人教B版選修21 第二章 2.4.2　拋物線的幾何性質(zhì) 學(xué)案.docVIP

2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的幾何性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題知識點(diǎn)一拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形范圍x0，yrx0，yry0，xry0，xr對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)ffff準(zhǔn)線方程xxyy頂點(diǎn)坐標(biāo)o(0,0)離心率e1通徑長2p知識點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點(diǎn)個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個數(shù)，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的個數(shù)當(dāng)k0時，若0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn)；若0，直線與拋物線有一個公共點(diǎn)；若0)拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，即3, p6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x或y212x，其準(zhǔn)線方程分別為x3或x3.引申探究將本例改為“若拋物線的焦點(diǎn)f在x軸上，直線l過f且垂直于x軸，l與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若oab的面積等于4”，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解由題意，設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，焦點(diǎn)f，直線l：x，所以a，b兩點(diǎn)坐標(biāo)為，所以|ab|2|m|.因?yàn)閛ab的面積為4，所以2|m|4，所以m2.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.反思與感悟用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸，且與圓x2y24相交于a，b兩點(diǎn)，|ab|2，求拋物線方程解由已知，拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上，也可能在負(fù)半軸上故可設(shè)拋物線方程為y2ax(a0)設(shè)拋物線與圓x2y24的交點(diǎn)為a(x1，y1)，b(x2，y2)拋物線y2ax(a0)與圓x2y24都關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)a與b關(guān)于x軸對稱，|y1|y2|且|y1|y2|2，|y1|y2|，代入圓x2y24，得x234，x1，a(1，)或a(1，)，代入拋物線方程，得()2a，a3.所求拋物線方程是y23x或y23x.類型二拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦問題例2(1)過拋物線y28x的焦點(diǎn)，傾斜角為45的直線被拋物線截得的弦長為_(2) 直線l過拋物線y24x的焦點(diǎn)，與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，若|ab|8，則直線l的方程為_(3)過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|ab|7，則ab的中點(diǎn)m到拋物線準(zhǔn)線的距離為_答案(1)16(2)xy10或xy10(3)解析(1)由拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0)，得直線的方程為yx2，代入y28x得(x2)28x，即x212x40.所以x1x212，弦長為x1x2p12416.(2)拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，若l與x軸垂直，則|ab|4，不符合題意，可設(shè)所求直線l的方程為yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2.又ab過焦點(diǎn)，由拋物線的定義可知|ab|x1x2p28，6，解得k1.所求直線l的方程為xy10或xy10.(3)拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.由拋物線定義知|ab|af|bf|x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦ab的中點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為，又準(zhǔn)線方程為x1，因此點(diǎn)m到拋物線準(zhǔn)線的距離為1.反思與感悟(1)拋物線上任一點(diǎn)p(x0，y0)與焦點(diǎn)f的連線得到的線段叫做拋物線的焦半徑，對于四種形式的拋物線來說其焦半徑的長分別為：拋物線y22px(p0)，|pf|x0|x0；拋物線y22px(p0)，|pf|x0|x0；拋物線x22py(p0)，|pf|y0；拋物線x22py(p0)，|pf|y0|y0.(2)已知ab是過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的弦，f為拋物線的焦點(diǎn)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y1y2p2，x1x2；|ab|x1x2p(為直線ab的傾斜角)；sabo(為直線ab的傾斜角)；以ab為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切(3)當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸垂直時，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長等于2p.跟蹤訓(xùn)練2已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點(diǎn)f，且與拋物線相交于a，b兩點(diǎn)(1)若直線l的傾斜角為60，求|ab|的值；(2)若|ab|9，求線段ab的中點(diǎn)m到準(zhǔn)線的距離解(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60，所以其斜率ktan60.又f，所以直線l的方程為y.聯(lián)立消去y得x25x0.若設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x25，而|ab|af|bf|x1x2x1x2p，所以|ab|538.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由拋物線定義知|ab|af|bf|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26.于是線段ab的中點(diǎn)m的橫坐標(biāo)是3，又準(zhǔn)線方程是x，所以m到準(zhǔn)線的距離為3.類型三拋物線綜合問題例3拋物線y22px(p0)上有兩動點(diǎn)a，b及一個定點(diǎn)m，f為拋物線的焦點(diǎn)，若|af|，|mf|，|bf|成等差數(shù)列(1)求證：線段ab的垂直平分線過定點(diǎn)q；(2)若|mf|4，|oq|6(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，求拋物線的方程(1)證明設(shè)點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)，則|af|x1，|bf|x2，|mf|x0，x0為已知值由題意得x0，線段ab的中點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(x0，t)，其中t0(否則|af|mf|bf|p0)而kab，故線段ab的垂直平分線的方程為yt(xx0)，即t(xx0p)yp0，可知線段ab的垂直平分線過定點(diǎn)q(x0p,0)(2)解由|mf|4，|oq|6，得x04，x0p6，聯(lián)立解得p4，x02.拋物線方程為y28x.反思與感悟在拋物線的綜合性問題中，存在著許多定值問題，我們不需要記憶關(guān)于這些定值的結(jié)論，但必須牢牢掌握研究這些定值問題的基本方法，如設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程、根與系數(shù)的關(guān)系的利用、焦半徑的轉(zhuǎn)化等跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的a，b兩點(diǎn)，4，求證：直線l必過一定點(diǎn)證明設(shè)l：xtyb，代入拋物線y24x，消去x得y24ty4b0，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y1y24t，y1y24b.又x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直線過定點(diǎn)(2,0).1已知點(diǎn)a(2,3)在拋物線c：y22px的準(zhǔn)線上，記c的焦點(diǎn)為f，則直線af的斜率為()ab1cd答案c解析因?yàn)閽佄锞€c：y22px的準(zhǔn)線為x，且點(diǎn)a(2,3)在準(zhǔn)線上，故2，解得p4，所以y28x，所以焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(2,0)，這時直線af的斜率kaf.2以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與x軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為()ay28xby28xcy28x或y28xdx28y或x28y答案c解析設(shè)拋物線方程為y22px或y22px(p0)，由題意知p4，拋物線方程為y28x或y28x.3已知點(diǎn)p是拋物線y22x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)p到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)p到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()a.b3c.d.