蘇教版選修21 空間向量及其線性運算共面向量定理 學案.doc

3.1.1空間向量及其線性運算3.1.2共面向量定理1了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別，理解空間向量的線性運算及其性質(zhì)，理解共線向量定理(重點)2體會共面向量定理的推導過程，掌握共面向量定理，會用共面向量定理判定向量共面，會用共面向量定理證明線面平行問題(難點)3掌握向量共線與共面和直線共線與共面的區(qū)別與聯(lián)系(易混點)基礎初探教材整理1空間向量及其線性運算閱讀教材p81的部分，完成下列問題1空間向量在空間，把既有大小又有方向的量叫做空間向量2空間向量的線性運算空間向量的線性運算定義(或法則)加法設a和b是空間兩個向量，過一點o作a和b的相等向量和，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則平行四邊形oacb的對角線oc對應的向量就是a與b的和，記作ab減法與平面向量類似，a與b的差定義為a(b)，記作ab，其中b是b的相反向量空間向量的數(shù)乘空間向量a與一個實數(shù)的乘積是一個向量，記作a，滿足：大?。簗a|a|.方向：當0時，a與a方向相同；當0時，a與a方向相反；當0時，a01判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小()(2)空間向量的數(shù)乘運算中，只決定向量的大小，不決定向量的方向()(3)將空間的所有單位向量的起點平移到同一個點，則它們的終點構(gòu)成一個圓()(4)若|a|b|，則ab或ab.()(5)已知四邊形abcd，o是空間任意一點，且，則四邊形abcd是平行四邊形()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)2在長方體abcda1b1c1d1中，向量表達式化簡后的結(jié)果是_【解析】如圖所示，().【答案】教材整理2共線向量閱讀教材p82例1上面的部分，完成下列問題1共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量向量a與b平行，記作ab，規(guī)定零向量與任意向量共線2共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(a0)，b與a共線的充要條件是存在實數(shù)，使ba.教材整理3共面向量閱讀教材p84的部分，完成下列問題1共面向量能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量2共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得pxayb.有下列命題：平行于同一直線的向量是共線向量；平行于同一平面的向量是共面向量；平行向量一定是共面向量；共面向量一定是平行向量其中正確的命題有_【解析】“共面向量一定是平行向量”不正確，即共面向量不一定共線均正確【答案】質(zhì)疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型空間向量及有關概念下列四個命題：(1)所有的單位向量都相等；(2)方向相反的兩個向量是相反向量；(3)若a，b滿足|a|b|，且a，b同向，則ab；(4)零向量沒有方向其中不正確的命題的序號為_【精彩點撥】根據(jù)空間向量的概念進行逐一判斷，得出結(jié)論【自主解答】對于(1)：單位向量是指長度等于1個單位長度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定義，故(1)錯；對于(2)：長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故(2)錯；對于(3)：向量是不能比較大小的，故不正確；對于(4)：零向量有方向，只是沒有確定的方向，故(4)錯【答案】(1)(2)(3)(4)1因為空間任何兩個向量都可以平移到同一平面上，故空間的兩個向量間的關系都可以轉(zhuǎn)化為平面向量來解決2對于有關向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以通過舉出反例而排除或否定相關命題再練一題1下列命題中正確的個數(shù)是_(1)如果a，b是兩個單位向量，則|a|b|；(2)兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；(3)同向且等長的有向線段表示同一向量；(4)空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)【解析】(1)(3)(4)正確，(2)不正確【答案】3空間向量的線性運算化簡：()()【精彩點撥】根據(jù)算式中的字母規(guī)律，可轉(zhuǎn)化為加法運算，也可轉(zhuǎn)化為減法運算【自主解答】法一：將減法轉(zhuǎn)化為加法進行化簡，()()0.