命題與證明知識點總結(jié).doc

命題、定理與證明的知識點總結(jié)一、 知識結(jié)構(gòu)梳理二、知識點歸類知識點一 定義的概念 對于一個概念特征性質(zhì)的描述叫做這個概念的定義。如：“兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離”是“兩點之間的距離”的定義。注意：定義必須嚴(yán)密的，一般避免使用含糊不清的語言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn)。知識點二 命題的概念敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個陳述句是一個命如“你是一個學(xué)生”、“我們所使用是教科書是湘教版的”等。注意：（1）命題必須是一個完整的句子。 （2）這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。知識點三 命題的結(jié)構(gòu)每個命題都有題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項。一般地，命題都可以寫出“如果-，那么-”的形式。有的命題表面上看不具有“如果-，那么-”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。例 把下列命題改寫成“如果-，那么-”的形式，并指出條件與結(jié)論。1、 同角的余角相等 2、兩點確定一條直線知識點四 真命題與假命題如果一個命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題 注意：真、假命題的區(qū)別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時，要注意把握這點。知識點五 證明及互逆命題的定義1、 從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結(jié)論成立，這個過程叫作證明。注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結(jié)論，從而判斷這個命題是假命題。2、 一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，這兩個命題稱為互逆的命題，其中的一個命題叫作另一個命題的逆命題。注意：一個命題為真 不能保證它的逆命題為真，逆命題是否為真，需要具體問題具體分析。例 說出下列命題的逆命題，并指出它們的真假。（1） 直角三角形的兩銳角互余； （2）全等三角形的對應(yīng)角相等。 類型一： 例、 判斷下列語句在表述形式上，哪些對事情作了判斷？哪些沒有對事情作出判斷？（1）對頂角相等； (2)畫一個角等于已知角；(3)兩直線平行，同位角相等； （），兩條直線平行嗎? (5)鳥是動物； (6)若，求的值； (7)若，則 思路點撥:通過本題熟悉命題的定義解析：句子(1)(3)(5)(7) 對事情作了判斷，句子(2)(4)(6)沒有對事情作出判斷其中 (1)(3)(5)判斷是正確的， （7）判斷是錯誤的【變式1】下列語句中，哪些是命題，哪些不是命題?(1)若ab，則； (2)三角形的三條高交于一點；(3)在ABC中，若ABAC，則CB嗎?(4)兩點之間線段最短；(5)解方程；(6)123【答案】（1）（2）（4）（6）是命題，（3）（5）不是命題類型二： 例、指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成“如果那么”的形式：(1)三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；(2)在同一個三角形中，等角對等邊；(3)對頂角相等；(4)同角的余角相等；(5)三角形的內(nèi)角和等于180； (6)角平分線上的點到角的兩邊距離相等思路點撥: 找出命題的條件和結(jié)論是本題的難點，因為命題在敘述時要求通順和簡練，把命題中的有些詞或句子省略了，在改寫時注意要把省略的詞或句子添加上去解析：（1）“三條邊對應(yīng)相等”是對兩個三角形來說的，因此寫條件時最好把“兩個三角形”這句話添加上去，即命題的條件是“兩個三角形的三條邊對應(yīng)相等”，結(jié)論是“這兩個三角形全等”可以改寫成“如果兩個三角形有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等” （2）“等角對等邊含義”是指有兩個角相等所對的兩條邊相等?？梢愿膶懗伞叭绻谕粋€三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。”值得注意的是，命題中包含了一個前提條件：“在一個三角形中”，在改寫時不能遺漏（3）這個命題的條件是“兩個角是對頂角”，結(jié)論是“兩個角相等”這個命題可以改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”（4）條件是“兩個角是同一個角的余角”，結(jié)論是“這兩個角相等”這個命題可以改寫成“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”（5）條件是“三個角是一個三角形的三個內(nèi)角”，結(jié)論是“這三個角的和等于180”這個命題可以改寫如果“三個角是一個三角形的三個內(nèi)角，那么這三個角的和等于180”； (6) “如果一個點在一個角的平分線上，那么這個點到這個角的兩邊距離相等?！笨偨Y(jié)升華：注意原命題中省略的重要內(nèi)內(nèi)容一定要補充完整?！咀兪?】試將下列各個命題的題設(shè)和結(jié)論相互顛倒或變?yōu)榉穸ㄊ?，得到新的命題，并判斷這些命題的真假(1)對頂角相等；(2)兩直線平行，同位角相等；(3)若a=0，則ab=0；(4)兩條直線不平行，則一定相交；【答案】(l)對頂角相等(真)；相等的角是對頂角(假)；不是對頂角不相等(假)；不相等的角不是對頂角(真)(2)兩直線平行，同位角相等(真)；同位角相等，兩直線平行(真)；兩直線不平行，同位角不相等(真)；同位角不相等，兩直線不平行(真)(3)若a=0，則ab=0(真)；若ab=0，則a=0(假)；若a0，則ab0(假)；若ab0，則a0(真) (4)兩條直線不平行，則一定相交(假)；兩條直線相交，則一定不平行(真)； 兩條直線平行，則一定不相交(真)；兩條直線不相交，則一定平行(假)【變式2】判斷正誤：(1)如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等。 （ ）(2)如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角。 （ ）(3)如果兩個角有公共頂點，那么這兩個角是對頂角。 （ ）(4)如果兩個角有公共頂點，有一條公共邊，那么這兩個角是鄰補角。 （ ）(5)如果兩個角是鄰補角，那么這兩個角一定互為補角。 （ ）(6)如果兩個角的和是180，那么這兩個角是鄰補角。（ ）(7)對頂角的角平分線在同一條直線上。 （ ）(8)如果兩個角有公共頂點，且角平分線互為反向延長線，那么這兩個角是對頂角?！敬鸢浮浚?1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)。注：判斷題如果是正確的命題需要加以說明或論證，找出依據(jù)，如果是錯誤的命題，只要舉出一個反例即可。