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課后答案網(wǎng): 3 第 3 章 靜電場及其邊值問題的解法 一個半徑為 a, 壁厚 d 極薄的肥皂泡對無窮遠點的電位為 它破滅時假定全部泡沫集中形成一個球形水滴。試求此水滴( 無窮遠處的電位 0V, a=3d=10 m,則 解 00101010932010333443 6423 203 2000 氣中有一半徑為 a 的球形電荷分布,已知球體內(nèi)的電場強度為 2 ( c) 取 r 處為電位參考點,得 33333242 4333: d r : d) 02222 4331: 得證。 01: 24222 得證。 氣中有一半徑為 a,體電荷密度為 計算該圓柱體內(nèi)外的電場強度。 解 :a 02 :a 022v 知空氣中半徑為 a 的圓環(huán)上均勻地分布著線電荷,其密度為 l,位于 z=0 平面,試求其軸線上任意點 P( 0, 0, z)處的電位和電場強度(參看圖 意與之不同)。 解 220200 24 課后答案網(wǎng): 4 232202 za l 知空氣中半徑為 a 的圓盤上均勻地分布著面電荷,其密度為 s,位于 z=0 平面,試求其軸線上任意點 P( 0, 0, z)處的電位和電場強度(參看圖 意與之不同)。 解 sa s 2200 220 22 220 12 s 均勻介質(zhì)內(nèi)部任意點處,體束縛電荷密度v總等于該處體自由電荷密度 10 )倍,請證明之。 證 由式 (代入式 (式 ( 1000得證。 知空氣中有一導(dǎo)體球,半徑為 a,帶電量為 Q,其外面套有外半徑為 b、介電常數(shù)為的介質(zhì)球殼。試求: a)區(qū)域的 D 和 E ; b)介質(zhì)球殼中的體束縛電荷密度v和其內(nèi)外表面處的面束縛電荷密度s。 解 a) 202 4,4 b) 1000 20200 414 200 41 行板電容器的寬和長分別為 a、 b,兩極板間距為 dba,求其單位長度電容 a=b,則 解 因 dba,按例 樣的推導(dǎo)得空間任意點處電位為 210 l 課后答案網(wǎng): 8 雙線間電位為 00 故單位長度電容為 若 a=b,則 01 圖 a)所示同軸線,其內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為 a、 b,中間充填介電常數(shù)分別為21,的二層介質(zhì),分界面半徑為 c。求: a)二介質(zhì)區(qū)域的電位函數(shù)1和2;b)單位長度電容 解 a) 由例 ,二介質(zhì)區(qū)域電場強度分別為 , 取外導(dǎo)體為零電位,則 121 b) 由例 ,外導(dǎo)體表面線電荷密度為 故單位長度電容為 課后答案網(wǎng): 9 圖 b)所示同軸線,其外導(dǎo)體半徑分別為 a、 b,10 部分填充介電常數(shù)為1的介質(zhì),其余部分介電常數(shù)為2。求單位長度電容 解 由例 ,二區(qū)域的電場強度和其導(dǎo)體表面線電荷密度分別為 , 12 取外導(dǎo)體為零電位,則 故單位長度電容為 1111211當 01 ,得 1 參看圖 導(dǎo)線 1 為電力線,導(dǎo)線 2 為電話線,二者半徑均為 a,相距 D,架高 h。設(shè)電力線 1 上電壓為 求電話線上的感應(yīng)電壓 a=5D=30m,h=12m, (參看例 解 12221122121221 由例 課后答案網(wǎng): 0 故 382 看例 圖 圖中導(dǎo)體 2 與電纜殼相連,在導(dǎo)體 1、 2 間加電壓 120V,求導(dǎo)體 1、 2 上 所帶電量。 解 當導(dǎo)體 2 與電纜殼相連, 022C,則導(dǎo)體 1、 2 間工作電容為 03 8 導(dǎo)體 1、 2 上電量分別為 22 限長同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為 a、 b,外導(dǎo)體接地,由導(dǎo)體加電壓 U。請通過電位方程 02 ,求解內(nèi)外導(dǎo)體間的電位和電場分布。其單位長度 電容 解 例 求得此題 電場分布,現(xiàn)通過解電位方程來求。已知電位 的邊界條件是(參看圖 2 0 b 內(nèi)外導(dǎo)體間任一點的電位 滿足拉氏方程: 02 采用柱坐標, 不隨 、 z 變化,因而 拉氏方程化為 01 其通解為 課后答案網(wǎng): 1 根據(jù)邊界條件和積分常數(shù): 故 得 此 結(jié)果與例 。 