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2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)1能記住雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2會(huì)分析雙曲線的漸近線及有關(guān)的應(yīng)用3能解決簡(jiǎn)單的直線和雙曲線的位置關(guān)系問(wèn)題.重點(diǎn):1雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2直線與雙曲線的位置關(guān)系難點(diǎn):1漸近線及其應(yīng)用2直線與雙曲線的位置關(guān)系.1雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0,b0)1(a0,b0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)_焦距|f1f2|_范圍_對(duì)稱性_頂點(diǎn)_軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)_,虛軸長(zhǎng)_離心率e漸近線_預(yù)習(xí)交流1雙曲線1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi),頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi),實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi),虛軸長(zhǎng)為_(kāi),離心率為_(kāi)2等軸雙曲線_和_相等的雙曲線為等軸雙曲線,顯然,它的漸近線方程為_(kāi),離心率為_(kāi),方程可表示為_(kāi)預(yù)習(xí)交流2焦點(diǎn)為(,0),(,0)的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)在預(yù)習(xí)中,還有哪些問(wèn)題需要你在聽(tīng)課時(shí)加以關(guān)注?請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧!我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)一、利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考查簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,實(shí)軸長(zhǎng)為4,離心率為,則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)思路分析:根據(jù)已知條件求出a,b,再由焦點(diǎn)位置求出漸近線方程(1)雙曲線y22x22,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)(2)雙曲線y21(a0)的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)(1)在研究雙曲線性質(zhì)時(shí),一定要弄清a,b所對(duì)應(yīng)的值及c2a2b2的關(guān)系,若給出方程,但不是標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),要先化成標(biāo)準(zhǔn)方程(2)雙曲線1(a0,b0)的漸近線方程為yx,雙曲線1的漸近線方程為yx.應(yīng)仔細(xì)區(qū)分兩雙曲線的漸近線的異同點(diǎn)二、由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)一個(gè)焦點(diǎn)為(0,13),且離心率為;(2)漸近線方程為yx,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(2,3)思路分析:(1)中給出了焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,只需求出系數(shù)a,b的值,便可得到相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)中雙曲線的焦點(diǎn)位置不明確,應(yīng)首先討論焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸,再根據(jù)已知條件求相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),漸近線方程為2x3y0,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)(2)雙曲線1(a0,b0)的離心率為,且它的虛軸長(zhǎng)為橢圓1的短軸長(zhǎng),則此雙曲線方程為_(kāi)由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,一般用待定系數(shù)法,其步驟為:當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)不明確時(shí),方程可能有兩種形式,此時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論,為了避免討論,也可設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0),從而直接求得三、與雙曲線離心率有關(guān)的問(wèn)題(1)設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為f,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為b,如果直線fb與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么雙曲線的離心率是_思路分析:設(shè)出雙曲線方程,用a,b,c表示直線fb和漸近線的斜率,由斜率之積為1建立a,b,c的關(guān)系式,結(jié)合c2a2b2和e得到關(guān)于e的方程,求解方程可得離心率(2)已知點(diǎn)f1,f2分別是雙曲線1的左、右焦點(diǎn),過(guò)f1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于a,b兩點(diǎn),若abf2為銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_思路分析:畫(huà)出圖形,可得abf2為等腰三角形,再考慮銳角的條件求出a,c的不等式(1)已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線c:1(a0,b0)上,c的焦距為4,則它的離心率為_(kāi)(2)雙曲線的漸近線方程為yx,則雙曲線的離心率等于_求雙曲線離心率的常見(jiàn)方法:一是依據(jù)條件求出a,c,再計(jì)算e;二是依據(jù)條件提供的信息建立關(guān)于參數(shù)a,b,c的等式,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程,再解出e的值四、直線與雙曲線的位置關(guān)系設(shè)雙曲線c:y21(a0)與直線l:xy1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)a,b.