2012江蘇高考數(shù)學題庫(必做題).doc

2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷） 數(shù)學題庫（數(shù)學試題）續(xù)1. 如圖為函數(shù)軸和直線分別交于點P、Q，點N（0，1），若PQN的面積為b時的點M恰好有兩個，則b的取值范圍為 .yxOPMQN解： 2. 已知A：，B: ，P是平面內(nèi)一動點，過P作A、B的切線，切點分別為D、E，若，則P到坐標原點距離的最小值為 .解：設(shè)，因為，所以，即，整理得：，這說明符合題意的點P在直線上，所以點到坐標原點距離的最小值即為坐標原點到直線的距離，為3. 等差數(shù)列各項均為正整數(shù)，前項和為，等比數(shù)列中，且，是公比為64的等比數(shù)列求與；解：設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，依題意有由知為正有理數(shù)，故為的因子1，2，3，6之一，解得 故4. 在中，（1）求的值； （2）求面積的最大值解：（1）因為，所以， 又因為 ，所以； （2）設(shè)，由（1）知，又因為， 所以=，當且僅當時取“=”，所以的面積最大值為5. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，數(shù)列是公比為等比數(shù)列，且（1）若，探究使得成立時的關(guān)系；（2）若，求證：當時，.解：記，則，1分（1）由已知得 消去得，又因為，所以，所以，5分若，則，舍去；6分若，則，因此，所以（是正奇數(shù)）時，；8分（2）證明：因為，所以， 11分時，=所以，當. 16分6. 已知圓O：，O為坐標原點（1）邊長為的正方形ABCD的頂點A、B均在圓O上，C、D在圓O外，當點A在圓O上運動時，C點的軌跡為E（）求軌跡E的方程；（）過軌跡E上一定點作相互垂直的兩條直線，并且使它們分別與圓O、軌跡E 相交，設(shè)被圓O截得的弦長為，設(shè)被軌跡E截得的弦長為，求的最大值ODCBAyx11 （2）正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，求線段OC長度的最值解：（1）（）連結(jié)OB，OA，因為OA=OB=1，AB=，所以，所以，所以，在中，所以軌跡E是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，所以軌跡E的方程為； （）設(shè)點O到直線的距離分別為，因為，所以， 則，則xODBA11Cy4=， 當且僅當，即時取“=”，所以的最大值為； （2）設(shè)正方形邊長為a，則， 當A、B、C、D按順時針方向時，如圖所示，在中，即 ，xODBA11Cy 由，此時；當A、B、C、D按逆時針方向時，在中，即 ， 由，此時， 綜上所述，線段OC長度的最小值為，最大值為 7. 已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線的方程為，求實數(shù)的值；（2）求證：恒成立的充要條件是；（3）若，且對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.另解：在上恒成立，設(shè)，只需.8. 已知函數(shù).（1）求證：函數(shù)必有零點；（2）設(shè)函數(shù)（）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（）是否存在整數(shù)，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.9. 已知函數(shù)，為正常數(shù).（1）若，且，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若，且對任意，都有，求的的取值范圍.解：（1） ， ，令，得，或，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， .（2），設(shè)，依題意，在上是減函數(shù).當時， ，令，得：對恒成立，設(shè)，則，在上是增函數(shù)，則當時，有最大值為，.當時， ，令，得： ，設(shè)，則， 在上是增函數(shù)，綜上所述，10. （1）設(shè)，若對于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，則實數(shù)的取值范圍是 .（2）若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，則實數(shù)的取值范圍是 .解：（1）（2）11. 已知是公差不為0的等差數(shù)列，是等比數(shù)列,其中，且存在常數(shù)、，使得=對每一個正整數(shù)都成立,則= .12. 在直角坐標系平面內(nèi)兩點滿足條件：都在函數(shù)的圖象上；關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一個“友好點對”（點對與看作同一個“有好點對”）.已知函數(shù)則函數(shù)的“友好點對”有 個.13. 已知的三邊長滿足，則的取值范圍是 .解：已知的三邊長滿足，則的取值范圍是 .解：14. 已知分別以為公差的等差數(shù)列,滿足（1）若,且存在正整數(shù),使得,求的最小值；（2）若，且數(shù)列,的前項和滿足,求 的通項公式.解：（1）證明:,，即, 4分. 等號當且僅當即時成立,故時， . 7分 （2），=，10分=， 13分故得，,，因此的通項公式為. 15分15. 已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖像在點處的切線的傾斜角為，問：m在什么范圍取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值？（3）當時，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上至少存在一個，使得成立，試求實數(shù)p的取值范圍 16. 如圖，在ABC中，已知，是平分線.ABCD（1）求證：； （2）求的值.（1）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得， 所以，由得，所以（2）因為，所以.在中，因為，所以17. 已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.（1）證明：數(shù)列成等比數(shù)列的充要條件是；（2）設(shè)（），若對任意成立，求的取值范圍.18. 已知分別以和為公差的等差數(shù)列和滿足，.（1）若，且存在正整數(shù)，使得，求證：；（2）若，且數(shù)列的前項和滿足，求數(shù)列 和的通項公式；（3）在（2）的條件下，令，且，問不等式是否對一切正整數(shù)都成立？請說明理由.19. 若橢圓過點（-3，2），離心率為，O的圓心為原點，直徑為橢圓的短軸，M的方程為，過M上任一點P作O的切線PA、PB，切點為A、B.（1）求橢圓的方程；（2）若直線PA與M的另一交點為Q，當弦PQ最大時，求直線PA的直線方程；（3）求的最大值與最小值.（1）；（2）直線PA的方程為：（3）20. 已知集合，其中為正常數(shù).（1）