法二：利用，化簡()()()()0.法三：，()()()()0.1計算兩個空間向量的和或差時，與平面向量完全相同運算中掌握好三角形法則和平行四邊形法則是關鍵2計算三個或多個空間向量的和或差時，要注意以下幾點：(1)三角形法則和平行四邊形法則；(2)正確使用運算律；(3)有限個向量順次首尾相連，則從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即表示這有限個向量的和向量再練一題2如圖311所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形，若a，b，c，則_(用向量a，b，c表示)圖311【解析】abcbbabc.【答案】abc共線向量定理及其應用(2016石家莊高二檢測)如圖312，已知m，n分別為四面體abcd的面bcd與面acd的重心，且g為am上一點，且gmga13.求證：b，g，n三點共線圖312【精彩點撥】要證明b，g，n三點共線，可證明，即證明存在實數(shù)，使.【自主解答】設a，b，c，則a(abc)abc，()abc.，即b，g，n三點共線判定或證明三點(如p，a，b)是否共線：(1)考察是否存在實數(shù)，使；(2)考察對空間任意一點o，是否有t；(3)考察對空間任意一點o，是否有xy(xy1).再練一題3在例3中，若把條件“gmga13”換為“gmga11”把“n是面acd的重心”換為“”，增加條件“b，g，n三點共線”，其余不變，試求的值【解】設a，b，c，()()(abc)a(abc)abc.()abc.b，g，n三點共線，故存在實數(shù)k，使k，即abck，故解得k，.共面向量定理及其應用如圖313所示，已知e，f，g，h分別是空間四邊形abcd的邊ab，bc，cd，da的中點(1)用向量法證明e，f，g，h四點共面；(2)用向量法證明bd平面efgh.圖313【精彩點撥】(1)要證e，f，g，h四點共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實數(shù)x，y，使xy即可(2)要證bd平面efgh，只需證向量與向量，共面即可【自主解答】(1)如圖所示，連結(jié)bg，eg，則().由共面向量定理知e，f，g，h四點共面(2)設a，b，c，則ca.(cb)abc，c(ab)abc.假設存在x，y，使xy.即caxyabc.a，b，c不共線解得.，是共面向量，bd不在平面efgh內(nèi)bd平面efgh.1空間一點p位于平面mab內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)對x，y，使xy.滿足這個關系式的點p都在平面mab內(nèi)；反之，平面mab內(nèi)的任一點p都滿足這個關系式，這個充要條件常用來證明四點共面在許多情況下，可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對于空間任意一點o，有xyz，且xyz1成立，則p，a，b，c四點共面”作為判定空間中四個點共面的依據(jù)2用共面向量定理證明線面平行的關鍵(1)在直線上取一向量；(2)在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量，并用這兩個不共線的向量表示直線上的向量；(3)說明直線不在面內(nèi)，三個條件缺一不可再練一題4對于空間某一點o，空間四個點a，b，c，d(無三點共線)分別對應著向量a，b，c，d，且存在非零實數(shù)，使abcd0(0)求證：a，b，c，d四點共面【證明】因為存在非零實數(shù)，使abcd0(0)成立，則()，代入得abc()d0，即(ad)(bd)(cd)0，即0，與，共面，即a，b，c，d四點共面探究共研型共線、共面向量的特征探究1如何理解共線向量及共線向量定理？【提示】(1)用共線向量定理證明兩直線平行是常用方法，但是要注意，向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括共線的情形，如果應用共線向量定理判斷a，b所在的直線平行，還需說明a(或b)上有一點不在b(或a)上(2)用共線向量定理證明三點共線也是常用方法，在利用該定理證明(或判斷)三點a，b，c共線時，只需證明存在實數(shù)，使或即可(3)對于空間任意一點o，若有(1)成立，則a，b，c三點共線探究2如何理解共面向量定理？【提示】(1)共面向量定理給出了平面向量的表示式，說明兩個不共線的向量能確定一個平面，它是判定三個向量是否共面的依據(jù)(2)共面向量定理的推論是判定空間四點共面的依據(jù)探究3若兩向量共線或共面，則這兩向量所在的直線有何位置關系？【提示】兩向量共線，這兩向量所在的直線重合或平行，兩向量共面，這兩向量所在的直線共面或異面如圖314所示，平行六面體abcda1b1c1d1中，e，f分別在b1b和d1d上，且bebb1，dfdd1.