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文檔簡介
量子力學(xué)結(jié)課論文:對普朗克黑體輻射公式的推證及總結(jié)摘要:黑體輻射現(xiàn)象是指當(dāng)黑體(空腔)與內(nèi)部輻射處于平衡時,腔壁單位面積所發(fā)射出的輻射能量與它所吸收的輻射能量相等。實驗得出的平衡時輻射能量密度按波長分布的曲線,其形狀和位置只與黑體的絕對溫度有關(guān),而與空腔的形狀和組成物質(zhì)無關(guān)?;谀芰苛孔踊募僭O(shè),普朗克提出了與實驗結(jié)果相符的黑體輻射能量公式:vd=8h3c31ehvkT-1普朗克的理論很好地解釋了黑體輻射現(xiàn)象,并且突破了經(jīng)典物理學(xué)在微觀領(lǐng)域內(nèi)的束縛,打開了人類認識光的微粒性的途徑1。本文主要介紹了普朗克公式的推導(dǎo)過程及其能量假設(shè)并將普朗克對黑體輻射的解釋做了總結(jié)。關(guān)鍵詞:黑體輻射 能量量子化 普朗克公式 麥克斯韋-玻爾茲曼分布1. 普朗克的量子化假設(shè):黑體以h為能量單位不連續(xù)地發(fā)射和吸收頻率為的光子的能量.且能量單位h稱為能量子,h為普朗克常量(h=6.6260689610-34JS)2. 普朗克公式的推導(dǎo)過程:2.1 任意頻率下的輻射能量:假設(shè)有一處于平衡狀態(tài)的黑體,其內(nèi)有數(shù)量為N的原子可吸收或發(fā)出頻率為的光子,其中Ng 為這些原子中處在基態(tài)的原子數(shù),Ne為處在激發(fā)態(tài)(此處指可由基態(tài)原子受頻率為的光子激發(fā)達到的能態(tài))的原子數(shù),n為頻率為的光子平均數(shù)。則由統(tǒng)計力學(xué)中的麥克斯韋-玻爾茲曼公式2知:NeNe-EekT Ng Ne-EgkT 由此可得NeNg=e-Ee-EgkT =e-hkT (2.1.1)平衡狀態(tài)下,體系內(nèi)原子在兩能級間相互轉(zhuǎn)化的速率相等,且其速率正比于轉(zhuǎn)化的概率和該狀態(tài)下的原子數(shù)目。結(jié)合愛因斯坦系數(shù)關(guān)系3可得: Ng n=Ne (n+1) (2.1.2)結(jié)合(2.1.1),可解得: n=1ehkT -1 (2.1.3)則該狀態(tài)下光子總能量為:0= nhv = hvehkT -1 (2.1.4)2.2 vv+dv頻率段中可被體系接收的頻率數(shù)目設(shè)所求黑體為規(guī)整的立方體,其長,寬,高分別為Lx,Ly,Lz。體積為V0。不妨先討論一維情況:體系線寬為L,則L必為光子半波長的整數(shù)倍,設(shè)其波數(shù)為K,有k j = jL (j為整數(shù)) (2.2.1) 成立 。則兩相鄰可被體系接收的頻率所對應(yīng)的波數(shù)間隔為k=kj+1-kj=L (2.2.2)由此可得在k波數(shù)段內(nèi),可被體系接收的頻率數(shù)目(或稱波數(shù)數(shù)目)為: N = kk = Lk (2.2.3)因空腔內(nèi)光波為駐波(波數(shù)為K和-K的兩列波合成),考慮K值的正負 ,(2.2.3)式可修正為: N =L2k (2.2.4)由此可得,在三維情況下,有Nx = Lx2kx Ny = Ly2ky (2.2.5)Nz = Lz2kz 并由此得到Nk=NxNyNz= LxLyLz 83kxkykz (2.2.6)因LxLyLz為黑體體積V0,kxkykz為K體積元d3k ,考慮半徑為K,厚度為dk的球殼,則2.2.6式可化為:dNk=V083d3k =V0834k2dk 即dNk=V022k2dk (2.2.7) 由 k=2vc 代入(2.2.7)可得dNv=43c3V0 d (2.2.8)因光為電磁波,對任意波矢K可有兩正交的偏振,其頻率相互獨立,所以(2.2.8)應(yīng)修正為:dNv=83c3V0 d (2.2.9)此即為vv+dv頻率段中可被體系接收的頻率數(shù)目。2.3 vv+dv頻率段內(nèi)的黑體輻射能量由(2.1.4)和(2.2.9)可得vv+dv頻率段內(nèi)的黑體輻射能量為:0dN(v) = 8h3c3ehkT -1V0 d繼而可得:vd=0dN(v)V0=8h3c31ehvkT-1 (2.3.1)由此,普朗克公式已推出。結(jié)論:相較于同時提出的維恩公式及瑞利-金斯公式,普朗克提出的(2.3.1)式精確地貼合了實驗得出的黑體輻射能量分布曲線(如下圖)。普朗克對黑體輻射光譜的研究以及他對(2.3.1)的發(fā)現(xiàn)開創(chuàng)了量子力學(xué)整個學(xué)科。4推導(dǎo)過程中的不足:論證結(jié)果是在黑體為規(guī)整的立方體的前提下得出的,沒有進行更具有一般性的論證。參考資料:1 周世勛 ,陳灝 量子力學(xué)教程(第二版) 北京:
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