內(nèi)導(dǎo)體處面電荷密度為 則內(nèi)導(dǎo)體單位長度線電荷密度為 故單位長度電容為 看例 圖 a),請由電位方程 02 求解二介質(zhì)層區(qū)域的電位和電場強度。 解 兩區(qū)域之電位分別滿足方程 002212即 , 010121將上述方程積分兩次分別得到解為 課后答案網(wǎng): 2 根據(jù)邊界條件確定常數(shù) A、 B、 C 、 D: 221121 ,b; 01, ; ,C 02 則 , 0解得 , 將常數(shù)代入 21, 表示式得 : 兩區(qū)域的電 場強度為 : 課后答案網(wǎng): 3 球形電容器的內(nèi)、外導(dǎo)體球面半徑分別為 a、 b,中間介質(zhì)的介電常數(shù)為 。設(shè)內(nèi)球加電壓 球接地。試由電位方程 02 ,求解電容器中的 、 s。 解 因為節(jié)點常數(shù)均勻 ,為球?qū)ΨQ ,故電位、電場均僅與 r 有關(guān) . 電位滿足方程 , 02 , 0122 將方程積分兩次 ,得解為: 由邊界條件確定常數(shù) A、 B: , 0 , 0 得 , 0000則得 : 020200001 同心導(dǎo)體球半徑分別為 a、 b,中間三個區(qū)域的 介電常數(shù)分別為 1、 2、 3,如 題 圖 3示。求中間介質(zhì)區(qū)域的電位函數(shù) 和電場強度 E ;此同心球的電容 C=? 解 仿照由例 舉一反三處理,得 3212 2 r 12 321 題圖 3充填三種介質(zhì)的同心球 課后答案網(wǎng): 4 321321 2112 無限長細傳輸線離地面高 h,線電荷密 度為 l( C/m),坐標如題圖 3示。證明它在導(dǎo)電的地平面上感應(yīng)的面電荷密度是 )/()( 222 并證明地平面上沿 y 向的線電荷密度為 l( C/m)。 證明 因為l為無限長細直線 ,故該題是求解二維平面場 : 地平面上面 ,空間任一點的電位為 : 120 2222022220 22222222022224 (伏 /米 )_ 220 hx 地平面上沿 y 向的線電荷密度為 221 22 得證。 限長細傳輸線半徑為 a=2地高 h=10m,地面可視為無限大導(dǎo)體平面,試求其單位長度電容。 解 采用鏡像法求該問題 雙導(dǎo)線在空間任一點的電位是 : 2200hx 單根傳輸線的電位 ,當 時 , 題圖 3地平面上的線電荷 課后答案網(wǎng): 5 21 地面的電位為零 , 02 單位長度電容 , 0211212 931212 法拉 /公里 ) 導(dǎo)體劈的劈角 =60,如圖 b)所示。角域內(nèi) x=1,y=1 處有一點電荷 q。請用鏡象法求角域內(nèi)的電位;并算出 x=2, y=1 點的電位值,設(shè) q=0 解 360180 n 512 (1)源電荷位置 : (x1,(1,1), +q 鏡象電荷位置 : (x2,( (x3, ( +q (x4,( (x5, ( +q (x6, (1, 角域內(nèi)任一點 (x,y)處的電位 : 6543210 1111114, 其中 : 6,5,4,3,2,1222 ) 對于 x=2, y=1 點的電位值 11112 221 R 22 R 23 R 24 R 25 R 課后答案網(wǎng): 6 26 R )(130)( 96543210 無限長線電荷的線密度為 l,在它的外面有一以它為軸線的無限長導(dǎo)體圓筒,其內(nèi)表面半徑為 a。求圓筒內(nèi)任意點的電位和電場強度。 解 采用鏡象法求該問題 設(shè)鏡象線電荷在圓柱外 ,距軸線為 面是等位面 ,則導(dǎo)體殼內(nèi)任一點 P 的電位為 : 120 若 P 點在導(dǎo)體表面上 ,必須 由相似三角形定理 : on 1 鏡象線電荷的位置 . (1) 殼內(nèi)空間任 一點的電位 : c 2121202120 ,c o 21222 ,c o (2) 殼內(nèi)任一點的電場強度 : 1 c o o o o dd d c o o dd d 矩形導(dǎo)體管的截面尺寸和四壁的電位如題圖 3示。 (a)請證明管內(nèi)任意點的電位是 s s (12),(3,2,10 ; (b)求管內(nèi)任意點的電場強度; 000U題圖 3矩形導(dǎo)體管 課后答案網(wǎng): 7 (c) 求 x=0 處內(nèi)壁上的面電荷密度 s|x=0, 管內(nèi)媒質(zhì)為空氣。 