蘇教版選修21 2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì).docx

2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)使學(xué)生能運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等幾何性質(zhì)(2)掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及證明(3)能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問(wèn)題2過(guò)程與方法(1)通過(guò)與橢圓的性質(zhì)的類(lèi)比，獲得雙曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、想象能力、數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類(lèi)比的學(xué)習(xí)方法(2)通過(guò)對(duì)雙曲線的性質(zhì)的求解和應(yīng)用，加深雙曲線方程的求解及性質(zhì)的理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3情感、態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待知識(shí)的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的、變化的觀點(diǎn)分析理解事物教學(xué)重點(diǎn)：從知識(shí)上來(lái)講，要掌握如何利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征研究雙曲線的幾何性質(zhì)；從學(xué)生的體驗(yàn)來(lái)說(shuō)，需要關(guān)注學(xué)生在探究雙曲線性質(zhì)的過(guò)程中思維的過(guò)程展現(xiàn)，如類(lèi)比思維、數(shù)形結(jié)合等教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線漸近線方程和離心率的求解及應(yīng)用通過(guò)動(dòng)畫(huà)展示，讓學(xué)生形象地體會(huì)雙曲線漸近線的真正內(nèi)涵，漸近線方程與雙曲線方程的內(nèi)在聯(lián)系、漸近線斜率與離心率的關(guān)系雙曲線的幾何性質(zhì)問(wèn)題導(dǎo)思已知雙曲線方程1(a0，b0)1雙曲線的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心各是什么？【答案】坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)2雙曲線與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)嗎？【答案】與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(a,0)，(a,0)，與y軸沒(méi)有交點(diǎn)3雙曲線方程中x，y的取值范圍是什么？【答案】|x|a，yr.1雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)范圍xa或xa，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸，y軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)o頂點(diǎn)a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)離心率e漸近線yxyx2.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，等軸雙曲線的離心率e.典例精析例1. 求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程解：由題意知a2=4， b2=3，所以c2= a2+b2=7解得a=2，b=， c= .因此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=4，虛軸長(zhǎng)2b=2 ，焦點(diǎn)為f1(-，0) 和f2(，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（2，0）離心率漸近線方程例2已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，焦距為16，離心率為，求雙曲線方程.解：根據(jù)題意得，2c=16，解得a=6， c=6，則因?yàn)殡p曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，所以所求雙曲線方程為變式訓(xùn)練1、求雙曲線4x2y24的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程解原方程可化為x21，所以，a1，b2，c，因此，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)分別為2a2,2b4，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1(，0)，f2(，0)，雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)是a1(1,0)，a2(1,0)，離心率e，漸近線方程為y2x.2、求以橢圓1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線方程，并求此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程解橢圓1，c1.對(duì)雙曲線，b23，雙曲線方程：1.實(shí)軸長(zhǎng)2a2，虛軸長(zhǎng)2b6，離心率e，漸近線yx.3、求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(5,3)；(2)焦距是10，實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍；(3)過(guò)點(diǎn)(2，2)且與y21有公共漸近線解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)e，ca，b2c2a2a2.把點(diǎn)(5,3)代入雙曲線方程，得a216.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意得2c10,2a4b，即c5，a2b.利用c2a2b2，解得a220，b25.由于雙曲線的焦點(diǎn)所在的軸不確定，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(3)法一當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由于，故可設(shè)方程為1，代入點(diǎn)(2，2)，得b22(舍去)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可知，故可設(shè)方程為1，代入點(diǎn)(2，2)，得a22.所求雙曲線方程為1.法二因?yàn)樗箅p曲線與已知雙曲線y21有公共的漸近線，故可設(shè)雙曲線方程為(0)，代入點(diǎn)(2，2)，得2.所求雙曲線的方程為y22，即1.課堂檢測(cè)一、填空題1雙曲線1的兩條漸近線的方程為_(kāi)【解析】由雙曲線方程可知a4，b3，所以兩條漸近線方程為yx.【答案】yx2若雙曲線x21的離心率為2，則m的值為_(kāi)【解析】顯然m0，e2，m3.【答案】33雙曲線y21的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于_【解析】雙曲線的漸近線為直線yx，即x2y0，頂點(diǎn)為(2,0)，所求距離為d.【答案】4設(shè)雙曲線1(a0)的漸近線方程為3x2y0，則a的值為_(kāi)【解析】雙曲線1(a0)的漸近線方程為0，整理得3xay0，故a2.【答案】25雙曲線tx2y210的一條漸近線與直線2xy10垂直，則雙曲線的離心率為_(kāi)【解析】漸近線方程為yx，2xy10的斜率為k2，t，雙曲線方程為y21，e.【答案】6 ykx2與雙曲線1右支交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_【解析】消去y得：(14k2)x216kx250，k0，b0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)e是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)f且垂直于x軸的直線與雙曲線交于a，b兩點(diǎn)，若abe是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_圖231【解析】abe是等腰三角形，aebe，只需aeb為銳角，aef45，affeac，e2e20，1e1，1e0，b0)，離心率e，頂點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線c的方程；(2)p是雙曲線c上一點(diǎn)，a、b兩點(diǎn)在雙曲線c的兩條漸近線上，且分別位于第一、第二象限若，2，求aob面積的取值范圍解(1)由題意，知雙曲線c的頂點(diǎn)(0，a)到漸近線axby0的距離為，即.由解得雙曲線c的方程為x21.(2)由(1)知雙曲線c的兩條漸近線方程為y2x.設(shè)a(m,2m)，b(n,2n)，m0，n0.由，得p點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)將p點(diǎn)坐標(biāo)代入x21，化簡(jiǎn)，得mn.設(shè)aob2，tan()2，tan ，sin ，sin 2.又oam，obn，saoboaobsin 22mn()1.記s()()1，2由基本不等式，得s()()1212.當(dāng)且僅當(dāng)，即1時(shí)，取等號(hào)又s()，s(2)，當(dāng)1時(shí)，aob的面積取得最小值2；當(dāng)時(shí)，aob的面積取得最大值.aob面積的取值范圍是2，.課堂小結(jié)1由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的幾何性質(zhì)，首先應(yīng)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，再求其幾何性質(zhì)，求解時(shí)應(yīng)注意與橢圓的幾何性質(zhì)區(qū)分開(kāi)，不可混淆2漸近線是雙曲線特有的幾何性質(zhì)，由雙曲線方程要熟