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3 9曲率 一 弧微分 二 曲率及其計算公式 三 曲率圓與曲率半徑 有向弧段的值 弧微分公式 曲率 曲率的計算公式 曲率圓曲率半徑 一 弧微分 s的絕對值等于這弧段的長度 當有向弧段的方向與曲線的正向一致時s 0 相反時s 0 s 0 s 0 顯然 弧s是x的函數(shù) s s x 而且s x 是x的單調增加函數(shù) 設x x Dx為 a b 內兩個鄰近的點 它們在曲線y f x 上的對應點為M M 并設對應于x的增量Dx 弧s的增量為Ds 于是 下面來求s x 的導數(shù)及微分 1 因為 因此 由于s s x 是單調增加函數(shù) 從而 于是ds 這就是弧微分公式 觀察曲線的彎曲線程度與切線的關系 二 曲率及其計算公式 可以用單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度 設曲線C是光滑的 曲線線C上從點M到點M 的弧為Ds 切線的轉角為Da 平均曲率 曲率 曲率的計算公式 設曲線的直角坐標方程是y f x 且f x 具有二階導數(shù) 于是 從而 有 因為tana y 所以 例1計算等雙曲線xy 1在點 1 1 處的曲率 解 因此 y x 1 1 y x 1 2 曲線xy 1在點 1 1 處的曲率為 例2拋物線y ax2 bx c上哪一點處的曲率最大 解由y ax2 bx c 得y 2ax b y 2a 代入曲率公式 得 要使K最大 只須2ax b 0 拋物線的頂點 因此 拋物線在頂點處的曲率最大 最大曲率為K 2a 對應的點為 2 若曲線由參數(shù)方程 給出 那么曲率如何計算 1 直線上任一點的曲率等于什么 討論 提示 設直線方程為y ax b 則y a y 0 于是 提示 曲線在點M處的曲率K K 0 與曲線在點M處的曲率半徑r有如下關系 曲線在M點的曲率中心 三 曲率圓與曲率半徑 M y f x D r 曲線在M點的曲率半徑 曲線在M點的曲率圓 例3設工件表面的截線為拋物線y 0 4x2 現(xiàn)在要用砂輪磨削其內表面 問用直徑多大的砂輪才比較合適 解砂輪的半徑不應大于拋物線頂點處的曲率半徑 例3設工件表面的截線為拋物線y 0 4x2 現(xiàn)在要用砂輪磨削其內表面 問用直徑多大的砂輪才比較合適 y 0 8x y 0 8 y x 0 0 y x 0 0 8 拋物線頂點處的曲率半徑為 所以選

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