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第二章 塞瓦定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】塞瓦定理 設(shè)，分別是的三邊，或其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若，三線(xiàn)平行或共點(diǎn)，則證明 如圖2-1（）、（），若，交于一點(diǎn)，則過(guò)作的平行線(xiàn)，分別交，的延長(zhǎng)線(xiàn)于，得又由，有從而若，三線(xiàn)平行，可類(lèi)似證明（略）注 （1）對(duì)于圖2-1（）、（）也有如下面積證法：由：，即證（2）點(diǎn)常稱(chēng)為塞瓦點(diǎn)（3）共點(diǎn)情形的塞瓦定理與梅涅勞斯定理可以互相推證首先，由梅涅勞斯定理推證共點(diǎn)情形的塞瓦定理如圖2-1（）、（），分別對(duì)及截線(xiàn)，對(duì)及截線(xiàn)應(yīng)用梅涅勞斯定理有 ，上述兩式相乘，得其次，由共點(diǎn)情形的塞瓦定理推證梅涅勞斯定理如圖2-2，設(shè)，分別為的三邊，所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，且，三點(diǎn)共線(xiàn)令直線(xiàn)與交于點(diǎn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)分別視點(diǎn)，為塞瓦點(diǎn)，應(yīng)用塞瓦定理，即對(duì)及點(diǎn)（直線(xiàn)，的交點(diǎn)），有對(duì)及點(diǎn)（直線(xiàn)，的交點(diǎn)），有對(duì)及點(diǎn)（直線(xiàn)，的交點(diǎn)），有對(duì)及點(diǎn)（直線(xiàn)，的交點(diǎn)），有對(duì)及點(diǎn)（直線(xiàn)，的交點(diǎn)），有對(duì)及點(diǎn)（直線(xiàn)，的交點(diǎn)），有上述六式相乘，有故塞瓦定理的逆定理 設(shè)，分別是的三邊，或其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若，則，三直線(xiàn)共點(diǎn)或三直線(xiàn)互相平行證明若與交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為，則由塞瓦定理，有，又已知有，由此得，即，亦即，故與重合，從而，三線(xiàn)共點(diǎn)若，則代入已知條件，有，由此知，故上述兩定理可合寫(xiě)為：設(shè)，分別是的，所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，則三直線(xiàn)，平行或共點(diǎn)的充要條件是第一角元形式的塞瓦定理 設(shè)，分別是的三邊，所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，則三直線(xiàn)，平行或共點(diǎn)的充要條件是證明 由，三式相乘，再運(yùn)用塞瓦定理及其逆定理，知結(jié)論成立第二角元形的塞瓦定理 設(shè)，分別的三邊，所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，是不在的三邊所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，則，平行或共點(diǎn)的充要條件是證明 注意到塞瓦定理及其逆定理，有由此即證得結(jié)論注 在上述各定理中，若采用有向線(xiàn)段或有向角，則、式的右端仍為1特別要注意的是三邊所在直線(xiàn)上的點(diǎn)或者兩點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，或者沒(méi)有點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上、式中的角也可按式的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段記憶推論 設(shè)，分別是的外接圓三段弧，上的點(diǎn)，則，共點(diǎn)的充要條件是證明 如圖2-3，設(shè)的外接圓半徑為，交于，交于，交于由，六點(diǎn)共圓及正弦定理，有同理，三式相乘，并應(yīng)用第一角元形式的塞瓦定理即證為了使讀者熟練地應(yīng)用塞瓦定理，針對(duì)圖2-4中的點(diǎn)、，將其作為塞瓦點(diǎn)，我們寫(xiě)出如下式子：對(duì)及點(diǎn)有 ，對(duì)及點(diǎn)有 ，對(duì)及點(diǎn)有 ，對(duì)及點(diǎn)有 ，對(duì)及點(diǎn)有 ，對(duì)及點(diǎn)有 ，對(duì)及點(diǎn)有 ，對(duì)及點(diǎn)有 【典型例題與基本方法】1恰當(dāng)?shù)剡x擇三角形及所在平面上的一點(diǎn)，是應(yīng)用塞瓦定理的關(guān)鍵例1 