09-10-2線代A.doc

期末考試試題 線性代數(shù)I一、填空題（15分，每題3分）1、= 。 2、若，線性相關(guān)，則= 。3、是2階方陣，是3階方陣，則= 。4、若是3階方陣，且，均不可逆，則的特征值為 。5、二次型是正定二次型，則的取值范圍是 。二、選擇題（15分，每題3分）1、已知為維列向量，為階單位陣，則 。A、 B、 C、 D、2、設(shè)是4階方陣，的行列式，則中 。A、必有一列元素全為零 B、必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例C、必有一列向量是其余列向量的線性組合 D、任一列向量是其余列向量的線性組合3、設(shè)1是的特征值，則 。A、1是的特征值 B、2是的特征值C、2是的特征值 D、1是的特征值4、設(shè)向量組，, 的秩為，則此向量組中 。A、任意個(gè)向量線性無(wú)關(guān) B、任意個(gè)向量線性相關(guān)C、任意個(gè)向量線性相關(guān) D、任意個(gè)向量線性相關(guān)5、二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為 。A、 B、C、 D、三、計(jì)算行列式：（16分，每題8分）1、 2、四、（10分）求解矩陣方程五、（10分）已知向量組，, ，線性無(wú)關(guān)，其中，是數(shù)，試證向量組，線性無(wú)關(guān)。六、（12分）討論為何值時(shí)，下列方程組無(wú)解，有解？并在有解時(shí)求出其通解。七、（12分）已知，求一個(gè)正交陣，使為對(duì)角陣，并寫出此對(duì)角陣。八、（10分）用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出可逆變換 期末考試試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 線性代數(shù)I一、填空題：（15分，每題3分）1、10 2、6 3、 4、2，-1，1 5、（-2，1）二、選擇題：（15分，每題3分）1、D 2、C 3、B 4、D 5、C三、計(jì)算行列式：（16分，每題8分）1、=160 .8分2、= .8分四、（10分）解：從而， .6分所以=。 .10分五、（10分）證明：設(shè)， .2分即， .4分從而有， .6分因?yàn)椋? ，線性無(wú)關(guān)，所以， .8分得，故，線性無(wú)關(guān)。 .10分六、（12分）解：.3分時(shí)，無(wú)解； .5分時(shí)，有無(wú)窮組解； .7分等價(jià)方程組為：，令，得特解，.8分導(dǎo)出組：，得基礎(chǔ)解系， .10分通解為：+，其中，為任意常數(shù)。 .12分七、（12分）解：=0，得特征值，。.2分 對(duì)，線性方程組為：，得基礎(chǔ)解系：，單位化得；4分對(duì)，線性方程組為：，得基礎(chǔ)解系：， .6分正交化得：， .7分單位化得：， ， .9分 ， 因此所求正交陣為.11分且 。 .12分八、（10分）解：= .2分令， ， .4分.6分故經(jīng)可逆變換，.8分 可將二次型化為。 .10分期末考試試題 線性代數(shù)II一、 填空題（每題4分，共20分）1、 設(shè)為三階方陣，且，則。2、 設(shè)為三階方陣，且，則。3、 已知是可逆矩陣的一個(gè)特征值，則矩陣必有一個(gè)特征值。4、 已知，則向量組（線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)）。5、 若二次型是正定的，那么應(yīng)滿足不等式。二、 選擇題（每題4分，共20分）1、設(shè)為階方陣，則的必要條件是（ ）（A）兩行元素成比例 （B）必有一行為其余行的線性線性組合（C）中有一行元素全為零 （D）任一列為其余列的線性組合2、設(shè)A、B、C均為階方陣，且，則必有（ ）（A） （B） （C） （D）3、若向量組線性無(wú)關(guān)；線性相關(guān)，則（ ）（A）必可由線性表示 （B）必不可由線性表示（C）必可由線性表示 （D）必不可由線性表示4、設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則有非零解的充分必要條件是( ）（A） （B） （C） （D）5、若，則有（ ）（A） （B） （C）對(duì)于相同的特征值，矩陣和有相同的特征向量（D）和均與同一個(gè)對(duì)角陣相似三、計(jì)算行列式（本題6分）四、（本題10分）已知，其中，求矩陣。五、（本題12分）問取何值時(shí)，下列方程組無(wú)解，有唯一解，有無(wú)窮多解? ， 當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。六、（本題14分）設(shè)矩陣，求可逆相似變換矩陣，使得為對(duì)角陣，并計(jì)算。七、（本題12分）設(shè)三元二次型（?。懗鲈摱涡偷木仃嚤磉_(dá)式，并求其秩；（2）用配方法將該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的實(shí)可逆線性變換。八、（本題6分）設(shè)階方陣滿足，試證明：與均可逆，并求其逆矩陣。期末考試試題 線性代數(shù)II評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、 填空題（每題4分，共20分）1、4； 2、O； 3、； 4、線性無(wú)關(guān)； 5、二、選擇題（每題4分，共20分）1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B三、計(jì)算（本題6分）= （2分） = （2分） = （2分） 四、（本題10分） （2分） （2分）由得 （分） （分）五、（本題12分） （4分） 當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解； （2分）當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解， （分）當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解， （分），其中為任意實(shí)數(shù) （分） 六、（本題14分）特征值； （分）屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為， （分）屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為 （分）由于，線性無(wú)關(guān)，所以，令，則有 （2分）則 （1分） （分）七、（本題12分） (1) （分）的秩為3 （分） (2) （分） 令線性變換，則可逆線性變換 （分）將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 （分） 八、（本題6分）由得，則所以均可逆； （分） 且 （分） （分）期末考試試題 線性代數(shù)III一填空題（每題4分，共20分）1.設(shè)、均為三階方陣，且，則。2、已知?jiǎng)t 二選擇題（每題4分，共20分）1、設(shè)為階方陣，則的必要條件是（ ）（A）中必有一行（或一列）元素全為零 （B）中必有兩行(或兩列)元素成比例（C）中必有一行為其余各行的線性組合 （D）中任意一行為其余各行的線性組合2、設(shè)、都是階可逆方陣，則下列結(jié)論正確的是（ ）（A） （B）（C） （D）3、設(shè)A為3階可逆方陣，且各行元素之和均為2，則（）.（A）必有特征值2 （B）必有特征值2（C）必有特征值-2 （D）必有特征值-2三、計(jì)算下列各題（本題28分）1、（本題8分）計(jì)算行列式的值（1）（2）2、（本題10分）解矩陣方程，其中，求矩陣。四、（本題12分）問為何值時(shí)，方程組 無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多組解？并在有無(wú)窮多組解時(shí)求其通解。五、（本題10分）設(shè)（1）確定； （2）求一個(gè)可逆矩陣，使 期末考試試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)課程名稱：線性代數(shù)一填空題（每題3分，共15分）1、； 2、0； 3、，； 4、； 5、二、選擇題（每題4分，共20分）三、計(jì)算題與證明題（本題30分）1、（本題7分）解： （3分） （7分）2、（本題8分）解： （3分） （6分） （8分） 四、（本題10分）解：增廣矩陣為 （5分）特解為： （7分）對(duì)應(yīng)齊次