(1)求雙曲線c的離心率e的取值范圍;(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為p,且,求a的值思路分析:(1)利用0可得a的范圍,再寫(xiě)出離心率關(guān)于a的表達(dá)式,可求出離心率的范圍;(2)由根與系數(shù)的關(guān)系及向量坐標(biāo)關(guān)系,可得到關(guān)于a的方程,解出a即可已知雙曲線c:1(a0,b0)的離心率為,且過(guò)點(diǎn)p(,1)(1)求雙曲線c的方程;(2)若直線l:ykx與雙曲線c恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)a和b,且2(o為坐標(biāo)原點(diǎn)),求k的取值范圍雙曲線的綜合問(wèn)題最終仍體現(xiàn)在直線與雙曲線軌跡、向量的應(yīng)用及參數(shù)范圍的探求上,直線與雙曲線方程聯(lián)立后,要注意二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況另外,設(shè)而不求、根與系數(shù)的關(guān)系、消參也是常用的方法在解題時(shí),應(yīng)有意識(shí)地運(yùn)用這些方法,達(dá)到熟練掌握的程度1中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(1,3),離心率為的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)2設(shè)雙曲線1(a0)的漸近線方程為3x2y0,則a的值為_(kāi)3f1和f2是雙曲線1(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn),若f1,f2,p(0,2b)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為_(kāi)4雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為_(kāi)5已知雙曲線1(a0,b0)與直線y2x有交點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)用精練的語(yǔ)言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫(xiě)下來(lái),并進(jìn)行識(shí)記知識(shí)精華技能要領(lǐng)答案:課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)1f1(c,0),f2(c,0)f1(0,c),f2(0,c)2cxa或xaya或ya關(guān)于x軸,y軸,(0,0)對(duì)稱a1(a,0),a2(a,0)a1(0,a),a2(0,a)2a2byxyx預(yù)習(xí)交流1:提示:(5,0)和(5,0)(3,0)和(3,0)682實(shí)軸長(zhǎng)虛軸長(zhǎng)yxx2y2(0)預(yù)習(xí)交流2:提示:x2y21課堂合作探究活動(dòng)與探究1:yx解析:實(shí)軸長(zhǎng)為4,離心率為,a2,c,b1.又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,雙曲線方程為y21.漸近線方程為yx.遷移與應(yīng)用:(1)(0,)和(0,)解析:方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x21,a22,b21,c23.又由方程知焦點(diǎn)在y軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)和(0,)(2)yx解析:由已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,且b21,則c2a2b2a21.由離心率為2,得4.a2,解得a(負(fù)值舍去)漸近線為yxx.活動(dòng)與探究2:解:(1)依題意可知,雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,且c13,又,a5,b12,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)方法一:雙曲線的漸近線方程為yx,若焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0,b0),則.a(2,3)在雙曲線上,1.由聯(lián)立,無(wú)解若焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0,b0),則.a(2,3)在雙曲線上,1.由聯(lián)立,解得a28,b232.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二:由雙曲線的漸近線方程為yx,可設(shè)雙曲線方程為y2(0),a(2,3)在雙曲線上,(3)2,即8.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.遷移與應(yīng)用:(1)1解析:由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)方程為1(ab0),漸近線方程為2x3y0,即yx,.又一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),c.又c2a2b2,由得a29,b24,c213.雙曲線方程為1.(2)1解析:橢圓方程為1,此橢圓的短軸長(zhǎng)為2.由題意得2b2,b.雙曲線的離心率為,.又c2a2b2.由得a23,b26,c29.雙曲線方程為1.活動(dòng)與探究3:(1)解析:設(shè)雙曲線方程為1(a0,b0),不妨設(shè)一個(gè)焦點(diǎn)為f(c,0),虛軸端點(diǎn)為b(0,b),則kfb.又漸近線的斜率為,所以由直線垂直得1,即b2ac,又c2a2b2,故c2a2ac,兩邊同除以a2,得方程e2e10,解得e(負(fù)值舍去)(2)(1,1)解析:由雙曲線性質(zhì)得af2=bf2,abf2為銳角三角形時(shí),f1bf245.把x=c代入雙曲線得,a點(diǎn)坐標(biāo)為.而f1f2=2c,且af1f2為直角三角形,2c,即b22ac,由b2=c2a2,得c22aca20,e22e10.1e1+.又e1,1e1+.遷移與應(yīng)用:(1)2解析:與a2+b2=4聯(lián)立,求得a=1,所以e=2.(2)或解析:若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,則,從而;若焦點(diǎn)在y軸上,則,從而.活動(dòng)與探究4:解:(1)將yx1代入雙曲線y21中得(1a2)x22a2x2a20,解得0a且a1.又雙曲線的離心率e,e且e.(2)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),p(0,1),(x1,y11)(x2,y21)由此得x1x2,由于x1,x2都是方程的根,且1a20,由根與系數(shù)的關(guān)系,得x2,x.消去x2,得,由a0,得a.遷移與應(yīng)用:解:(1)由已知e,雙曲線過(guò)點(diǎn)p(,1),1,解得a23,b21.故所求雙曲線方程為y21.(2)將ykx代入y21,得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線c交于不同的兩點(diǎn)得即k2且k21.設(shè)a(xa,ya),b(xb,yb),則xaxb,xaxb.由2得,xaxbyayb2,而xaxbyaybxaxb(kxa)(kxb)(k21)xaxbk(xaxb)2(k21)k222,于是,0,解得k23,由得k21,故k的取值范圍為.當(dāng)堂檢測(cè)11解析:由離心率為,雙曲線為等軸雙曲線,可設(shè)方程為x2y2(0),代入點(diǎn)(1,3),得8.雙曲線方程為1.

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