人教A版必修二 4.2.2 圓與圓的位置關系 4.2.3 直線與圓的方程的應用 學案.doc

4.2.2圓與圓的位置關系4.2.3直線與圓的方程的應用1掌握圓與圓的位置關系及判定方法(重點、易錯點)2能利用直線與圓的位置關系解決簡單的實際問題(難點)基礎初探教材整理1圓與圓位置關系的判定閱讀教材p129至p130“練習”以上部分，完成下列問題1幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：位置關系外離外切相交內切內含圖示d與r1、r2的關系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|0d|r1r2|2.代數法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數進行判斷一元二次方程兩圓x2y29和x2y28x6y90的位置關系是()a外離b相交c內切d外切【解析】兩圓x2y29和x2y28x6y90的圓心分別為(0,0)和(4，3)，半徑分別為3和4.所以兩圓的圓心距d5.又43534，故兩圓相交【答案】b教材整理2直線與圓的方程的應用閱讀教材p130“練習”以下至p132“練習”以上部分，完成下列問題用坐標方法解決平面幾何問題的“三步曲”一輛卡車寬1.6米，要經過一個半徑為3.6米的半圓形隧道，則這輛卡車的平頂車蓬蓬頂距地面的高度不得超過()a1.4米b3.5米c3.6米d2米【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系如圖，設蓬頂距地面高度為h，則a(0.8，h3.6)半圓所在圓的方程為：x2(y3.6)23.62，把a(0.8，h3.6)代入得0.82h23.62，h43.5(米)【答案】b小組合作型圓與圓位置關系的判定當實數k為何值時，兩圓c1：x2y24x6y120，c2：x2y22x14yk0相交、相切、相離？【精彩點撥】【自主解答】將兩圓的一般方程化為標準方程，c1：(x2)2(y3)21，c2：(x1)2(y7)250k.圓c1的圓心為c1(2,3)，半徑r11；圓c2的圓心為c2(1,7)，半徑r2(k50)從而|c1c2|5.當15，k34時，兩圓外切當|1|5，6，k14時，兩圓內切當|r2r1|c1c2|r2r1，即14k34時，兩圓相交當15或|1|5，即0k14或34k50時，兩圓相離1判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍有以下幾個步驟：(1)化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑；(2)計算兩圓圓心的距離d；(3)通過d，r1r2，|r1r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可借助于圖形，數形結合2應用幾何法判定兩圓的位置關系或求字母參數的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關系再練一題1已知圓c1：x2y22ax2ya2150，圓c2：x2y24ax2y4a20(a0)試求a為何值時，兩圓c1，c2的位置關系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內含【解】圓c1，c2的方程，經配方后可得c1：(xa)2(y1)216，c2：(x2a)2(y1)21，圓心c1(a,1)，c2(2a,1)，半徑r14，r21.|c1c2|a.(1)當|c1c2|r1r25，即a5時，兩圓外切；當|c1c2|r1r23，即a3時，兩圓內切(2)當3|c1c2|5，即3a5時，兩圓相交(3)當|c1c2|5，即a5時，兩圓外離(4)當|c1c2|3，即a3時，兩圓內含兩圓相交有關問題求圓c1：x2y21與圓c2：x2y22x2y10的公共弦所在直線被圓c3：(x1)2(y1)2所截得的弦長【精彩點撥】【自主解答】設兩圓的交點坐標分別為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a，b的坐標是方程組的解，兩式相減得xy10.