2021版高考數(shù)學一輪復習第二章函數(shù)2.5冪函數(shù)與二次函數(shù)教學案蘇教版.docx

第五節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)最新考綱1.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，y的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關系解決簡單問題1冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)yxyx2yx3yxyx1圖象性質(zhì)定義域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在(，0上單調(diào)遞減；在(0，) 上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在0，)上單調(diào)遞增在(，0)和(0，)上單調(diào)遞減公共點(1,1)2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)圖象定義域RR值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞減；在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞增；在x上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關于直線x對稱1冪函數(shù)yx性質(zhì)研究的方法(1)先確定冪函數(shù)的定義域(分數(shù)指數(shù)冪先轉(zhuǎn)化為根式)，若對稱，判定其奇偶性；(2)研究冪函數(shù)在第一象限的圖象與性質(zhì)：當0時，函數(shù)yx恒經(jīng)過(0,0)，(1,1)；在0，)上為增函數(shù)；當0時，函數(shù)恒經(jīng)過(1,1)；在(0，)上為減函數(shù)；(3)結(jié)合函數(shù)的奇偶性研究其它象限的圖象(4)當x(0,1)時，越大，函數(shù)值越??；當x(1，)時，越大，函數(shù)值越大2二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3一元二次不等式恒成立的條件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是“a0且0”；(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是“a0且0”一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)y2x是冪函數(shù)()(2)如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點()(3)當0時，冪函數(shù)yx是定義域上的減函數(shù)()(4)二次函數(shù)yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(5)二次函數(shù)yax2bxc，xR不可能是偶函數(shù)()(6)在yax2bxc(a0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大小()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、教材改編1已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過點，則k()A.B1C.D2C因為函數(shù)f(x)kx是冪函數(shù)，所以k1，又函數(shù)f(x)的圖象過點，所以，解得，則k.2.如圖是yxa；yxb；yxc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關系為()AcbaBabcCbcaDacbD根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可知選D.3已知函數(shù)f(x)x24ax在區(qū)間(，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()Aa3 Ba3Ca3 Da3D函數(shù)f(x)x24ax的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x2a，由函數(shù)在區(qū)間(，6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(，6)應在直線x2a的左側(cè)，所以2a6，解得a3，故選D.4函數(shù)g(x)x22x(x0,3)的值域是_1,3g(x)x22x(x1)21，x0,3，當x1時，g(x)ming(1)1，又g(0)0，g(3)963，g(x)max3，即g(x)的值域為1,3考點1冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關系(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個參數(shù)，因此只需一個條件即可確定其解析式(2)判斷冪函數(shù)yx(R)的奇偶性時，當是分數(shù)時，一般將其先化為根式，再判斷(3)若冪函數(shù)yx在(0，)上單調(diào)遞增，則0，若在(0，)上單調(diào)遞減，則0.1.冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(3，)，則f(x)是()A偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)B偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)C奇函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)D非奇非偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)D設冪函數(shù)f(x)x，則f(3)3，解得，則f(x)x，是非奇非偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)2當x(0，)時，冪函數(shù)y(m2m1)x5m3為減函數(shù)，則實數(shù)m的值為()A2B1C1或2 DmB因為函數(shù)y(m2m1)x5m3既是冪函數(shù)又是(0，)上的減函數(shù)，所以解得m1.3若a，b，c，則a，b，c的大小關系是()Aabc BcabCbca DbacD因為yx在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以ab，因為yx是減函數(shù)，所以ac，所以bac.4若(a1)(32a)，則實數(shù)a的取值范圍是_易知函數(shù)yx的定義域為0，)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得1a.在比較冪值的大小時， 必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，如T3.考點2求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)解析式的策略一題多解已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式解法一：(利用二次函數(shù)的一般式)設f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得故所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7.法二：(利用二次函數(shù)的頂點式)設f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，拋物線對稱軸為x.m，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，n8，yf(x)a8.f(2)1，a81，解得a4，f(x)484x24x7.法三：(利用零點式)由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.求二次函數(shù)的解析式常利用待定系數(shù)法，但由于條件不同，則所選用的解析式不同，其方法也不同1.已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標是(2，1)，且圖象經(jīng)過點(1,0)，則函數(shù)的解析式為f(x)_.x2x法一：(一般式)設所求解析式為f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式為f(x)x2x.法二：(頂點式)設所求解析式為f(x)a(xh)2k.由已知得f(x)a(x2)21，將點(1,0)代入，得a，所以f(x)(x2)21，即f(x)x2x.2已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xR，都有f(2x)f(2x)，則函數(shù)的解析式f(x)_.x24x3f(2x)f(2x)對xR恒成立，f(x)的對稱軸為x2.又f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，f(x)0的兩根為1和3.設f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.考點3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時應注意2點(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)二次函數(shù)的圖象已知abc0，則二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是()ABCDDA項，因為a0，0，所以b0.又因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故A錯B項，因為a0，0，所以b0.又因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故B錯C項，因為a0，0，所以b0.又因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故C錯D項，因為a0，0，所以b0，因為abc0，所以c0，而f(0)c0，故選D.識別二次函數(shù)圖象應學會“三看”二次函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)f(x)ax2(a3)x1在區(qū)間1，)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0D當a0時，f(x)3x1在1，)上遞減，滿足題意當a0時，f(x)的對稱軸為x，由f(x)在1，)上遞減知解得3a0.綜上，a的取值范圍為3,0母題探究若函數(shù)f(x)ax2(a3)x1的單調(diào)減區(qū)間是1，)，則a_.3由題意知f(x)必為二次函數(shù)且a0，又1，a3.二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略(1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較二次函數(shù)的最值問題設函數(shù)f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函數(shù)f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函數(shù)圖象的對稱軸為x1.當t11，即t0時，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上為減函數(shù)，所以最小值為f(t1)t21；當t1t1，即0t1時，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對稱軸x1處取得最小值，最小值為f(1)1；當t1時，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上為增函數(shù)，所以最小值f(t)t22t2.綜上可知，f(x)min圖(1)圖(2)圖(3)逆向問題已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時，有最大值2，則a的值為_1或2函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，對稱軸方程為xa.當a0時，f(x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1.當0a1時，f(x)maxa2a1，所以a2a12，所以a2a10，所以a(舍去)當a1時，f(x)maxf(1)a，所以a2.綜上可知，a1或a2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動不論哪種類型，解題的關鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關系，當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關系進行分類討論二次函數(shù)中的恒成立問題(1)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0成立，則實數(shù)m的取值范圍是_；(2)已知函數(shù)f(x)x22x1，f(x)xk在區(qū)間3，1上恒成立，則k的取值范圍為_(1)(2)(，1)(1)作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，對于任意xm，m1，都有f(x)0，則有即解得m0.(2)由題意得x2x1k在區(qū)間3，1上恒成立設g(x)x2x1，x3，1，則g(x)在3，1上遞減g(x)ming(1)1.k1.故k的取值范圍為(，1)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關鍵(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.教師備選例題已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(xiàn)(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區(qū)間(0,1上恒成立，試求b的取值范圍解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2.所以F(x)所以F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由題意知f(x)x2bx，原命題等價于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又當x(0,1時，x的最小值為0，x的最大值為2.所以2b0.故b的取值范圍是2,01.若一次函數(shù)yaxb的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)yax2bx的圖象只可能是()ABCDC因為一次函數(shù)yaxb的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以a0，b0，所以二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸方程x0，