xì)棒上端A處用鉸鏈與天花板相連，下端用鉸鏈與另一細(xì)棒相連，兩棒的長(zhǎng)度相等，兩棒限在圖示的豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且不計(jì)鉸鏈處的摩擦，當(dāng)在C端加一適當(dāng)?shù)耐饬?紙面內(nèi))，可使兩棒平衡在圖示的位置處，即兩棒間的夾角為90，且C端正處于A端的正下方。ABC(1)不管兩棒質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個(gè)方向范圍內(nèi)？試說(shuō)明道理(不要求推理)。(2)如果AB棒質(zhì)量m1=1kg，BC棒的質(zhì)量為m2=2kg，求此外力大小和方向。解析：【例15】如圖所示，一個(gè)半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為m），所以要將木板從球下面向右抽出時(shí)，至少需要大小為F的水平拉力。試問(wèn)：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？解析：這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。答案： 。A1B1A2A3A4A5A6B2B3B4B5B6m【例16】有六個(gè)完全相同的剛性長(zhǎng)條薄片AiBi(i=1,2,3,6)，其兩端下方各有一個(gè)小突起，薄片及突起的重量均可以不計(jì)，現(xiàn)將此六個(gè)薄片架在一只水平的碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)放在薄片A6B6上一點(diǎn)，這一點(diǎn)與此薄片中點(diǎn)的距離等于它與小突起A6的距離，求此薄片A6B6中點(diǎn)所受的(由另一薄片的小突起A1所施的)壓力。(6屆預(yù)賽試題)解析：答案：P=【例17】某水果店，所用的秤是量程為10kg的吊盤(pán)式桿秤?，F(xiàn)有一較大西瓜，超過(guò)此秤的量程。店員甲找到另一秤砣，與此桿秤秤砣完全相同，把它與原秤砣結(jié)在一起作為秤砣進(jìn)行稱(chēng)量。平衡時(shí)，雙砣位于6.5kg刻度處，他將刻度乘以2得13kg，作為此西瓜的質(zhì)量，賣(mài)給顧客，店員乙對(duì)這種稱(chēng)量結(jié)果表示懷疑，為了檢驗(yàn)，他取另一西瓜，用單秤砣正常稱(chēng)量得8kg，用店員甲的雙秤砣去稱(chēng)量，示數(shù)為3kg，乘以2得6kg。這證明店員甲的辦法是不可靠的。試問(wèn)，店員甲賣(mài)給顧客的那個(gè)西瓜實(shí)際質(zhì)量是多大？(9屆預(yù)賽試題)解析： 六、一般物體的平衡 穩(wěn)度1、物體平衡的種類(lèi)可分為三種：(1)穩(wěn)定平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時(shí)，有一個(gè)力或力矩使之回到平衡位置，這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡，處于穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時(shí)一般是勢(shì)能增加。(2)不穩(wěn)定平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時(shí)，有一個(gè)力或力矩使它的偏離繼續(xù)增大，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡，處于不穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置時(shí)一般是勢(shì)能減小。(3)隨遇平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時(shí)，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，它能夠在新的位置上再次平衡，這樣的平衡叫隨遇平衡。處于隨遇平衡的物體偏離平衡位置時(shí)勢(shì)能一般不變。2、浮體平衡的穩(wěn)定性WFAGWFBGB(a)(b)浮在流體表面的浮體，所受浮力與重力大小相等、方向相反，處于平衡狀態(tài)，浮體平衡的穩(wěn)定性，將因所受擾動(dòng)方式的不同而異。顯然，浮體對(duì)鉛垂方向的擾動(dòng)，其平衡是穩(wěn)定的，對(duì)水平方向的擾動(dòng)，其平衡是隨遇的。