答案a解析拋物線y22x的焦點(diǎn)為f，準(zhǔn)線是l，由拋物線的定義知點(diǎn)p到焦點(diǎn)f的距離等于它到準(zhǔn)線l的距離，因此要求點(diǎn)p到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)p到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值，可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)p到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)p到焦點(diǎn)f的距離之和的最小值，結(jié)合圖形(圖略)不難得出相應(yīng)的最小值等于焦點(diǎn)f到點(diǎn)(0,2)的距離，因此所求距離之和的最小值為.4過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于a，b兩點(diǎn)，若線段ab的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|ab|_.答案8解析易知拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，則線段ab的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3(1)4.由拋物線的定義易得|ab|8.5已知過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)f作傾斜角為45的直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，若線段ab的長為8，則p_.答案2解析設(shè)點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，易知過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)f，且傾斜角為45的直線方程為yx，把xy代入y22px，得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.|ab|8，|y1y2|4，(y1y2)24y1y2(4)2，即(2p)24(p2)32.又p0，p2.1拋物線的中點(diǎn)弦問題用點(diǎn)差法較簡便2軸對稱問題，一是抓住對稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系3在直線和拋物線的綜合問題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化一、選擇題1若拋物線y2x上一點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為()a.b.c.d.答案b解析由題意知，點(diǎn)p到焦點(diǎn)f的距離等于它到頂點(diǎn)o的距離，因此點(diǎn)p在線段of的垂直平分線上，而f，所以p點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得y，故點(diǎn)p的坐標(biāo)為.2已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線與曲線x2y24x50相切，則p的值為()a2b1c.d.答案a解析曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y29，其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x，由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得23，解得p2.3拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80的距離的最小值是()a.b.c.d3答案a解析設(shè)拋物線yx2上一點(diǎn)為(m，m2)，該點(diǎn)到直線4x3y80的距離為，當(dāng)m時，取得最小值為.4拋物線c：y22px(p0)的焦點(diǎn)為f，m是拋物線c上的點(diǎn)，若ofm的外接圓與拋物線c的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36，則p的值為()a2b4c6d8答案d解析ofm的外接圓與拋物線c的準(zhǔn)線相切，ofm的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑圓的面積為36，圓的半徑為6.又圓心在of的垂直平分線上，|of|，6，p8.5已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為f，其上的三個點(diǎn)a，b，c的橫坐標(biāo)之比為345，則以|fa|，|fb|，|fc|為邊長的三角形()a不存在b必是銳角三角形c必是鈍角三角形d必是直角三角形答案b解析設(shè)a，b，c三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k0)，由拋物線定義得|fa|3k，|fb|4k，|fc|5k，易知三者能構(gòu)成三角形，|fc|所對角為最大角，由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù)，故該三角形必是銳角三角形6等腰直角三角形aob內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，o為拋物線的頂點(diǎn)，oaob，則aob的面積是()a8p2b4p2c2p2dp2答案b解析因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為x軸，內(nèi)接aob為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線ab與拋物線的對稱軸垂直，從而直線oa與x軸的夾角為45.由方程組得或所以易得a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，2p)所以|ab|4p，所以saob4p2p4p2.7已知點(diǎn)(x，y)在拋物線y24x上，則zx2y23的最小值是()a2b3c4d0答案b解析因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在拋物線y24x上，所以x0，因?yàn)閦x2y23x22x3(x1)22，所以當(dāng)x0時，z最小，其值為3.8過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)f的直線與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，若a，b在準(zhǔn)線上的射影分別為a1，b1，則a1fb1等于()a45b90c60d120答案b解析如圖，由拋物線定義知|aa1|af|，|bb1|bf|，所以aa1fafa1，又aa1fa1fo，afa1a1fo，同理bfb1b1fo，于是afa1bfb1a1fob1foa1fb1.故a1fb190.二、填空題9已知拋物線y28x，過動點(diǎn)m(a,0)，且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)a，b，若|ab|8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(2，1解析將l的方程yxa代入y28x，得x22(a4)xa20，則4(a4)24a20，a2.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x22(a4)，x1x2a2，|ab|8，即1.20)的焦點(diǎn)且與拋物線相交，其中一交點(diǎn)為(2p,2p)，則其焦點(diǎn)弦的長度為_答案解析由題意知直線l過點(diǎn)和(2p,2p)，所以l：y.聯(lián)立整理得8x217px2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，所以焦點(diǎn)弦的長度為x1x2p.11已知拋物線c的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線yx與拋物線c交于a，b兩點(diǎn)，若p(2,2)為ab的中點(diǎn)，則拋物線c的方程為_答案y24x解析設(shè)拋物線方程為y2kx(k0)，與yx聯(lián)立方程組，消去y，得x2kx0.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2), x1x2k.又p(2,2)為ab的中點(diǎn)，2.k4.y24x.三、解答題12過點(diǎn)q(4,1)作拋物線y28x的弦ab，若弦ab恰被q平分，求弦ab所在直線的方程解設(shè)a，b的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有y8x1，y8x2，兩式相減，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)點(diǎn)q是弦ab的中點(diǎn)，y1y22，于是4，即直線ab的斜率為4，故弦ab所在直線的方程為y14(x4)，即4xy150.13已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線截直線x2y10所得的弦長為，求此拋物線的方程解設(shè)拋物