知識點六 公理與定理數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其它命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。以基本定義和公理作為推理的出發(fā)點，去判斷其他命題的真假，已經(jīng)判斷為真的命題稱為定理。注意：（1）公理是不需要證明的，它是判斷其他命題真假的依據(jù)，定理是需要證明； (2 ) 定理都是真命題，但真命題不一定都是定理。例 填空：（1）同位角相等，則兩直線 ；（2）平面內(nèi)兩條不重合的直線的位置關(guān)系是 ；（3） 四邊形是平行四邊形。知識點七 互逆定理 如果一個定理的逆命題也是定理，那么稱它是原來定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理。注意：每個命題都有逆命題，但并非所有的定理都有逆定理。如：“對頂角相等”就沒逆定理。知識點八 證明的含義從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結(jié)論成立，從而判定該命題為真，這個過程叫做證明。推理證明的必要性：判斷猜想的數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠經(jīng)驗是不夠的，必須一步一步，有理有據(jù)地進行推理。證明命題的步驟：由題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理最后推出結(jié)論（書證）正確的過程叫做證明。證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理，在此以前學(xué)過的定理。（證明命題的格式一般為：1）按題意畫出圖形；2）分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論；3）在“證明”中寫出推理過程）證明的四個注意 (1)注意：公理是通過長期實踐反復(fù)驗證過的，不需要再進行推理論證而都承認(rèn)的真命題： 公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù). (2)注意，定理都是真命題，但真命題不一定都是定理；一般選擇一些最基本最常用的真命題作為定理，可以以它們?yōu)楦鶕?jù)推證其他命題. 這些被選作定理的真命題，在教科書中是用黑體字排印的. (3)注意：在幾何問題的研究上，必須經(jīng)過證明，才能作出真實可靠的判斷。如“兩直線平行，同位角相等”這個命題，如果只采用測量的方法. 只能測量有限個兩平行直線的同位角是相等的. 但采用推理方法證明兩平行直線的同位角相等，那么就可以確信任意兩平行直線的同位角相等. (4)注意：證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”. 論據(jù)必須是真命題，如；定義、公理、已經(jīng)學(xué)過的定理和已知條件；論據(jù)的真實性不能依賴于論證的真實性；論據(jù)應(yīng)是論題的充足理由.例1. 證明：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。已知：ab,c是截線 求證：1=2分析：要證1=2只要證3=2即可，因為3與1是對頂角，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得出3=2證明：ab(已知)3=2(兩直線平行，同位角相等)1=3(對頂角相等) 1=2(等量代換)例2. 如圖所示，已知：A=F，C=D，求證：BDCE分析：要證BDCE，只需證得D=CEF或D+CED=180即可，由于C=D，因此只要C=CEF或C+CED=180，這就需要有ACDF，由已知條件中的A=F，可以得出ACDF，故此題可證證明：A=F(已知)ACDF(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)C=CEF(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)又D=C(已知) D=CEF(等量代換) BDCE(同位角相等，兩直線平行)【變式】 已知：如圖正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，且CECF（1）求證：BCEDCF（2）若FDC30，求BEF的度數(shù)。知識點九 反證法反證法：在證明一個命題時，人們有時先假設(shè)命題不成立，從這樣的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義，公理，定理等矛盾的結(jié)論，從而得出假設(shè)命題不成立是錯誤的，即所求證的命題成立，這種證明方法叫做反正法。反證法的基本步驟：1.假設(shè)命題的結(jié)論不成立 2.從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾。 3.有矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確結(jié)論的反面不止一種情形的反證法：應(yīng)用反證法證明命題時，首先要分清命題的題設(shè)和結(jié)論，再全面地否定結(jié)論，如果結(jié)論的反面不止一種情形，那么必須把各種可能性都列出來，并且在逐一加以否定之后，才能肯定原結(jié)論正確。 例1、已知：如右圖，直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)，且l1l2，13與11相交于點P.求證：13與l2相交 （使用反證法）思路點撥:仔細(xì)閱讀反證法的定義，掌握這種方法的規(guī)律。解析：證明：假設(shè)，13與l2不相交，即l3l2， 又l1l2（已知），過直線12外一點P有兩條直線11,13與直線12平行，這與“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾， 假設(shè)不成立，即求證的命題成立， 13與12相交【變式1】用反證法證明不是有理數(shù)【變式2】我們年級有367名學(xué)生，請你證明這些學(xué)生中至少有兩個學(xué)生在同一天過生日鞏固訓(xùn)練1.把命題“三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”寫成“如果,那么”的形式是_.2.命題“如果 ,那么”的逆命題是_.3.命題“三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”是一個_命題(填“真”或“假”).4.如圖,已知梯形ABCD中, ADBC, AD3, ABCD4, BC7,則B_.5.用反證法證明“b1b2”時,應(yīng)先假設(shè)_.6.下列語句中,不是命題的是（ ）A.直角都等于90 B.面積相等的兩個三角形全等 C.互補的兩個角不相等 D.作線段AB7.下列命題是真命題的是（ ）A.兩個等腰三角形全等 B.等腰三角形底邊中點到兩腰距離相等C.同位角相等 D.兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等8.下列命題的逆命題是真命題的是（ ）A.兩直線平行同位角相等 B.對頂角相等 C.若,則 D.若,則9.下列條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是（