【數(shù)學分析課件@北師大】13曲面上測度.pdf

1 曲線和曲面上的積分 曲面積分 1 曲面上的測度 2 曲面積分 曲面表示和曲面上的測度 第一型曲面積分 質(zhì)量 第二型曲面積分 流量 3 曲面的映射觀點定義 設 a b Rk a b Rn n k 1 若 連續(xù) 稱S a b 為 Rn中的連續(xù)超曲面 若 具有一階連續(xù)導數(shù) 且 t a b t 滿秩 稱S a b 為 Rn中的k維光滑超曲面 若 是 單射 S a b 為 Rn中的k維正則超曲面 若 連續(xù) 且存在 a b 可以分成m個內(nèi)部不相交 的閉區(qū)域 j Lj j 是k維光滑 正則 超曲面 稱S a b 為 Rn中的k維分片光滑 正則 超曲 面 4 曲面的集合觀點定義 設S Rn 若存在 a b Rk Rn 有S a b 若 連續(xù) 就稱S為Rn中的一個連續(xù)超曲面 稱 為S的一個表示 若 光滑且導數(shù)點點不為零 就稱S為Rn中的 k維光滑超曲面 稱 為S的光滑表示 若 光滑 單射且導數(shù)點點不為零 就稱S為 Rn中的一條正則曲面 稱 為S的正則表示 5 同一超曲面可以有不同的表示 同一超曲面可以有不同表示 集合觀點下的正則超曲面一定有非正則的表示 幾何上正則的超曲面未必有正則表示 幾何上非正則的超曲面一定沒有正則表示 在下面的討論中 我們總假設 連續(xù) S是正則或分片正則超曲面 是其相應的表示 因此將對超曲面的兩種觀點統(tǒng)一 6 超曲面的分類 設 a b Rn n 2 連續(xù) 若 是單射 稱L a b 為Rn中的簡 單曲面 Rn中的閉超曲面 Rn中的簡單閉超曲面 不帶邊的 緊流形 7 超曲面的方向 定向 可定向曲面 雙側(cè)曲面 不可定向曲面 單側(cè)曲面 8 正則超曲面面積的定義 設 a b Rk a b Rn n k 1 正則 S a b 定義S的k維面積 為 其中上標T表示矩陣的轉(zhuǎn)置 det ba T dttftfS 9 對超曲面面積公式的說明 面積公式的推導 Rn中k維平行2k面體的體積計算 用切超平面塊近似超曲面面積 n 1維超曲面的面積公式 由參數(shù)方程給出的曲面體積公式 由函數(shù)圖像給出的曲面體積公式 10 Rn中k維平行2k面體的體積 設E是由Rn中k個線性無關向量V1 V2 Vk所 張成的平行2k面體 由Schmidt正交化方法 得到與其等體積的直角平行2k面體E0 張成 E0的k個向量是 1 2 k兩組向量間的關系 10 1 11 kk VV 11 平行2k面體的體積 續(xù)1 體積公式 E E0 1 2 k 也就是 也就是 22 2 2 1 2 0 2 k EE k T k T T EE 21 2 1 2 0 2 det 12 平行2k面體的體積 續(xù)2 由此就得到 其中 注意Vj都是列向量 VVE T det 2 k VVVV 21 13 平行2k面體體積公式解釋 Binet Cauchy公式 設A aij n k B bij n k 則 對這個公式的解釋 Rn中的平行2k面體的體 積的平方等于其在 Rn中所有k維坐標面中投 影的平方和 一般勾股定理 kiii kiii kiii nii kiii kiii kiii T kkk k kkk bbb bbb bbb aaa aaa aaa BA 21 21 21 1 21 21 21 222 111 1 222 111 det 14 用切超平面塊近似超曲面面積 設 a b Rk a b Rn n k 1 正則 S a b 下面按微元法給出超曲面的面積公式 任取 a b 的一個分法 1 m Sj j j 1 m 取tj j 用 近似Sj的體積 然后求和 取極限就得到公式 jj T j tftf det 15 n 1維超曲面的面積公式 1 由參數(shù)方程給出的曲面體積公式 設 a b Rn 1 a b Rn n k 1 正則 S a b 此時 習慣上有下面的記法 其中e表示第i個元素標準基向量ei的列向量 det dettfetftf T 16 n 1維超曲面的面積公式 2 由函數(shù)圖像給出的曲面體積公式 函數(shù)圖像公式 a b Rn 1 g a b R t t g t S a b 2 1 dettgtftf T 17 正則超曲面上的測度 設 a b Rk a b Rn n k 1 正則 S a b E S 如果 1 E 是 a b 的可測集 就說E是S的