證明：與，共面圖314【精彩點撥】由共面向量定理，只要用，線性表示出即可【自主解答】，與，共面再練一題5如圖315，正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為bb1和a1d1的中點證明：向量，是共面向量圖315【證明】法一：().由向量共面的充要條件知，是共面向量法二：連結(jié)a1d，bd，取a1d中點g，連結(jié)fg，bg，則有fg綊dd1，be綊dd1，fg綊be，四邊形befg為平行四邊形，efbg.bg平面a1bd，ef平面a1bd，ef共面a1bd.同理，b1ca1d，b1c平面a1bd，都與平面a1bd平行，是共面向量構(gòu)建體系1已知空間四邊形abcd，連結(jié)ac，bd，則_.【解析】0.【答案】02已知正方體abcdabcd中，設a，b，c，點e是ac的中點，點f是ae的三等分點，且afef，則_(用a，b，c表示)【解析】由條件afef知，ef2af，所以abc.【答案】abc3ab(是實數(shù))是a與b共線的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】abab，但當b0，a0時，則ab，ab.【答案】充分不必要4設e1，e2是空間中兩個不共線的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，且a，b，d三點共線，則k的值是_. 【導學號：09390070】【解析】e13e2，2e1e2，(2e1e2)(e13e2)e14e2.a，b，d三點共線，2e1ke2(e14e2)e14e2.e1，e2是空間兩個不共線的向量，k8.【答案】85已知abcd，從平面ac外一點o，引向量k，k，k，k.圖316求證：(1)四點e，f，g，h共面；(2)平面ac平面eg.【證明】(1)四邊形abcd是平行四邊形，.kkk()kk()k()，e，f，g，h共面(2)k()k，又k，efab，egac，所以平面ac平面eg.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、填空題1下列命題中，假命題是_(填序號)若與共線，則a，b，c，d不一定在同一直線上；只有零向量的模等于0；共線的單位向量都相等【解析】正確共線的單位向量方向不一定相同，錯誤【答案】2下列結(jié)論中，正確的是_(填序號)若a，b，c共面，則存在實數(shù)x，y，使axbyc；若a，b，c不共面，則不存在實數(shù)x，y，使axbyc；若a，b，c共面，b，c不共線，則存在實數(shù)x，y，使axbyc.【解析】要注意共面向量定理給出的是一個充要條件所以第個命題正確但定理的應用又有一個前提；b，c是不共線向量，否則即使三個向量a，b，c共面，也不一定具有線性關系，故不正確，正確【答案】3已知a，b，c三點不共線，o為平面abc外一點，若由向量確定的點p與a，b，c共面，那么_.【解析】p與a，b，c共面，()()，即(1)，11.因此1，解得.【答案】4如圖317，已知空間四邊形abcd中，a2c，5a6b8c，對角線ac，bd的中點分別為e，f，則_(用向量a，b，c表示)圖317【解析】設g為bc的中點，連結(jié)eg，fg，則(a2c)(5a6b8c)3a3b5c.【答案】3a3b5c5如圖318，平行六面體abcda1b1c1d1中，e，f分別在b1b和d1d上，且bebb1，dfdd1，若xyz，則xyz_.圖318【解析】()，x1，y1，z，xyz.【答案】6如圖319，在三棱錐abcd中，若bcd是正三角形，e為其重心，則化簡的結(jié)果為_. 【導學號：09390071】圖319【解析】e為bcd的重心，dedf，.0.【答案】07i，j，k是三個不共面的向量，i2j2k，2ij3k，i3j5k，且a，b，c，d四點共面，則的值為_【解析】若a，b，c，d四點共面，則向量，共面，故存在不全為零的實數(shù)a，b，c，使得abc0，即a(i2j2k)b(2ij3k)c(i3j5k)0，(a2bc)i(2ab3c)j(2a3b5c)k0.i，j，k不共面，【答案】18有四個命題：若pxayb，則p與a，b共面；若p與a，b共面，則pxayb；若xy，則p，m，a，b共面；若p，m，a，b共面，則xy.其中真命題是_(填序號)【解析】由共面向量定理知，正確；若p與a，b共面，當a與b共線且p與a和b不共線時，就不存在實數(shù)組(x，y)使pxayb成立，故錯誤；同理正確，錯誤【答案】二、解答題9如圖3110所示，abcda1b1c1d1中，abcd是平行四邊形若，2，若b，c，a，試用a，b，c表示.圖3110【解】如圖，連結(jié)af，則.由已知abcd是平行四邊形，故bc，ac. 由已知，2，c(ca)(a2c)，又(bc)，(bc)(a2c)(abc)10如圖3111所示，已知四邊形abcd是空間四邊形，e，h分別是邊ab，ad的中點，f，g分別是邊bc，cd上的點，且，.求證：四邊形efgh是梯形圖3111【證明】e，h分別是ab，ad的中點，則()()，且|.又f不在直線eh上，四邊形efgh是梯形能力提升1平面內(nèi)有點a，b，c，d