人教A版選修45 反證法與放縮法 學(xué)案 .doc

三反證法與放縮法1掌握反證法和放縮法的依據(jù)2會(huì)利用反證法和放縮法證明有關(guān)不等式1反證法先_，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)_的結(jié)論，以說(shuō)明_不正確，從而證明原命題成立，我們稱(chēng)這種證明問(wèn)題的方法為反證法利用反證法證明問(wèn)題時(shí)，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理，否則，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤【做一做11】 否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的假設(shè)為()aa，b，c都是奇數(shù)ba，b，c都是偶數(shù)ca，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)da，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)【做一做12】 若要證明“a，b至少有一個(gè)為正數(shù)”，用反證法假設(shè)應(yīng)為_(kāi)2放縮法證明不等式時(shí)，通常把不等式中的某些部分的值_或_，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的我們把這種方法稱(chēng)為放縮法放縮法的常用技巧：舍去或加進(jìn)一些代數(shù)式，放大或縮小分子或分母，運(yùn)用重要不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性、值域等【做一做2】 a1與(nn)的大小關(guān)系是_答案：1假設(shè)要證的命題不成立矛盾假設(shè)【做一做11】 d【做一做12】 a，b全為非正數(shù)2放大縮小【做一做2】 aa.1反證法中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言剖析：反證法適宜證明“存在性問(wèn)題，唯一性問(wèn)題”，帶有“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等字樣的問(wèn)題，或者說(shuō)“正難則反”，直接證明有困難時(shí)，常采用反證法下面我們列舉以下常見(jiàn)的涉及反證法的文字語(yǔ)言及其相對(duì)應(yīng)的否定假設(shè)常見(jiàn)詞語(yǔ)至少有一個(gè)至多有一個(gè)唯一一個(gè)不是不可能全都是否定假設(shè)一個(gè)也沒(méi)有有兩個(gè)或兩個(gè)以上沒(méi)有或有兩個(gè)以上是有或存在不全不都是對(duì)某些數(shù)學(xué)語(yǔ)言的否定假設(shè)要準(zhǔn)確，以免造成原則性的錯(cuò)誤，有時(shí)在使用反證法時(shí)，對(duì)假設(shè)的否定也可以舉一定的特例 說(shuō)明矛盾，尤其在一些選擇題中，更是如此2放縮法的尺度把握等問(wèn)題剖析：(1)放縮法的理論依據(jù)主要有：不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量；同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較；基本不等式與絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)；三角函數(shù)的值域等(2)放縮法使用的主要方法：放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考查常用的放縮方法有增項(xiàng)、減項(xiàng)、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用已知不等式、利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮等比如：舍去或加上一些項(xiàng)：(a)2(a)2；將分子或分母放大(縮小)：，(kr，k1)等題型一 利用反證法證明不等式【例1】 若a3b32，求證：ab2.分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更簡(jiǎn)潔，宜用反證法反思：用反證法證明不等式時(shí)，推出的矛盾有三種表現(xiàn)形式：與已知矛盾；與假設(shè)矛盾；與顯然成立的事實(shí)相矛盾【例2】 設(shè)二次函數(shù)f(x)x2pxq，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.分析：當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中，至少有一個(gè)滿(mǎn)足某個(gè)不等式時(shí)，通常采用反證法反思：(1)在證明中含有“至多”“至少”“最多”等詞語(yǔ)時(shí)，常使用反證法證明(2)在用反證法證明的過(guò)程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當(dāng)于增加了題設(shè)條件，因此在證明過(guò)程中必須使用這個(gè)增加的條件，否則將無(wú)法推出矛盾題型二 利用放縮法證明不等式【例3】 若n是大于1的自然數(shù)，求證：2.反思：(1)放縮法證明不等式主要是根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行交換，即欲證ab，可換成證ac且cb，欲證ab，可換成證ac且cb.(2)放縮法原理簡(jiǎn)單，但技巧性較強(qiáng)且有時(shí)還會(huì)有“危險(xiǎn)”，因?yàn)榉糯蠡蚩s小過(guò)頭，就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論，而達(dá)不到預(yù)期的目的，因此，在使用放縮法時(shí)要注意放縮的“度”題型三 易錯(cuò)辨析【例4】 已知實(shí)數(shù)x，y，z不全為零求證：(xyz)錯(cuò)解：2()()()()無(wú)法證出結(jié)論錯(cuò)因分析：出現(xiàn)放縮過(guò)大而達(dá)不到預(yù)想目的，造成這種現(xiàn)象的原因是對(duì)放縮法理解不透或沒(méi)掌握好放縮技巧答案：【例1】 證法一：假設(shè)ab2，而a2abb2(ab)2b20，但取等號(hào)的條件為ab0，顯然不可能，a2abb20.則a3b3(ab)(a2abb2)2(a2abb2)，而a3b32，故a2abb21.1aba2b22ab.從而ab1.a2b21ab2.(ab)2a2b22ab22ab4.而由假設(shè)ab2，得(ab)24，出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即ab2.證法二：假設(shè)ab2，則a2b，故2a3b3(2b)3b3，即2812b6b2，即(b1)20，這不可能，從而ab2.證法三：假設(shè)ab2，則(ab)3a3b33ab(ab)8.由a3b32，得3ab(ab)6.故ab(ab)2.又a3b3(ab)(a2abb2)2.ab(ab)(ab)(a2abb2)a2abb2ab，即(ab)20.這不可能，故ab2.【例2】 證明：假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)2f(2)f(3)|(1pq)2(42pq)(93pq)|2.兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原 的結(jié)論正確，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.【例3】 證明：，k2,3，4，n，()()()22.【例4】 正解：|x|x.同理可得：y，z，由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號(hào)，所以三式累加得：(x)(y)(z)(xyz)1實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的等價(jià)條件為()aa，b，c均不為0ba，b，c中至多有一個(gè)為0ca，b，c中至少有一個(gè)為0da，b，c中至少有一個(gè)不為02lg9lg11與1的大小關(guān)系是_3若|a|1，|b|1，求證：1.4若正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足abc，求證：.答案：1d2lg9lg111lg90，lg110，1.lg9lg111.3分析：本題由已知條件不易入手證明，而結(jié)論也不易變形