浮體對(duì)于過(guò)質(zhì)心的水平對(duì)稱(chēng)軸的旋轉(zhuǎn)擾動(dòng)，其平衡的穩(wěn)定性視具體情況而定，以浮于水面的般體為例：當(dāng)船體向右傾斜(即船體繞過(guò)質(zhì)心的水平對(duì)稱(chēng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)一小角度)時(shí)，其浮心B將向右偏離，浮力FB與重力W構(gòu)成一對(duì)力偶，力偶矩將促使船體恢復(fù)到原來(lái)的方位，如圖a所示?？梢?jiàn)船體對(duì)這種擾動(dòng)，其平衡是穩(wěn)定的。但如果船體重心G太高，船體傾斜所造成的力偶也可能促使傾斜加劇，這時(shí)船體的平衡就是不穩(wěn)定的，如圖b所示。3、穩(wěn)度123物體穩(wěn)定的程度。一般來(lái)講，使一個(gè)物體的平衡遭到破壞所需要的能量越多，這個(gè)平衡的穩(wěn)度就越高?！纠?8】如圖所示，三個(gè)直徑為重力相同的圓柱體垛在起，問(wèn)圓柱體之間摩擦因數(shù)m最小為何值時(shí)，它們才不會(huì)滾散？(已知圓柱體與地面及圓柱體之間的摩擦因數(shù)相同)解析：【例19】用一根細(xì)線(xiàn)豎直懸掛一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)木桿，置于水桶內(nèi)水平面上方，如圖所示，當(dāng)水桶緩慢上提時(shí)，細(xì)桿逐漸浸入水中，當(dāng)木桿浸入水中超過(guò)一定深度L時(shí)，木桿開(kāi)始出現(xiàn)傾斜現(xiàn)象，求L。已知木桿的密度為r，水的密度為r0。解析：【例20】邊長(zhǎng)為a的均勻立方體，對(duì)稱(chēng)地放在一個(gè)半徑為r的圓柱面頂部，如圖所示。假設(shè)靜摩擦系數(shù)足夠大，足以阻止立方體下滑，試證物體穩(wěn)定的平衡條件為ra/2。rarCqqO解析：Lm1m2ABABFh【例21】用兩個(gè)“爬犁”(雪撬)在水平雪地上運(yùn)送一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻橫梁，簡(jiǎn)化示意圖如圖所示，每個(gè)爬犁的上端A與被運(yùn)送的橫梁端頭固連，下端B與雪地接觸，假設(shè)接觸面積很小，一水平牽引力F作用于前爬犁，作用點(diǎn)到雪地的距離用h表示，已知前爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)為m1，后爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)為m2。問(wèn)要在前后兩爬犁都與雪地接觸的條件下，使橫梁沿雪地勻速向前移動(dòng)，h應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？水平牽引力F應(yīng)多大？設(shè)爬犁的質(zhì)量可忽略不計(jì)。Ff1N1f2N2L解析：【例22】如圖所示，杯中盛有密度均勻的混合液體，其密度為，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后變?yōu)槊芏确謩e為1和2的(1FB)，作用點(diǎn)滿(mǎn)足FAAC=FBBC的關(guān)系。3、共點(diǎn)力作用下物體平衡條件平衡條件：合外力等于零。即F=0，或Fx=0，F(xiàn)y=04、三力匯交原理(受三力平衡的物體，三力若不平行，則必共點(diǎn))若一個(gè)物體受三個(gè)非平行力而處于平衡狀態(tài)，則這三個(gè)力必為共點(diǎn)力。解決三力平衡問(wèn)題常用的方法有：正交分解法；合成與分解法；相似三角形法；正弦定理法；圖解法等。SMN【例5】?jī)筛L(zhǎng)度相等的輕繩，下端懸掛一質(zhì)量為m的物體，上端分別固定在水平天花板上的M、N點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)間的距離為S，如圖所示。已知兩繩能承受的最大拉力均為T(mén)m，則每根繩長(zhǎng)度不得短于多少？解析：選物體m為研究對(duì)象，受力如圖所示，設(shè)拉力T與豎直方向夾角為q，由平衡條件有2Tcosq=mg，由圖中幾何關(guān)系看出：cosq=，由此得：T=又因?yàn)門(mén)Tm，所以Tm整理得：L【例6】如圖所示，一輕桿兩端固定兩個(gè)小球A和B，A、B兩球質(zhì)量分別為4m和m，輕繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，求平衡時(shí)OA、OB分別為多長(zhǎng)？