四邊形兩組對(duì)邊延長(zhǎng)分別相交，且交點(diǎn)的連線(xiàn)與四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)平行證明：另一條對(duì)角線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)平分對(duì)邊交點(diǎn)連線(xiàn)的線(xiàn)段（1978年全國(guó)高中競(jìng)賽題）證明 如圖2-5，四邊形的兩組對(duì)邊延長(zhǎng)分別交于，對(duì)角線(xiàn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于對(duì)及點(diǎn)，應(yīng)用塞瓦定理，有由，有，代入上式，得，即命題獲證例2 如圖2-6，銳角中，是邊上的高，是線(xiàn)段內(nèi)任一點(diǎn)，和的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交，于，求證：（1994年加拿大奧林匹克試題）證法1 對(duì)及點(diǎn)，應(yīng)用塞瓦定理，有過(guò)作，延長(zhǎng)，分別交于，則，且，從而，而由，有，故由此知為等腰底邊上的高，故證法2 對(duì)及點(diǎn)應(yīng)用塞瓦定理，有即，由銳角性質(zhì)知類(lèi)似地，對(duì)及截線(xiàn)或?qū)敖鼐€(xiàn)應(yīng)用梅涅勞斯定理也可證得有注 將此例中的平角變?yōu)殁g角，則有如下：例3 如圖2-7，在四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分在上取一點(diǎn)，與相交于，延長(zhǎng)交于求證：（1999年全國(guó)高中聯(lián)賽題）證明 連交于，對(duì)及點(diǎn)，應(yīng)用塞瓦定理，有平分，由角平分線(xiàn)性質(zhì)，可得，故過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，則所以從而，又，有因此，即有故 注 由此例還可變出一些題目，參見(jiàn)練習(xí)題第4、5及19題例4 如圖2-8，是的中線(xiàn)，在上，分別延長(zhǎng)，交，于，過(guò)作交于，及為正三角形求證：為正三角形證明 連，對(duì)及點(diǎn)應(yīng)用塞瓦定理，有而，則由，由于是，有，從而，即知四邊形為平行四邊形，有又，則而，知，有，于是故為正三角形例5 如圖2-9，在一個(gè)中，為內(nèi)滿(mǎn)足及的一點(diǎn)求證：是的三等分線(xiàn)（1994年香港代表隊(duì)選拔賽題）證明 用表示的度量，令，則，（其中注意）， 對(duì)及點(diǎn)，應(yīng)用第一角元形式的塞瓦定理，有亦即 于是 ，即 而，則因 ，則 ，即從而故 ，即是的三等分線(xiàn)利用第一角元形式的塞瓦定理可簡(jiǎn)捷處理2009年全國(guó)高中聯(lián)賽加試第一題的第1問(wèn)：例6 設(shè)、分別為銳角（）的外接圓上弧、的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作交圓于點(diǎn)，為的內(nèi)心，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)求證：證明 事實(shí)上，易知、及、分別三點(diǎn)共線(xiàn)，對(duì)及點(diǎn)應(yīng)用第一角元形式的塞瓦定理，有由知，有于是式即為故2注意塞瓦定理逆定理的應(yīng)用以及與梅涅勞斯定理的配合應(yīng)用例7 如圖2-10，在中，為上給定的一點(diǎn)（不是線(xiàn)段的中點(diǎn)）設(shè)為直線(xiàn)上與，都不相同的任意一點(diǎn)，并且直線(xiàn)，交于，直線(xiàn)，交于，直線(xiàn)，交于試證明交點(diǎn)與在直線(xiàn)上的位置無(wú)關(guān)（1990年蘇州市高中競(jìng)賽題）證明 設(shè)分線(xiàn)段為定比，分線(xiàn)段為定比下證由確定，即當(dāng)，給定后，點(diǎn)的位置由點(diǎn)唯一確定在中，由，交于一點(diǎn)，應(yīng)用塞瓦定理，有，即對(duì)及截線(xiàn)，應(yīng)用梅涅勞斯定理，得，即上述兩式相加，得從而，即，故由唯一確定因此，點(diǎn)與在直線(xiàn)上的位置無(wú)關(guān)例8 如圖2-11，設(shè)為內(nèi)任一點(diǎn)，在形內(nèi)作射線(xiàn)，使得，求證：，三線(xiàn)共點(diǎn)證法1 設(shè)交于，交于，交于，則由正弦定理有同理，,將上述三式相乘，并應(yīng)用正弦定理，有由塞瓦定理的逆定理，知，共點(diǎn)證法2 設(shè)交于，交于，交于，直線(xiàn)交于，直線(xiàn)交于，直線(xiàn)交于對(duì)及點(diǎn)，應(yīng)用塞瓦定理，有 在和中應(yīng)用正弦定理，有同理，以上三式相乘，并注意到式，有由塞瓦定理的逆定理，知，共點(diǎn)證法3 