2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十三余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例--距離問題新人教A版必修.doc

教學(xué)資料范本2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十三余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例-距離問題新人教A版必修編 輯：_時(shí) 間：_課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià) 十三余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例距離問題(25分鐘50分)一、選擇題(每小題4分.共16分)1.(20xx諸暨高一檢測(cè))如圖所示.設(shè)A.B兩點(diǎn)在河的兩岸.一測(cè)量者在A的同側(cè).在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C.測(cè)得AC的距離為50 m.ACB=45.CAB=105.則A.B兩點(diǎn)間的距離為()A.50 mB.50 mC.25 mD. m【解析】選A.由題意知.在ABC中.AC=50 m.ACB=45.CAB=105.所以CBA=180-45-105=30.所以由正弦定理可得.AB=50(m).2.(20xx蘇州高一檢測(cè)) 某人從A處出發(fā).沿北偏東60行走3 km到B處.再沿正東方向行走2 km到C處.則A.C兩地距離為()A.4 kmB.6 kmC.7 kmD.9 km【解析】選C.如圖所示.由題意可知AB=3.BC=2.ABC=150.由余弦定理得AC2=27+4-232cos 150=49.所以AC=7.所以A.C兩地距離為7 km.3.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng).離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū).城市B在A的正東40千米處.B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為()A.0.5小時(shí)B.1小時(shí)C.1.5小時(shí)D.2小時(shí)【解析】選B.設(shè)t小時(shí)后.B市恰好處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi).則由余弦定理得：(20t)2+402-220t40cos 45=302.化簡(jiǎn)得：4t2-8t+7=0.所以t1+t2=2.t1t2=.從而|t1-t2|=1.4.如圖.某炮兵陣地位于A點(diǎn).兩觀察所分別位于C.D兩點(diǎn).已知ACD為正三角形.且DC= km.當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B點(diǎn)時(shí).測(cè)得CDB=45.BCD=75.則炮兵陣地與目標(biāo)的距離是()A.1.1 kmB.2.2 kmC.2.9 kmD.3.5 km【解析】選C.CBD=180-BCD-CDB=60.在BCD中由正弦定理得BD=.在ABD中.ADB=45+60=105.由余弦定理.得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos 105=3+2=5+2.所以AB=2.9(km).答：炮兵陣地與目標(biāo)的距離約為2.9 km.二、填空題(每小題4分.共8分)5.九章算術(shù)中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題.20xx年第1號(hào)臺(tái)風(fēng)“帕布”(熱帶風(fēng)暴級(jí))登陸時(shí)再現(xiàn)了這一現(xiàn)象.不少大樹被大風(fēng)折斷.某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后(如圖所示.沒有完全斷開).樹干與地面成75角.折斷部分與地面成45角.樹干底部與樹尖著地處相距10米.則大樹原來的高度是_米(結(jié)果保留根號(hào)).【解析】如圖所示.設(shè)樹干底部為O.樹尖著地處為B.折斷點(diǎn)為A.則AOB=75.ABO=45.所以O(shè)AB=60.由正弦定理知.=.所以O(shè)A=米.AB=米.所以O(shè)A+AB=米.答案：(5+5)6.(20xx寧德高二檢測(cè))一艘船以每小時(shí)20 km的速度向東行駛.船在A處看到一燈塔B在北偏東60.行駛2 h后.船到達(dá)C處.看到這個(gè)燈塔在北偏東15.這時(shí)船與燈塔的距離為_km.【解析】由題意知.ABC中.AC=202=40.BAC=30.B=180-30-(90+15)=45.由正弦定理得.BC=20(km).所以船與燈塔的距離為20 km.答案：20三、解答題(共26分)7.(12分)海上某貨輪在A處看燈塔B.在貨輪北偏東75.距離為12 n mile；在A處看燈塔C.在貨輪的北偏西30.距離為8 n mile；貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B.在貨輪南偏東60.求：(1)A處與D處的距離.(2)燈塔C與D處之間的距離.【解析】由題意.畫出示意圖.如圖所示.(1)在ABD中.由已知ADB=60.DAB=75.則B=45.由正弦定理.得AD=24(n mile).答：A處與D處之間距離為24 n mile.(2)在ADC中.由余弦定理.得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30=242+(8)2-2248=(8)2.所以CD=8(n mile).答：燈塔C與D處之間的距離為8 n mile.【加練固】 如圖所示.若小河兩岸平行.為了知道河對(duì)岸兩棵樹C.D(CD與河岸平行)之間的距離.選取岸邊兩點(diǎn)A.B(AB與河岸平行).測(cè)得數(shù)據(jù)：AB=6 m.ABD=60.DBC=90.DAB=75.試求C.D間的距離.【解析】ABC=ABD+DBC=60+90=150.所以C=180-150=30.ADB=180-75-60=45.ABD中.由正弦定理得AD=3.由余弦定理得BD=3+3.在RtBDC中.CD=6+6.即CD的長為(6+6) m.8.(14分)(20xx眉山高一檢測(cè))如圖.某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行.在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東60.向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn).