北京大學(xué)2010數(shù)學(xué)分析考研試卷 2.doc

北京大學(xué)2010年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答.1、用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理。證明：設(shè)為有界數(shù)列。若，則即為之聚點(diǎn)。否則，?，F(xiàn)用反證法證明至少有一聚點(diǎn)。若均不是的聚點(diǎn)，而，但由有限覆蓋定理，而矛盾。2、是否存在數(shù)列，其極限點(diǎn)構(gòu)成的集合為，說明理由。解答：不存在。因?yàn)闃O限點(diǎn)的集合為閉集，而不閉，因?yàn)椤?、設(shè)為無窮區(qū)間，為上的非多項(xiàng)式連續(xù)函數(shù)。證明：不存在上一致收斂的多項(xiàng)式序列，其極限函數(shù)為。證明：若為多項(xiàng)式序列，而在上，我們將證明亦為多項(xiàng)式，而有所證。事實(shí)上，由，及為多項(xiàng)式知為常數(shù)，且數(shù)列具有性質(zhì)；a ;b 對固定的，存在；這是因?yàn)?，而為列?，F(xiàn)對一固定，令，而為多項(xiàng)式。4、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足。求證：存在，使得。證明：記，則由積分中值定理，。而中值定理推得，即。5、設(shè)是有界閉區(qū)間，證明函數(shù)序列在上一致收斂。如果是有界開區(qū)間，問在上是否仍然一致收斂？說明理由。證明：a.在有界閉區(qū)間上一致收斂。 由知，在上一致連續(xù)，現(xiàn)由中值定理，此即于上。b.當(dāng)為有界開區(qū)間時(shí)，在上不一定一致收斂。事實(shí)上，我們有例子，對但不是一致收斂； 6、構(gòu)造上的函數(shù)，使其在上間斷，其他點(diǎn)連續(xù)。解答：記，。則a. 當(dāng)時(shí)，。b. 在處連續(xù)。7、設(shè)廣義積分與均收斂。證明： 在上有定義，并且有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)。證明：對任意的，有 ，由判別法，知以上在上有定義，對任意， ,當(dāng)時(shí)，關(guān)于一致；當(dāng)時(shí)，關(guān)于一致，根據(jù)判別法，在上一致，又在上也是一致的（證法同上面的類似），所以在上連續(xù)，由于的任意性，可知在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)。8、計(jì)算曲線積分，其中為與的交線，從軸正向看是逆時(shí)針。解：記，利用公式得 。9、證明下面的方程在點(diǎn)附近唯一確定了隱函數(shù)，并將在點(diǎn)展開為帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，展開到二階。證明：記，。由，及隱函數(shù)存在定理，知存在唯一定義在附近，滿足又。由，得，在處 ，得，。故在的泰勒展開為。10、設(shè)是上的非負(fù)單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù)，且和均發(fā)散。設(shè)，試問是否一定發(fā)散？說明理由。解：未必是發(fā)散的。例如 記，考慮階梯函數(shù)，則 ，但是，從而，然后再把階梯函數(shù)改造連續(xù)函數(shù)，改造方法如下：在區(qū)間端點(diǎn)挖一小段，比如第一個(gè)間斷點(diǎn)取長的小段，第二個(gè)間斷第個(gè)間斷點(diǎn)取，在小段上用直線連接起來就可以。由于都是有界的，這樣去掉的小段總長也是有界的，那么階梯函