設(shè)交于，交于，交于，直線(xiàn)交于，直線(xiàn)交于，直線(xiàn)交于對(duì)及點(diǎn)，應(yīng)用角元形式的塞瓦定理，有由題設(shè)，則有，于是 ，對(duì)，應(yīng)用角元形式的塞瓦定理的逆定理，知，三線(xiàn)共點(diǎn)例9 如圖2-12，四邊形內(nèi)接于圓，其邊與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作該圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為和求證：，三點(diǎn)共線(xiàn)（1997年試題）證明 連分別交，于，設(shè)與交于要證，三點(diǎn)共線(xiàn)，只須證明，和，都三點(diǎn)共線(xiàn)，又只須證明，三線(xiàn)共點(diǎn)由塞瓦定理的逆定理知只須證明又直線(xiàn)截，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，從而只須證明設(shè)圓心為，連交于，連，則由切割線(xiàn)走理和射影定理，有，即知，四點(diǎn)共圓，有，此表明為的內(nèi)角的外角平分線(xiàn)而，則平分于是，結(jié)論獲證【解題思維策略分析】1獲得線(xiàn)段比例式的一種手段例10 如圖2-13，中，分別為和同方向延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，與相交于，且若點(diǎn)滿(mǎn)足（為常數(shù)），則證明 設(shè)交于，對(duì)及其形外一點(diǎn)，應(yīng)用塞瓦定理，有而，則不妨設(shè)，則，即有，于是，故此時(shí)，點(diǎn)到的距離不小于到的距離，則過(guò)作必交延長(zhǎng)線(xiàn)于一點(diǎn)，設(shè)為又作的外接圓交于另一點(diǎn)，則四邊形為等腰梯形當(dāng)時(shí)，由，知必在線(xiàn)段上，于是，（同弧上的圓外角小于同弧上的圓周角）又由，知故結(jié)論獲證2轉(zhuǎn)化線(xiàn)段比例式的一座橋梁例11 設(shè)為內(nèi)任一點(diǎn)，分別交，于，求證：證明 如圖2-14，記，對(duì)及點(diǎn)，應(yīng)用塞瓦定理，有對(duì)及截線(xiàn)，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，即由合比定理得，即同理，三式相加，得例12 如圖2-15，設(shè)為內(nèi)任意一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交對(duì)邊，于點(diǎn)，交于試證：證明 令，對(duì)及點(diǎn)，應(yīng)用塞瓦定理，有對(duì)及截線(xiàn)，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有注意到，則有，即，故又對(duì)直線(xiàn)截，有而，則，故又對(duì)及截線(xiàn)，有，即有 ，故從而于是，其中等號(hào)由中等號(hào)成立時(shí)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)亦即當(dāng)且僅當(dāng)，亦即時(shí)取等號(hào)此時(shí)，和之間成為如圖2-16的雙曲線(xiàn)的關(guān)系例13 如圖2-17，已知直線(xiàn)的三個(gè)定點(diǎn)依次為、，為過(guò)、且圓心不在上的圓，分別過(guò)、兩點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)證明：的平分線(xiàn)與的交點(diǎn)不依賴(lài)于圓的選?。?5預(yù)選題）證明 設(shè)的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，其中與是不同的兩點(diǎn)由于是等腰三角形，則有同理，在中，有在中，視為塞瓦點(diǎn)，由角元形式的塞瓦定理，有注意到，則 即 ，故結(jié)論獲證3求解三角形格點(diǎn)問(wèn)題的統(tǒng)一方法如果三角形的三個(gè)角的度數(shù)都是10的整數(shù)倍，三角形內(nèi)一點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別連結(jié)后，得到的所有的角也都具有這個(gè)性質(zhì)，我們稱(chēng)這樣的點(diǎn)為三角形的格點(diǎn)例14 如圖2-18，在中，和分別是和上的點(diǎn)，使得，是直線(xiàn)和的交點(diǎn)證明：直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直（1998年加拿大奧林匹克試題）證明 設(shè)，則，對(duì)及點(diǎn)，應(yīng)用第一角元形式的塞瓦定理，有從而 ，即有 注意到，知，有，故延長(zhǎng)交于，則故注 此題也可這樣來(lái)解：由，有由于作為的函數(shù)在上嚴(yán)格遞減，所以故因此，或者過(guò)點(diǎn)作于，則，關(guān)于有所以，、三線(xiàn)共點(diǎn)，因此點(diǎn)在上，即例15 