處理橢圓最值問題的八大策略.doc

處理橢圓最值問題的八大策略數(shù)學組 陳東生 圓錐曲線最值問題具有綜合性強、涉及知識面廣,處理方法靈活等特點為高考命題者在此知識點設計綜合問題提供了理論依據。如何選用恰當方法，明晰解題思路，是多數(shù)考生亟待解決的問題，筆者，教你“八招”。一：探求變量間的相關函數(shù)例1：點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，。（1）求點P的坐標；（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值。解：（1）略 （2）直線AP的方程是+6=0。 設點M(,0),則M到直線AP的距離是。 于是=,又66,解得=2。 設橢圓上的點(,)到點M的距離 ,由于66, 當=時,d取得最小值點評：本題求解難點是如何將動點M與橢圓上點P間的距離表示成某個變量的函數(shù)，常見處理方法是大膽引入變量，利用設而不求方法或直接換元變多元為一元函數(shù)進行求解二：尋求橢圓特征量的等式或不等式例2：若為橢圓的長軸兩端點，為橢圓上一點，使，求此橢圓離心率的最小值。解：不妨設，則，利用到角公式及得：（），又點在橢圓上，故， 化簡得又即則， 解得。故橢圓離心率的最小值為。點評：對于此類最值問題求解關鍵是如何建立橢圓中的三大特征量之間的關系。常用方法是通過對橢圓上的特殊點（如頂點、焦點）的連線或由其圍成的圖形進行。分析，確定滿足的條件，進而求解。三、利用橢圓標準方程特征巧用三角代換求最值： 例3求橢圓上的點到直線的最大距離和最小距離. 解：橢圓的參數(shù)方程為則橢圓上任意一點P坐標為,到直線的距離為= ，d取最大值，即；，d取最小值，即 點評：因為橢圓方程為類似于三角中的同角的平方關系,故經常用三角代換轉化為角的運算，對于解題往往會收到奇效，但一定要注意角的范圍.四：利用焦點三角形相關性質求最值例4：已知橢圓C：兩個焦點為，如果曲線C上存在一點Q，使，求橢圓離心率的最小值。解：根據三角形的正弦定理及合分比定理可得：故，故橢圓離心率的最小值為。點評：此法求最值問題關鍵是合理利用焦點三角形正弦定理或余弦定理建立的邊角關系，再利用橢圓定義確定其隱含條件，找出其變量關系，建立等式并利用三角函數(shù)的有界性解題。五：利用題中數(shù)字特殊性由第二定義轉化例5已知定點A（2，1），F(xiàn)（1，0）是橢圓的一個焦點，P是橢圓上的點，求|PA|+3|PF|的最小值. 解：橢圓右準線設P在上的射影為D，由橢圓第二定義有.過A作于E,交橢圓于P3, P3使得達到最小值為7 點評：利用第二定義實現(xiàn)了數(shù)據的轉化，本小題一般情形假如題設與本題類同，所求的便是的最小值六：利用橢圓的對稱美例6已知的焦點為F1、F2，在直線上找一點M,求以F1、F2為焦點，通過點M且點M到兩焦點的距離之和最小時的橢圓方程.oxyF1F2MF1解：F1（-2，0）、F2（2，0），F(xiàn)1關于的對稱點為F1(-6,-4),連接F1 、F2交于點M即為所求，,c=2, b2=16，所求橢圓為.點評：橢圓是一個很對稱的幾何圖形對稱是數(shù)學美的一個非常重要的方面，充分發(fā)掘幾何圖形的對稱性，利用數(shù)形結合的思想，可以把復雜的運算簡單化.七：利用平面幾何知識PMyOlF1F2xN例7：如圖，在直線上任意取一點，經過點且以橢圓的焦點作橢圓，問當在何處時，所作橢圓的長軸最短，并求出最短長軸為多少？解：橢圓的兩焦點分別為（3，0）、（3,0），作關于直線的對稱點，則直線的方程為由方程組得的坐標（6，3），由中點坐標公式得的坐標（9,6）,所以直線的方程。解方程組得點坐標（5,4）。由于，點評：對于此類最值問題是將所求的最值轉化成三角形邊間關系或兩點連線最短、垂線段最短的思想，此法較直觀，易于求解。八、借助向量有關結論解題例8 P、Q、M、N四點都在橢圓x2+=1上，F(xiàn)為橢圓在y軸上的焦點.已知與共線，與共線，且=0.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值. 解. 即.當MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時，另一條直線必垂直于y軸. 不妨設MNy軸，則PQx軸.F(0, 1) MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0分別代入橢圓中得：|MN|=, |PQ|=2S四邊形PMQN=|MN|PQ|=2=2當MN,PQ都不與坐標軸垂直時，設MN的方程為y=kx+1 (k0)，代入橢圓中得(k2+2)x2+2kx1=0, x1+x2=, x1x2=同理可得：S四邊形PMQN=|MN|PQ|=(當且僅當即時，取等號).又S四邊形PMQN =，此時, S四邊形PMQN綜上可知：(S四邊形PMQN )max=2, (S四邊形PMQN )min=