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文檔簡介

第10章向量的數(shù)量積和向量積向量函數(shù)微分法 知識邏輯關(guān)系圖 導數(shù)的幾何意義和物理意義 向量函數(shù)連續(xù)定義 重點 向量函數(shù)導數(shù)及其幾何意義難點 空間曲線弧微分 設a ax ay az b bx by bz 且 為常數(shù) 1 a b ax bx ay by az bz 2 a ax ay az 3 4 復習 10 3 向量函數(shù)的微分和積分 一 向量函數(shù)1 向量函數(shù)定義 連續(xù)的向量函數(shù)和空間曲線有著密切的聯(lián)系 2 向量函數(shù)的幾何意義向量函數(shù)起點定在O點 當t變化時終點描繪出圖形是一條空間曲線 直線 r t x0 at y0 bt z0 ct 擺線 r t a t sint a 1 cost 0 螺旋線的參數(shù)方程 取時間t為參數(shù) 解 讓我們欣賞幾個向量函數(shù)表示的空間曲線 3 向量函數(shù)極限定義 則稱向量r t 的極限為r0或稱向量r t 按模收斂r0 定理 若則稱向量函數(shù)在t t0連續(xù) 例已知螺旋線計算 連續(xù) 二 向量函數(shù)導數(shù)與微分1 定義 向量函數(shù)在t0處的導數(shù) 向量函數(shù) 2 向量值函數(shù)的導數(shù)與微分運算法則 1 2 3 4 5 證 5 3 注意 1 r t 的幾何意義 2 向量函數(shù)導數(shù)物理意義 設r t 為沿空間曲線運動質(zhì)點位置t 作為質(zhì)點開始運動起時間 例1求螺旋線 在點 0 2 2 處的切線方程 向上飛行 求 1 滑翔機速度和加速度 2 滑翔機t時刻的速率 3 如果有的話 求滑翔機的速度正交于加速度的時刻 例3證明定長度的向量函數(shù)的導向量與r t 垂直證明 如當我們跟蹤以原點為中心的球面上運動的質(zhì)點時 位置向量有一個等于球面半徑的固定長度 如圖 運動路徑的速度向量與運動路徑相切 例一質(zhì)點以常角速度w0在半徑為R的圓上運動 求其速度與加速度 解 r Rcos Rsin 0 Rcos Rsin 0 W02 Rsin Rcos 0 W0 yr 0 xz 起點定在O點 當t 變化時終點描繪出圖形是一條空間曲線弧 三 弧微分 向量函數(shù) 弧微分 設 在 a b 內(nèi)有連續(xù)導數(shù) 其圖形為AB 弧長 或 平面曲線弧 我們已經(jīng)得到了弧微分公式 空間曲線 弧微分 例 求螺旋線 r t cost sint t 0 t 2 弧的長度 注1 例證明 簡證 M 注2設某質(zhì)點在空間中運動軌道為r t t 其中t被看作為質(zhì)點開始運動起的時間值則 向上滑行 求滑翔機的

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