數(shù)形結合思想方法的內涵與作用.doc

數(shù)形結合思想方法的內涵與作用 “數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，這是華羅庚教授對數(shù)形結合思想的深刻、透徹的闡釋。具體地說，就是在解決數(shù)學問題時，根據(jù)問題的背景、數(shù)量關系、圖形特征，或使“數(shù)”的問題，借助于“形”去觀察；或將“形”的問題，借助于“數(shù)”去思考，這種解決問題的思想稱為數(shù)形結合思想。 事實上，數(shù)形結合思想，就是用聯(lián)系的觀點，根據(jù)數(shù)的結構特征，構造出與之相適應的圖形，并利用圖形的性質和規(guī)律，解決“數(shù)”的問題；或將圖形的部分信息或全部信息轉換成“數(shù)”的信息，弱化或消除“形”的推理，從而將“形”的問題轉化為數(shù)量關系來解決。給“數(shù)”的問題以直觀圖形的描述，揭示出問題的幾何特征，就能變抽象為直觀；給“形”的問題以數(shù)的度量，分析數(shù)據(jù)之間的關系，更能從本質上深刻認識“形”的幾何屬性。 數(shù)形結合思想在課本中，具有突出的地位。比如：在集合運算中的應用。涉及集合的運算，常常采用文氏圖，數(shù)軸等形象、直觀的方式；在研究函數(shù)時，已知函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，再通過函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質；或通過圖、表的分析，抽象出變量之間的規(guī)律，再通過變量之間的規(guī)律的研究，進一步掌握圖、表的變化趨勢；運用數(shù)形結合思想，構出適當?shù)膱D形證明不等式和解不等式往往十分簡捷。 又如，笛卡兒用數(shù)形結合思想將長期對立的代數(shù)與幾何有機結合，創(chuàng)立了數(shù)學的一大分支解析幾何，構建曲線與方程的理論，集中解決了兩大問題：已知曲線求方程和通過方程研究曲線的性質。 下面舉例說明數(shù)形結合的奇妙。 例1：已知實數(shù)滿足，求證：d的幾何意義是直線：的點與定點M（2，2）的距離，由點M到直線的距離為，根據(jù)平面幾何的知識知，即。 例2：已知，且，求證：。 分析：要解決本題是很容易的，但我們從“形”的角度來認識和解決這個問題是十分有趣的。記，那么d的幾何意義是在空間直角坐標系中，原點O（0，0，0）到平面上任意一點的距離。設平面與空間直角坐標系的x軸、y軸、z軸的交點分別為A、B、C，則OA=OB=OC=1，那么正三棱錐OABC的側棱為1，側面的頂角均為90（如圖）。由等體積法易得，點O到平面ABC（即平面）的距離為 。 “數(shù)”與“形”是數(shù)學研究的兩個基本對象，“數(shù)”，屬于數(shù)學抽象思維范疇，是人的左腦思維的產(chǎn)物;而“形”主要指幾何圖形，屬于形象思維范疇，是人的右腦思維的產(chǎn)物。利用“數(shù)形結合”方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”、運用“數(shù)”與“式”來細致、入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長補短，從而順利、有效地解決問題。 “數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”形象生動、深刻地指明了“數(shù)形結合”思想的價值，也揭示了數(shù)形結合思想的本質。 “數(shù)形結合”的方法就是把數(shù)學問題中的運算、數(shù)量關系等與