變靜為動求特殊.doc

變靜為動求特殊孤山九年制學(xué)校 劉永兵圖形的運(yùn)動變化,真實(shí)地反映了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)形的變與不變兩個方面,從辯證的角度去考察、探索、研究此類問題,是提高學(xué)生應(yīng)變思維能力的重要策略,它是考查學(xué)生能力的一種極好題型,把幾何圖形從靜止?fàn)顟B(tài)中轉(zhuǎn)化為運(yùn)動狀態(tài),使學(xué)生能用運(yùn)動的觀點(diǎn)看問題,加深對圖形的認(rèn)識程度,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,發(fā)揮學(xué)生的想象能力,增強(qiáng)發(fā)散思維能力。B例1：如圖1，大小兩個同心圓。圓心為O，AB與小圓相切于C，線段長12厘米。求圓環(huán)的面積。BAOOAC圖1圖2分析與解求圓環(huán)的面積，常用的方法是用大圓的面積減去小圓的面積。但是題目中沒有已知大小圓的半徑，解答十分困難。我們不妨換一種思考方法，讓靜止的圖形動起來，使圖形由一般變成特殊。即讓小圓盡可能縮小，外圓也跟著縮小，但AB的長度始終保持12厘米不變。則圖形變成直徑為12厘米的圓（如圖2），求出圓的面積就是求出原題中圓環(huán)的面積。列式為：3.14(122)2=113.04（平方厘米）。例2：如圖兩半圓中，大圓的弦與小圓相切，且ABCD，AB=4厘米，求陰影部分的面積。OO圖1圖2圖3OCDBAABCDABr分析：在（圖1）中較難發(fā)現(xiàn)兩半徑與已知AB的關(guān)系。若將靜止的小圓移動，使兩半圓的圓心重合，轉(zhuǎn)化為如（圖2）所示，陰影部分的面積并未改變，則S陰=（R2r2）=（）2=2（平方厘米）。這種解法能激發(fā)你的學(xué)習(xí)興趣,那下種解法能使你興奮。讓小半圓盡可能縮小，外半圓也跟著縮小，但AB的長度始終保持4厘米不變；則圖形變成直徑為4厘米的半圓（如圖3）。求出半圓的面積就是求出原題中陰影部分的面積。S陰=（）2=2（平方厘米），這才叫變“靜”為“動”求特殊啊！例3：兩個邊長為a的相同正方形，其中一個正方形的頂點(diǎn)是另一個的中心，求兩正方形重疊部分的面積。分析：如圖a，由于正方形可以旋轉(zhuǎn)，圖形放置的任意性和不確定性，使我們可能一時(shí)看不出重疊面積的求法，這時(shí)，讓圖形運(yùn)動變?yōu)樘厥馇闆r（如圖b），這時(shí)，顯然兩正方形和的重疊部分的面積是。 圖（a） 圖(b)圖a、圖b，兩種狀態(tài)作一比較容易得出兩種求法：因?yàn)閷⒄叫涡D(zhuǎn)到位置后，轉(zhuǎn)過的兩個直角三角形全等，所以，一般位置下的和的重疊部分面積仍為。圖b，這一特殊位置下的求解，表明過正方形的中心的兩條垂直直線將分成完全相同的四部分，那么這兩條垂直直線繞著中心旋轉(zhuǎn)即任一狀態(tài)下結(jié)論仍然成立。例4：如圖，在直徑為6厘米的半圓CD上有兩點(diǎn)A、B，弦CB、DA相交于點(diǎn)P，則CPCB+DPDA的值為（）。O圖1CDBAPCD圖2ABP分析：本題讓A、B兩點(diǎn)在半圓上運(yùn)動，使點(diǎn)A、B在半圓上重合時(shí)，點(diǎn)P也與A、B重合，此時(shí)構(gòu)成直角三角形。于是CPCB+DPDA的值很容易計(jì)算得36。CD圖aAB圖b例5：如（圖a）已知正方形ABCD邊長為4厘米，計(jì)算陰影部分的面積。分析：本題的解法是：用直徑為4厘米的半圓面積減去邊長為2厘米的正方形面積就可以了。如圖b很容易看出兩個扇形重疊部分是陰影部分的面積，兩個扇形面積之和恰好是一個直徑為4厘米的半圓面積，減去邊長為2厘米正方形的面積正是例5所求陰影部分的面積。即：S陰=（）24=24（平方厘米）。有許多數(shù)學(xué)問題，在一般情況下成立的結(jié)論，在特殊情況下也必然成立，變“靜”為“動”求特殊