如圖2-19，在內(nèi)取一點(diǎn)，使得，設(shè)，求（1983年前南斯拉夫奧林匹克試題）解 設(shè)，則由第一角元形式的塞瓦定理，有 從而 ， ， 于是 注意到 ，知， ，故 所以 為所求注 此題結(jié)果也可直接由式有且，求得另外，此題也可這樣來(lái)解：由，有因?yàn)樽鳛榈暮瘮?shù)在（，）上嚴(yán)格遞減，所以故或者由，令，則對(duì)和點(diǎn)應(yīng)用第一角元形式的塞瓦定理，有則因?yàn)樽鳛榈暮瘮?shù)在上嚴(yán)格遞增，所以例16 如圖2-20，具有下面性質(zhì)：存在一個(gè)內(nèi)部的點(diǎn)，使得，證明：是等腰三角形（1996年美國(guó)第25屆奧林匹克試題）證明 設(shè)，則由第一角元形式的塞瓦定理，有即有 ， 從而 且，故，即，從而注 此題也可這樣來(lái)求解：由，有 因?yàn)樽鳛榈暮瘮?shù)在（，）上嚴(yán)格遞減，所以 ，即故還可對(duì)及點(diǎn)應(yīng)用第一角元形式的塞瓦定理來(lái)求4論證直線(xiàn)共點(diǎn)的一種工具例17 如圖2-21，在四邊形中，過(guò)，的交點(diǎn)引，其中交，于，交，于，分別交于，則（1990年CMO選拔試題）證明 在，上分別取，使，則由對(duì)稱(chēng)性可知有下列角相等，即若設(shè)，則，又，故又，故，連交于，在中，故由塞瓦定理的逆定理，知，共點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)由對(duì)稱(chēng)性知，例18 如圖2-22，在銳角中，以點(diǎn)引出的高為直徑作圓交，于，再?gòu)淖魍瑯涌勺鞒?，試證：三直線(xiàn)，相交于一點(diǎn)（第29屆預(yù)選題）證明 設(shè)與，分別相交于點(diǎn)，由，知，即同理，設(shè)，邊上的高，的垂足分別為，且，分別與，交于，則有，由于的三條高相交于垂心，此時(shí)應(yīng)用第一角元形式的塞瓦定理，得，用等角代換上式，有故由第一角元形式的塞瓦定理，知，三線(xiàn)共點(diǎn)，即，相交于一點(diǎn)例19 如圖2-23，四邊形內(nèi)接于圓，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，為圓上任一點(diǎn)，分別交圓于，若對(duì)角線(xiàn)與相交于，求證：，三點(diǎn)共線(xiàn)證明 連，由，有，此兩式相乘，有又由，有，此兩式相乘，有 由，得 上式兩邊同乘以，得 對(duì)及截線(xiàn)，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有于是 此時(shí)，應(yīng)用第一角元形式的塞瓦定理的推論，知，交于一點(diǎn)從而，三點(diǎn)共直線(xiàn)【模擬實(shí)戰(zhàn)】習(xí)題A1在中，是上的點(diǎn)，是中點(diǎn)與交于，交于，求四邊形的面積與的面積的比2若通過(guò)各頂點(diǎn)的直線(xiàn)，共點(diǎn)，并且它們?cè)谶?，所在直線(xiàn)上的截點(diǎn)，關(guān)于所在邊中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為，則直線(xiàn)，也共點(diǎn)3一圓交的各邊所在直線(xiàn)于兩點(diǎn)，設(shè)邊上的交點(diǎn)為，邊上的交點(diǎn)為，邊上的交點(diǎn)為，若，共點(diǎn)，則，也共點(diǎn)4試證：過(guò)三角形頂點(diǎn)且平分三角形周長(zhǎng)的三條直線(xiàn)共點(diǎn)5將各內(nèi)角三等分，每?jī)蓚€(gè)角的相鄰三等分線(xiàn)相交得，又，分別平分，且它們與，交于，求證：，三線(xiàn)共點(diǎn)6將的各外角三等分，每?jī)蓚€(gè)外角的相鄰三等分線(xiàn)相交得又，分別平分，且它們與，交于，求證：，三線(xiàn)共點(diǎn)7是的內(nèi)切圓，上的切點(diǎn)各是，射線(xiàn)交于，同樣可得，試證：直線(xiàn)，共點(diǎn)8在內(nèi)部，且從，各向，所作的垂線(xiàn)共點(diǎn)，則從，各向，所作的垂線(xiàn)也共點(diǎn)9在中，為形內(nèi)一點(diǎn)，求的度數(shù)10在中，為形內(nèi)一點(diǎn)，且，求的度數(shù)（數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題432題）11在中，為形內(nèi)一點(diǎn)，求的度數(shù)（數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題491題）12在中，為的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，使，交于，交于求證：（數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題531題）13在中，為形內(nèi)一點(