(不計(jì)繩與滑輪間的摩擦)4mgmgABO解法一：相似三角形法分別對(duì)A、B作出受力圖，由圖上可見(jiàn)，利用相似三角形法有：=，=又因?yàn)锳、B由同一根輕繩相連，所以TA=TB，且繩子長(zhǎng)度一定，有：OA+OB=L聯(lián)立解得：OA=L/5，OB=4L/5解法二：轉(zhuǎn)軸物體平衡法4mgL1=mgL2，故L1:L2=1:4其余同上。解法三：質(zhì)心法?！纠?】如圖所示，質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿，靜止在光滑的半球形容器中，設(shè)桿與水平方向的夾角為q，則容器在A點(diǎn)和B點(diǎn)給桿的支持力各多大？qBACqBGCNANBq90-2qA解析：正弦定理法。如圖所示，先受力分析，然后找出角度的關(guān)系，由正弦定理有：=解得：NAmgtanq；NB=【例8】如圖所示，三個(gè)相同的光滑圓柱體，半徑為r，堆放在光滑的圓柱面內(nèi)，試求下面兩個(gè)圓柱體不致分開(kāi)時(shí)，圓柱面的半徑R應(yīng)滿(mǎn)足的條件。解析：設(shè)球1受到下面圓柱面的彈力為N2，球2受到底下圓柱面的彈力為N1，且N1與豎直方向夾角為a，要使2、3兩球剛好不分開(kāi)的條件是這兩球無(wú)彈力。選球1為對(duì)象，由受力圖有：Rr123mg=2N2cos30，得N2=選球2為對(duì)象，由平衡條件得：N1sina=sin30mgra23N1N2N1cosa=mg+cos30消去N1得：tana=，sina=由幾何關(guān)系看出：=得：R=(1+)r，即球2、3不分開(kāi)的條件是R(1+)r=6.3rO【例9】如圖所示，半徑為R的剛性球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈，原長(zhǎng)為2pa，a=R/2，繩圈的勁度系數(shù)為k，將繩圈從球的正上方輕放到球上，使其水平停留在某個(gè)靜力平衡位置，考慮重力，忽略摩擦。(1)設(shè)平衡時(shí)繩圈長(zhǎng)為2pb，b=a，求勁度系數(shù)k(用M、R、g表示，g為重力加速度)(2)設(shè)k=，求繩圈的最后平衡位置及長(zhǎng)度。解析：(1)設(shè)平衡時(shí)繩圈位于球面上對(duì)應(yīng)于緯度為q的緯度線(xiàn)上，繩中張力為T(mén)，選擇一微元段L為對(duì)象，對(duì)應(yīng)頂角為q，質(zhì)量為m，如圖所示，如圖所示FTTq故F=2Tsin()；m=由圖可知，對(duì)微元分析知：Nsinq=F，mg=NcosqOmgNF故T=因?yàn)閝0，上式簡(jiǎn)化得：T=對(duì)彈性繩滿(mǎn)足胡克定律，T=2k(b-a)T=2k()a=kR()ORqx由幾何知識(shí)有：sinq=b/R=，tanq=1因此 k=(2)當(dāng)k=時(shí)，由(1)的結(jié)論T=及T=2k(x-a)得tanq=2sinq-1變形得：sinq=2sinqcosq-cosq，得：sin22q=1+2sinqcosq因?yàn)?sin(2q)1，故上式無(wú)解，表明此時(shí)彈性繩已落在桌面上，這時(shí)繩長(zhǎng)為原長(zhǎng)2a。五、力矩、力偶的概念1、力臂從轉(zhuǎn)軸到力的作用線(xiàn)的垂直距離叫力臂。2、力矩M0(F)ABrFO力和力臂的乘積叫力矩，記為M=FL。單位為：“牛米”。一般規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎槙r(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。力矩的進(jìn)一步理解：力矩也是力使物體繞某點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的能量。力對(duì)點(diǎn)之矩是矢量如圖所示，力F對(duì)O點(diǎn)之矩，用矢量M0(F)表示，圖中r表示力F的作用點(diǎn)A的位置矢量，這個(gè)力矩矢量的大小為：M0(F)=rFsin(r,F)=2DABO面積方向：略力對(duì)軸之矩是代數(shù)量AhFO從一般意義上講，力對(duì)軸之矩是一個(gè)沿軸向的矢量，在定軸情況下不必強(qiáng)調(diào)矢量性，把它作為代數(shù)量處理較為便利。當(dāng)力線(xiàn)與軸相垂直時(shí)，邊力線(xiàn)作軸的垂直平面，如圖所示，力F對(duì)軸O的之矩為M0(F)=Fh通常規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?、力偶由兩個(gè)等值、反向的平行力組成的力矩。M=FRNRF力偶不能合成一個(gè)力，也是一個(gè)基本力學(xué)量。