解 (a) 該題為 二維場 ,管內(nèi)空間電位滿足方程 : 02 即 02222 通解為 : s hk xA c hk s 邊界條件 : 0,0 y 0, 00, x 0, 由邊界條件確定常數(shù) : 由 得 , A=0; 由 得 , C=0, s 由 得 , (n=1,2, ), b n n s 1 n 由得 , 01 s n 上式兩邊乘從 b0 對 y 積分 ,當 時得 : n 0 02 s 得 , co , (n=1,2,3, ) 管內(nèi)空間得電位分布是 , s 0 (b) c (c) 在 x=0 處, 課后答案網(wǎng): 8 100000s 上題中 x=a 處導(dǎo)體壁上的電位不是 是下述電位分布: ,)/1(,2/0,/00 其他條件不變,試 證明矩形管內(nèi)任意點的電位函數(shù)是 s (2 25,3,12 0 證 1)電位滿足方程 02222 ,022 yx ,02 02 得 , 2) 通解 hk hk s i nc 11110000 3) 由邊界條件確定常數(shù) 由 , 00 B、 ;01 A 由 , 00 D、 ;01 C hk s 1100 由 , ,000 CA,(n=1,2,3 ), b n n s 1 由 , 01 220 上式兩邊乘從 b0 對 y 積分 ,當 時 : s 020 00 2 s i ns i ns i 02200 ,2s 2 0 nn n (n=1,3,5, ) 課后答案網(wǎng): 9 得 : s . . ,1220 矩形管的截面尺寸和四壁的電位 如題圖 3示,管內(nèi)媒質(zhì)為空氣。 (a)求管內(nèi)任意點的電位和 電場強度; (b)求 y=0 處內(nèi)壁上的面電荷密度 s|y=0。 解 (a) 該題為二維場 ,滿足二維拉普拉斯方程 . 邊界條件為 : ;0,0 y 00, x ; ;0, 0, (常數(shù) ) 通解 : s hk xA c hk s 由邊界條件確定常數(shù) : 根據(jù) 得 , A=0; 由 得 , C=0, sh k s 由得, 12 ( n=0, 1, 2,) n 212s 2,0 由得 n n 23s 2s 2, 00 ; 2n+1=3, 1n 0 i 0y00, 矩形管 課后答案網(wǎng): 0 b yb yb s 3co (b) 在 y=0 處, b s 3330, 00000 無限長矩形導(dǎo)體槽如 題 圖 3示, 上板電位為 板電位為零。 求槽中任意點的電位 和電場強度。 解 該題為二維場 ,滿足方程 : 02222 邊界條件為 : 0,0 z ; 0, 000,0 , 通解為 : s i nc 根據(jù)邊界條件確定常數(shù) , 由 得 , ;0,0 由得 , ,0,0 s 00 00 , 矩形導(dǎo)體槽 課后答案網(wǎng): 1 由 得 , , ( n=1,2,3, ) 10 s 由 得 : 100102,s s 上式兩邊乘并在 a0 區(qū)間對 y 積分 ,當 時 ,得 : n na n n 02 1020 10 s i ns i ns i ns i ns i n n 002 00 2 s 得 2 (n=2,4,6, ) 該區(qū)域的電位為 : s o 6,4,200 s o o , 一長方形導(dǎo)體空腔,邊長分別為 a、 b、 c,其邊界均為零電位,空腔內(nèi)充填體電荷,密度為 )()s s 求腔內(nèi)任意點的電位 ( x,y,z)。 提示: 需滿足泊松方程02 v。設(shè) 可用三維傅里葉級數(shù)表示為 c m n s 代入泊松方程后,利用正弦函數(shù)正交性確定系數(shù) 課后答案網(wǎng): 2 解 長方體內(nèi)電位 滿足泊松方程02 v 設(shè)該方程通解為:c m n s 將 , 代入泊松方程得: c za m n s i ns i ns i ns i ns i 兩邊乘 c s 從 a0 對 從 b0 對 從 c0 對 三重積分, 根據(jù)三角函數(shù)正交性,必須 1,1 得 2223021118, ( n=1, 3, 5, 7,) s i i ns i n,5,3,12223020 知在( x,y,z)空間中, z=0 平面上電位分布為 0 請確定空間中任意點的電位和電場強度。 解 1)邊界條件): 0(1) 2) 方程): 02222 3) 解式: , X: 取 s o s Z: 取 4) 定常數(shù):因 22xz , ,故 由( 1)知, 課后答案網(wǎng): 3 當 z , 0故 0, 0, 從而得 0,s x 0,s x當 z=0,由( 1)知, s 011 得 故 0,s z 0,s z 得 0,s o z 0,s o z 沿 z 軸方向半無限長導(dǎo)體圓筒 的 半徑為 a,該圓筒接地,但在 z=0 處的筒底上加電壓 筒內(nèi)電位和電場強度。 