測(cè)得油井P在南偏東30.海輪改為北偏東60的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn).求P.C間的距離.【解析】在ABP中.AB=30=20.APB=30.BAP=120.由正弦定理得BP=20.在BPC中.BC=30=40.由已知PBC=90.所以PC=20(海里).答：P.C間的距離為20海里.(15分鐘30分)1.(4分)如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖.支桿BC=10 m.吊桿AC=15 m.吊索AB=5 m.起吊的貨物與岸的距離AD為()A.30 mB. mC.15 mD.45 m【解析】選B.在ABC中.AC=15 m.AB=5 m.BC=10 m.由余弦定理得cos ACB=-.所以sin ACB=.又ACB+ACD=180.所以sin ACD=sin ACB=.在RtACD中.AD=ACsin ACD=15= (m).2.(4分)甲船在島B的正南A處.AB=10 km.甲船以4 km/h的速度向正北航行.同時(shí)乙船自島B出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60的方向駛?cè)?當(dāng)甲.乙兩船相距最近時(shí).它們的航行時(shí)間是()A. minB. hC.21.5 minD.2.15 h【解析】選A.由題意可作出如圖所示的示意圖.設(shè)兩船航行t小時(shí)后.甲船位于C點(diǎn).乙船位于D點(diǎn).如圖.則BC=10-4t.BD=6t.CBD=120.根據(jù)余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2-20t+100.所以當(dāng)t=時(shí).CD2取得最小值.即兩船間的距離最近.所以此時(shí)它們的航行時(shí)間是 min.3.(4分)如圖.為了測(cè)量A.C兩點(diǎn)間的距離.選取同一平面上B.D兩點(diǎn).測(cè)出四邊形ABCD各邊的長度：AB=5.BC=8.CD=3.DA=5.A.B.C.D四點(diǎn)共圓.則AC的長為_.【解析】因?yàn)锳.B.C.D四點(diǎn)共圓.所以D+B=.在ABC和ADC中由余弦定理可得82+52-285cos(-D) =32+52-235cos D.整理得cos D=-.代入得AC2=32+52-235=49.故AC=7.答案：74.(4分)如圖.要計(jì)算西湖岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離.由于地形的限制.需要在岸上選取A和D兩點(diǎn).現(xiàn)測(cè)得ADCD.AD=10 km.AB=14 km.BDA=60.BCD=135.則兩景點(diǎn)B與C的距離為_(精確到0.1 km).參考數(shù)據(jù)：1.414.1.732.2.236.【解析】在ABD中.設(shè)BD=x km.則BA2=BD2+AD2-2BDADcos BDA.即142=x2+102-210xcos 60.整理得.x2-10x-96=0.解得.x1=16.x2=-6(舍去).故BD=16 km.又因?yàn)锽DA=60.ADCD.所以CDB=30.由正弦定理.得：=.所以BC=sin 30=811.3(km).所以兩景點(diǎn)B與C的距離約為11.3 km.答案：11.3 km5.(14分)(20xx懷化高二檢測(cè)) 輪船A從某港口C將一些物品送到正航行的輪船B上.在輪船A出發(fā)時(shí).輪船B位于港口C北偏西 30且與C相距20海里的P處.并正以30海里/小時(shí)的航速沿正東方向勻速行駛.假設(shè)輪船A沿直線方向以v海里/小時(shí)的航速勻速行駛.經(jīng)過t小時(shí)與輪船B相遇.若使相遇時(shí)輪船A航距最短.則輪船A的航行速度應(yīng)為多少？【解析】設(shè)相遇時(shí)輪船A航行的距離為S海里.則 S=.所以當(dāng)t=時(shí).Smin=10.v=30.答：輪船A以30海里/小時(shí)的速度航行.相遇時(shí)輪船A航距最短.1.如圖.一條河的兩岸平行.河的寬度d=0.6 km.一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.已知AB=1 km.水的流速為2 km/h.若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min.則客船在靜水中的速度v為()A.8 km/hB.6 km/hC.2 km/hD.10 km/h【解析】選B.設(shè)AB與河岸線所成的角為.客船在靜水中的速度為v km/h.由題意知.sin =.從而cos =.所以由余弦定理得=+12-221.解得v=6(km/h).2.如圖所示.港口B在港口O正東方向120海里處.小島C在港口O北偏東60方向.且在港口B北偏西30方向上.一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā).沿北偏東30的OA方向以20海里/時(shí)的速度行駛.一艘快艇從港口B出發(fā).以60海里/時(shí)的速度駛向小島C.在C島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后給考察船送去.現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā).補(bǔ)給物資的裝船時(shí)間為1小時(shí).則快艇駛離港口B后.最少要經(jīng)過多少小時(shí)才能和考察船相遇？【解析】設(shè)快艇駛離港口B后.經(jīng)過x小時(shí).在OA上的點(diǎn)D處與考察船相遇.如圖所示.連接CD.則快艇沿線段BC.CD航行.在OBC中由題意易得BOC=30.CBO=60.所以O(shè)CB=90.因?yàn)锽O=120.所以BC=60.OC=60.故快艇從港口B到小島C需要1小時(shí).所以x1.在OCD中.由題意易得COD=30.OD=20x.CD=60(x-2).由余弦定理.得CD2=OD2+OC2-2ODOCcosCOD.所以602(x-2)2=(20x)2+(60)2-220x60cos 30.解得x=3或x=.因?yàn)閤1.所以x=3.所以快艇駛離港口B后.至少要經(jīng)過3小時(shí)才能和考察船相遇.【加練固】 如圖所示.海中小島A周圍38n mile內(nèi)有暗礁.一船正向南航行.在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30.航行30n mile后.在C處測(cè)得小島在船的南偏東45.如果此船不改變航向.繼續(xù)向南航行.有無觸礁的危險(xiǎn)？【解題指南】船繼續(xù)向南航行.有無觸礁的危險(xiǎn).取決于A到直線BC的距離與38n mile的大小.于是我們