力偶使物體繞某點(diǎn)(軸)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，這種轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小，由構(gòu)成該力偶的兩個(gè)力對(duì)某點(diǎn)(軸)之力矩和力偶矩M來(lái)量度。3、有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件平衡條件：M順=M逆4、重心物體所受重力的作用點(diǎn)叫重心。計(jì)算重心的方法：同向平行力的合成法：各分力對(duì)合力作用點(diǎn)的合力矩為零，則合力作用點(diǎn)為重心。ABCxyx1x2xcy1y2yc割補(bǔ)法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補(bǔ)成形狀規(guī)則的物體，再由同向平行力合成法求重心位置。公式法：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)量為m1和m2的A、B兩質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由兩物體共同組成的整體的重心坐標(biāo)為xc=，yc=O1OO2x1x2【例10】如圖所示，飛輪重1500N，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得其重心離轉(zhuǎn)軸O1為4毫米處的O點(diǎn)處，若在右側(cè)離軸25cm處鉆一圓孔，剩余部分重心將移動(dòng)軸心O1，試求鉆去部分的重力。解析：補(bǔ)償法，設(shè)鉆去部分重力為G，離中心O的距離為x2，O1離O的距離為x1，若把鉆去部分補(bǔ)起來(lái)，則系統(tǒng)總重力在O處，故有(1500-G)x1=Gx2，得G=24N注：本題亦可把鉆去的部分看成是一個(gè)順時(shí)針?lè)较虻牧睾鸵粋€(gè)逆時(shí)針?lè)较虻牧丿B加而成，當(dāng)兩個(gè)力矩去處理，比較方法?！纠?1】一個(gè)質(zhì)量為m=50kg的均勻圓柱體，放在臺(tái)階的旁邊，臺(tái)階的高度h是圓柱體半徑r的一半，如圖所示，圓柱體與臺(tái)階接觸處（如圖中P點(diǎn)）是粗糙的，現(xiàn)要在圖中圓柱體的最上方A處施一最小的力使圓柱體則能開(kāi)始以P為軸向臺(tái)階上滾動(dòng)，求：(1)所施力的最小值；(2)臺(tái)階對(duì)圓柱體的作用力的大小。OrAPh解析：(1)連接AP，作A作AP的垂線(xiàn)，即為最小力的方向?？傻米钚×?.45102N；(2)方法很多。法一：小球受力三力作用，由SFx=0，SFx=0可求出法二：由三力匯交原理可知，臺(tái)對(duì)球的作用力一定過(guò)A點(diǎn)，而F又平行于P與最低點(diǎn)連線(xiàn)，可在一個(gè)直角三角形中求出力的大小為4.32102N【例12】半徑為R、質(zhì)量為m1的均勻圓球與一質(zhì)量為m2的重物分別用細(xì)繩AD和ACE懸掛于同一點(diǎn)A，并處于平衡。如圖所示，已知懸點(diǎn)A到球心O的距離為L(zhǎng)，若不考慮繩的質(zhì)量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角q。(10屆預(yù)賽試題)解析：選懸點(diǎn)A為轉(zhuǎn)軸，從A向CO作垂線(xiàn)交于CO于O點(diǎn)，系統(tǒng)受拉力TAD和TAC作用且過(guò)懸點(diǎn)，力矩為零，由力矩平衡條件得：AOECDOm1m2m1gOO=m2gCO又在三角形中有：OO=LsinqOC=R-OO=R-Lsinq三式解得：sinq=即q=arcsin小結(jié)：由力矩平衡關(guān)系處理問(wèn)題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)軸的選擇，通常選擇未知又不需要求的力的作用點(diǎn)所在的軸為轉(zhuǎn)軸，這樣減小方程中未知量個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算。ABOab【例13】有一個(gè)水平放置的半徑為R的圓柱形光滑槽面，其軸線(xiàn)通過(guò)O點(diǎn)，槽內(nèi)放著兩個(gè)半徑均為r的光滑圓柱體A、B，如圖所示，質(zhì)量分別為mA和mB，且r=R/3，求圓柱體A、B平衡時(shí)，OA線(xiàn)與豎直線(xiàn)間的夾角a是多少？