解 1) 0, () 00, U() 2) 0122 z3) 解式: , R :由于軸對稱性,圓柱函數(shù)必為零階, n=0,且因區(qū)域中包括軸線 00,0 故只有 ,即 課后答案網(wǎng): 4 由于 0, 得 D=0,即 ,zk 4) 定常數(shù): 由 (1), 00 ,3,2,1,0 i 根,于是 100, 由 (2), 01 00 為求系數(shù)上式兩邊同乘 由 0 積分至 a: a 0000000 00因 i,0,2 201200000 i 得 A 010 02最后得 0001002, 課后答案網(wǎng): 5 001010 12 0 半徑為 a 的無限長導(dǎo)體圓柱外側(cè)包有一層半 徑為 b、介電常數(shù)為的介質(zhì),如題圖 3示。 令其外空間外加一均勻電場00 ,取導(dǎo)體 圓柱表面處為電位參考點,求( 1)區(qū)( 電位函數(shù)。 解 區(qū)域( 1)、( 2)的電位均滿足拉氏方程: 01112122 b 011 22222 題圖 3包有介質(zhì)層的導(dǎo)體圓柱 電位通解: 1 11111c o ss 1 22222c o ss b 邊界條件: , 2211 0,1 a , 21 , a 120 , c o s,002 根據(jù)邊界條件確定常數(shù): 由 得, 021 由得, 11 課后答案網(wǎng): 6 由得, 022,1 由及三角函數(shù)正交性得, 1 解重寫為: c o 中, 2 c o b 時, c o sc o c o sc o s 2002 各區(qū)域的電位函數(shù)為 : c o c o b 其中: 02022002 020222002 0202 002204 無限長扇形導(dǎo)體柱的三壁均為零電位,但 =a 處壁電位為 題 圖 3示。求此扇形域內(nèi)的電位分 布。 解 1 1) 00, ( 1) 0, ( 2) 0, b ( 3) 0, ( 4) 2) 011222 題 圖 3扇形導(dǎo)體柱 3) 解式: F : 具有 2 周期性,取 s s R :電位解與 z 無關(guān), 0必有 0k,故取 4) 定常數(shù) : 課后答案網(wǎng): 7 由( 1),得 A=0, 由( 2),得 ,3,2,1,0s in 由( 3),得 ,0 于是 s 1 將( 4)式代入上式得 s 為確定上式兩邊以 從 0 至 積分,有 s 0 0 右邊僅當 m=n 時不為零,得 2c o ,114220 n=1,3,5, 最后得 222,5,3,10 限大導(dǎo)體平板由一條細縫分布兩塊無限大平板,二板電位分別是 0,如題圖 3示。試用復(fù)位函數(shù)法 ,取對數(shù)復(fù)變函數(shù)為變換函數(shù),求出平板上半空間的電位函數(shù)和電場強度。 解 令, j 根據(jù)物理狀態(tài),取 v 為位函數(shù), 即, , 當 ;0,0 0, U 題 圖 3二半無限大平板 課后答案網(wǎng): 8 0 則,電位函 數(shù) 0U, 改寫成, 0U電場強度 11 00 長軸為 2a 的橢圓導(dǎo)體柱內(nèi),在其相距 2c 的二焦點連線處是一極薄的導(dǎo)體片(寬 2c),如 題 圖 3用復(fù)位函數(shù)法,取變換函數(shù) w= 證明此片與橢圓柱面間單位長度電容為 01 2 。 證 取復(fù)位函數(shù)為 211c o 3橢圓柱電容器 21211111v 為電位函數(shù), u 為通量函數(shù)。 設(shè)導(dǎo)體片電位為 U,橢圓柱電位為零。當 ,01 ,得 ., 12 令 ,0,11 當 ,0,01 得 11 ,0 當 1 故 u 得證。 用保角變換法再解 。 證 取變換函數(shù) 1co s令 v 為電位函數(shù),邊界與 1和 2一致, 題 0 u 0 v= v=v2 jv u 課后答案網(wǎng): 9 則 z 平面上的橢圓變換為 w 平面上的直線,如右圖所示。矩形區(qū)域中電位為 當 ,01 得 B=U; 當 ,0,2 故 22 因 c 1 u s h c h s o sc o s u sh c h s in,c o s 由上二式消去 u,得 vv c 222222 即 22222222 02222242 2222222222224 得 212222222222124 c 在橢圓短半軸( 0,b
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