因為a，b兩點的坐標滿足 xy10，所以ab所在直線方程為xy10，即c1，c2的公共弦所在直線方程為xy10，圓c3的圓心為(1,1)，其到直線ab的距離d，由條件知r2d2，所以直線ab被圓c3截得弦長為2.1圓系方程一般地過圓c1：x2y2d1xe1yf10與圓c2：x2y2d2xe2yf20交點的圓的方程可設為：x2y2d1xe1yf1(x2y2d2xe2yf2)0(1)，然后再由其他條件求出，即可得圓的方程2兩圓相交時，公共弦所在的直線方程若圓c1：x2y2d1xe1yf10與圓c2：x2y2d2xe2yf20相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(d1d2)x(e1e2)yf1f20.3公共弦長的求法(1)代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解再練一題2求兩圓x2y22x10y240和x2y22x2y80的公共弦所在直線的方程及公共弦長【解】聯立兩圓的方程得方程組兩式相減得x2y40，此為兩圓公共弦所在直線的方程法一：設兩圓相交于點a，b，則a，b兩點滿足方程組解得或所以|ab|2，即公共弦長為2.法二：由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圓心坐標為(1，5)，半徑長r5，圓心到直線x2y40的距離為d3.設公共弦長為2l，由勾股定理得r2d2l2，即50(3)2l2，解得l，故公共弦長2l2.探究共研型直線與圓的方程的應用探究1設村莊外圍所在曲線的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，你能求出從村莊外圍到小路的最短距離嗎？【提示】從村莊外圍到小路的最短距離為圓心(2，3)到直線xy20的距離減去圓的半徑2，即22.探究2已知臺風中心從a地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區(qū)為危險區(qū)，城市b在a的正東40千米處，請建立適當的坐標系，用坐標法求b城市處于危險區(qū)內的時間【提示】如圖，以a為原點，以ab所在直線為x軸建立平面直角坐標系射線ac為xay的平分線，則臺風中心在射線ac上移動則點b到ac的距離為20千米，則射線ac被以b為圓心，以30千米為半徑的圓截得的弦長為220(千米)所以b城市處于危險區(qū)內的時間為t1(小時)為了適應市場需要，某地準備建一個圓形生豬儲備基地(如圖421)，它的附近有一條公路，從基地中心o處向東走1 km是儲備基地的邊界上的點a，接著向東再走7 km到達公路上的點b；從基地中心o向正北走8 km到達公路的另一點c.現準備在儲備基地的邊界上選一點d，修建一條由d通往公路bc的專用線de，求de的最短距離圖421【精彩點撥】建立適當坐標系，求出圓o的方程和直線bc的方程，再利用直線與圓的位置關系求解【自主解答】以o為坐標原點，過ob，oc的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標系，則圓o的方程為x2y21，因為點b(8,0)，c(0,8)，所以直線bc的方程為1，即xy8.當點d選在與直線bc平行的直線(距bc較近的一條)與圓的切點處時，de為最短距離此時de長的最小值為1(41) km.解決關于直線與圓方程實際應用問題的步驟再練一題3一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報，臺風中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？【解】以臺風中心為坐標原點，以東西方向為x軸建立直角坐標系(如圖)，其中取10 km為單位長度，則受臺風影響的圓形區(qū)域所對應的圓的方程為x2y29，港口所對應的點的坐標為(0,4)，輪船的初始位置所對應的點的坐標為(7,0)，則輪船航線所在直線l的方程為1，即4x7y280.圓心(0,0)到航線4x7y280的距離d，而半徑r3，dr，直線與圓外離，所以輪船不會受到臺風的影響1圓o1：x2y22x0和圓o2：x2y24y0的位置關系為()a外離b相交c外切d內切【解析】圓o1的圓心坐標為(1,0)，半徑長r11；圓o2的圓心坐標為(0,2)，半徑長r22；1r2r1|o1o2|r1r23，即兩圓相交【答案】b2圓x2y22x50和圓x2y22x4y40的交點為a、b，則線段ab的垂直平分線方程為()axy10b2xy10cx2y10dxy10【解析】所求直線即兩圓圓心(1,0)、(1,2)連線所在直線，故由，得xy10.【答案】a3圓c1：(xm)2(y2)29與圓c2：(x1)2(ym)24外切，則m的值為_. 【解析】c1(m，2)，r13，c2(1，m)，r22，由題意得|c1c2|5，即(m1)2(m2)225，解得m2或m5.【答案】2或54已知兩圓x2y210和(x1)2(y3)220相交于a、b兩點，則直線ab的方程是_【解析】過兩圓交點的直線就是兩圓公共弦所在直線，因此該直線方程為：x2y210(x1)2(y3)2200，即x3y0.【答案】x3y05求經過兩圓x2y26x40和x2y26y280的交點且圓心在直線xy40上的圓的方程【解】法一：解方程組得兩圓的交點a(