解析：對(duì)本題常用的處理方法是分別隔離A、B兩物體，各自利用共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件求得。不過(guò)，這樣處理比較繁瑣，如把A、B兩物看成一個(gè)整體，它相當(dāng)于繞過(guò)大圓柱圓心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由于大圓柱面對(duì)兩球的彈力均指向轉(zhuǎn)軸，故這兩個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩，從而能方便地求得問(wèn)題的解。設(shè)OA、OB連線(xiàn)分別與豎直線(xiàn)夾a、b角，以過(guò)O點(diǎn)的水平線(xiàn)為軸，對(duì)系統(tǒng)有：mAg(R-r)sina=mBg(R-r)sinb又因?yàn)镺A=OB=AB=2r所以a+b=60解得：a=tan-1【例14】如圖所示，一根細(xì)棒上端A處用鉸鏈與天花板相連，下端用鉸鏈與另一細(xì)棒相連，兩棒的長(zhǎng)度相等，兩棒限在圖示的豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且不計(jì)鉸鏈處的摩擦，當(dāng)在C端加一適當(dāng)?shù)耐饬?紙面內(nèi))，可使兩棒平衡在圖示的位置處，即兩棒間的夾角為90，且C端正處于A端的正下方。ABC(1)不管兩棒質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個(gè)方向范圍內(nèi)？試說(shuō)明道理(不要求推理)。(2)如果AB棒質(zhì)量m1=1kg，BC棒的質(zhì)量為m2=2kg，求此外力大小和方向。解析：(1)選兩棒整體分析，受重力m1g和m2g作用，它們對(duì)A軸有順時(shí)針?lè)较虻牧?，因此，在C端施加的力F方向不能指向AC豎直線(xiàn)的左方，對(duì)BC棒而言，受重力m2g作用，以B為軸，產(chǎn)生逆時(shí)針?lè)较蛄?，故力F方向只能在BC棒的左上方。綜合二者分析知力F的方向只能在ACB的范圍內(nèi)斜向右上方，棒才可能平衡。(2)設(shè)力F的方向與AC夾角為a，每棒長(zhǎng)為L(zhǎng)，由力矩平衡條件：ABCFxFyFa對(duì)整體選A為軸，則有(m1+m2)g=Fsina對(duì)BC棒選B為軸，有：m2g=FLsin(45-a)代入數(shù)據(jù)，求得：F=19N，方向?yàn)閍=arcsin0.395。小結(jié)：在求力矩時(shí)，如遇力臂不易找時(shí)，可以將力分解，求出各分力的力矩后再求合力矩。合力矩與分力矩的關(guān)系是：合力矩等于各分力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩的代數(shù)和。FRLO【例15】如圖所示，一個(gè)半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為m），所以要將木板從球下面向右抽出時(shí)，至少需要大小為F的水平拉力。試問(wèn)：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？解析：這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。以球和桿為對(duì)象，研究其對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，設(shè)木板拉出時(shí)給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：f R + N（R + L）= G（R + L） 球和板已相對(duì)滑動(dòng)，故：f = N 解可得：f = 再看木板的平衡，F(xiàn)=f，(可推出G的表達(dá)式)。同理，木板插進(jìn)去時(shí)，球體和木板之間的摩擦f= = F。解得：F= 。A1B1A2A3A4A5A6B2B3B4B5B6m【例16】有六個(gè)完全相同的剛性長(zhǎng)條薄片AiBi(i=1,2,3,6)，其兩端下方各有一個(gè)小突起，薄片及突起的重量均可以不計(jì)，現(xiàn)將此六個(gè)薄片架在一只水平的碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)放在薄片A6B6上一點(diǎn)，這一點(diǎn)與此薄片中點(diǎn)的距離等于它與小突起A6的距離，求此薄片A6B6中點(diǎn)所受的(由另一薄片的小突起A1所施的)壓力。(6屆預(yù)賽試題)解析：設(shè)所求的壓力P1=P(向下)，并設(shè)任一小突起Ai，對(duì)其下