diǎn)，求的度數(shù)（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1023題）14在中，為形內(nèi)一點(diǎn)，且，求的度數(shù)（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1142題）15在中，為形內(nèi)一點(diǎn)，求的度數(shù)（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1208題）16中，為形內(nèi)一點(diǎn)，求證：（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1306題）17在中，為形內(nèi)兩點(diǎn)， 求證：，三點(diǎn)共線(xiàn)（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1243題）18中，為形內(nèi)兩點(diǎn)， 求證：（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1281題）19在中，為內(nèi)心，為上一點(diǎn)，滿(mǎn)足試求的度數(shù)（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1073題）20，順次分別在的三邊，上，且，過(guò)，分別作，的平行線(xiàn)，求證：，三線(xiàn)共點(diǎn)的充要條件是，三線(xiàn)共點(diǎn)21在中，于，過(guò)任作兩射線(xiàn)分別交，于點(diǎn)，交過(guò)點(diǎn)的平行線(xiàn)于，且求證：，共點(diǎn)22在中，過(guò)三邊，邊中的中點(diǎn)，的三條等分三角形周長(zhǎng)的直線(xiàn)，（，在三角形三邊上）分別交，于，求證：，三線(xiàn)共點(diǎn)23的內(nèi)切圓切，于，是內(nèi)一點(diǎn)，交內(nèi)切圓于兩點(diǎn)，其中靠近的一點(diǎn)為，類(lèi)似定義，試證：，三線(xiàn)共點(diǎn)24在內(nèi)部，的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交，于，；的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交，于，；的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交，于，且滿(mǎn)足 求證：，所在直線(xiàn)共點(diǎn)（中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)擂臺(tái)題（28）25給定，延長(zhǎng)邊至，使的外接圓與以為直徑的圓相交于和設(shè)與的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交和于，求證：，共線(xiàn)（第15屆伊朗奧林匹克題）26在的邊上向外作三個(gè)正方形，是正方形中的邊，對(duì)邊的中點(diǎn)求證：直線(xiàn)，共點(diǎn)習(xí)題B1是的內(nèi)切圓，分別是，上的切點(diǎn)，都是的直徑求證：直線(xiàn)，共點(diǎn)（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1396題）2四邊形的內(nèi)切圓分別與邊，相切于，求證：，四線(xiàn)共點(diǎn)（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1370題）3銳角中，角的平分線(xiàn)與三角形的外接圓交于另一點(diǎn)，點(diǎn)，與此類(lèi)似直線(xiàn)與，兩角的外角平分線(xiàn)交于，點(diǎn)，與此類(lèi)似求證：（）三角形的面積是六邊形的二倍；（）三角形的面積至少是三角形面積的四倍（-30試題）4設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，使，是線(xiàn)段上的點(diǎn)，直線(xiàn)，分別交邊，于，求證：5在凸四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分，是的延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于試證：6在中，為內(nèi)心，為上一點(diǎn)，滿(mǎn)足試求的度數(shù)（數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題1073題）7設(shè)是等邊三角形，是其內(nèi)部一點(diǎn)，線(xiàn)段，依次交三邊，于，三點(diǎn)證明：（-37預(yù)選題）8在一條直線(xiàn)的一側(cè)畫(huà)一個(gè)半圓，是上兩點(diǎn)，上過(guò)和的切線(xiàn)分別交于和，半圓的圓心在線(xiàn)段上，是線(xiàn)段和的交點(diǎn)，是上的點(diǎn)，求證：平分（