用二分法求方程的近似解知識點.doc

用二分法求方程的近似解1.二分法：對于區(qū)間a,b上連續(xù)不斷、且f(a)f(b)0的函數y=f(x),通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection）函數零點的性質是二分法求函數變號零點近似值的重要依據必須是滿足區(qū)間a,b上連續(xù)不斷、且f(a)f(b)0這兩個條件的函數才能用二分法求得零點的近似值2.用二分法求函數零點給定精確度,用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟如下:1.確定區(qū)間a,b,驗證f(a)f(b)0，給定精確度；2.求區(qū)間(a,b)的中點；3.計算 f（x1）：（1）若f(x1)=0，則x1就是函數的零點；（2）若f(a) f(x1)0，則令b= x1（此時零點x0(a, x1) );（3）若f(x1) f(b)0，則令a= x1（此時零點x0( x1,b); 4判斷是否達到精確度，即若|a-b| ，則得到零點近似值a(或b)，否則重復步驟243.用二分法求方程近似解不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一個正的近似解（精確到0.1）， ，怎樣理解是否達到精度要求了？設函數的零點為x0，則ax0b作出數軸，在數軸上標出a、b、x0對應的點所以0x0-ab-a, a-bx0-b0由于|a-b|，所以|x0-a|b-a, x0-b|a-b|，即a或b作為函數的零點x0的近似值都達到給定的精確度 由函數的零點與相應方程根的關系，我們可用二分法來求方程的近似解 由于計算量較大，而且是重復相同的步驟，因此，我們可以通過設計一定的計算程序，借助計算器或計算機完成計算在計算器或計算機中安裝一個方程數值解法的程序，當我們輸入相應的方程，并給出精確度（有效數字）后，計算器或計算機就會依據程序進行運算了例 借助計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確到0.1）解 原方程即2x+3x-7 =0，令f(x)=2x+3x-7，借助計算器或計算機作出該函數的圖象與對應值表解 原方程即2x+3x-7 =0，令f(x)=2x+3x-7，借助計算器或計算機作出該函數的圖象與對應值表x0123456 7 8f(x)-6-2310214075142 273觀察圖表，可知： f(1) f(2)0，說明這個函數在區(qū)間（1，2）內由零點下面是求方程近似解的框圖，根據框圖，可選擇一種計算機語言，寫出程序，并在計算機上運行后得出結果4.二分法不僅僅用于求函數的零點和方程的根,它在現實生活中也有許多重要的應用,常用于：查找線路電線、水管、氣管等管道線路故障，實驗設計、資料查詢等。在一個風雨交加的夜里,從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障.這是一條10km長的線路,如何迅速查出故障所在? 如果沿著線路一小段一小段查找,困難很多.每查一個點要爬一次電線桿子,10km長,大約有200多根電線桿子呢.想一想,維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？如圖,設閘門和指揮部的所在處為點A,B, （1）首先從中點C查；（2）用隨身帶的話機向兩端測試時,發(fā)現AC段正常,斷定故障在BC段；（3）再到BC段中點D；（4）這次發(fā)現BD段正常,可見故障在CD段；（5）再到CD中點E來看；（6）這樣每查一次,就可以把待查的線路長度縮減一半，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50100m左右，即一兩根電線桿附近，要檢查77次.從上海到美國舊金山的海底電纜有15個節(jié)點，現在某節(jié)點發(fā)生故障，需及時修理，為盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少需要檢查節(jié)點的個數為多少？（要檢查節(jié)點的個數為3個）下列函數圖像與x軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標的是( B ) 方程lnx+2x=6在區(qū)間上的根必定屬于區(qū)間( B ) A（-2,1） B（2.5,4） C （1，74） D（74，52）函數f(x)=x2+4x+4在區(qū)間-4,-1上( B )A.沒有零點 B.有一個零點 C.有兩個零點 D.有無數個零點5.用二分法求方程f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解基本步驟：尋找解所在區(qū)間 （1）圖像法：先畫出y=f(x)圖象，觀察圖象與x軸交點橫坐標所處的范圍；或畫出y=g(x)和y=h(x)的圖象，觀察兩圖象的交點橫坐標所處的范圍。（2）函數性態(tài)法：把方程均轉換為f(x)=0 的形式，再利用函數y=f(x)的有關性質（如單調性），來判斷解所在的區(qū)間。不斷二分解所在的區(qū)間若x(a,b),不妨設f(a)0(1)若f(a+b)2)0,由f(a)0,則x(a, (a+b)2);(2) 若f(a+b)2)0,則x(a+b)2,b);(3)若f(a+b)2)=0,則x=(a+b)2;對(1)、(2)兩種情形再繼續(xù)二分法所在的區(qū)間。根據精確度得出近似解, 當x(m,n),且m,n根據精確度得到的近似值均為同一個值p時，則x p，即求得了近似解?！纠吭谟枚址ㄇ蠓匠痰慕平鈺r，若初始區(qū)間是（1，5），精確度要求是0.001，則需要計算的次數是 根據計算精確度與區(qū)間長度和計算次數的關系確定.設需計算n次，則n滿足42n0.001，即2n4000.由于211=2048，212=4096,故計算12次就可以滿足精確度要求故填12.在用二分法求方程的近似解時，精確度與計算次數、區(qū)間長度之間存在緊密的聯系,可以根據其中兩個量求得另一個.當然,在實際求解過程中也可能用不到12次,也許11次,甚至10次即可解決問題，但前提是到結束時,區(qū)間的兩個端點精確到與所要求的精確度的近似值相同.【例】方程f（x）=0在0，1內的近似解，用二分法計算到x10=0.445達到精確度要求，求所取誤差限根據計算精確度與區(qū)間長度和計算次數的關系滿足ba2n+1精確度確定解：由題知計算了10次滿足精確度要求，所以（ba）（2n+1）=1211=120480.00049，故所取誤差限是0.