甘肅省八年(2004年—2011年)高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳.doc

甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 57 第九章第九章直線 平面和簡(jiǎn)單的幾何體直線 平面和簡(jiǎn)單的幾何體 考試內(nèi)容考試內(nèi)容 平面及其基本性質(zhì) 平面圖形直觀圖的畫法 平行直線 直線和平面平行的判定與性質(zhì) 直線和平面垂直的判定 三垂線定理及其逆定理 兩個(gè)平面的位置關(guān)系 空間向量及其加法 減法與數(shù)乘 空間向量的坐標(biāo)表示 空間向量的數(shù)量積 直線的方向向量 異面直線所成的角 異面直線的公垂線 異面直線的距離 直線和平面垂直的性質(zhì) 平面的法向量 點(diǎn)到平面的距離 直線和平面所成的角 向 量在平面內(nèi)的射影 平行平面的判定和性質(zhì) 平行平面間的距離 二面角及其平面角 兩個(gè)平面垂直的判 定和性質(zhì) 多面體 正多面體 棱柱 棱錐 球 考試要求考試要求 1 理解平面的基本性質(zhì) 會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖 能夠 畫出空間兩條直線 直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形 能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān) 系 2 掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理 理解直線和平面垂直的概念 掌握 直線和平面垂直的判定定理 掌握三垂線定理及其逆定理 3 理解空間向量的概念 掌握空間向量的加法 減法和數(shù)乘 4 了解空間向量的基本定理 理解空間向量坐標(biāo)的概念 掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn) 算 5 掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì) 掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的 公式 掌握空間兩點(diǎn)間距離公式 6 理解直線的方向向量 平面的法向量 向量在平面內(nèi)的射影等概念 7 掌握直線和直線 直線和平面 平面和平面所成的角 距離的概念 對(duì)于異面直 線的距離 只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離掌握直線和平面垂直的性質(zhì) 定理掌握兩個(gè)平面平行 垂直的判定定理和性質(zhì)定理 8 了解多面體 凸多面體的概念 了解正多面體的概念 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 58 9 了解棱柱的概念 掌握棱柱的性質(zhì) 會(huì)畫直棱柱的直觀圖 10 了解棱錐的概念 掌握正棱錐的性質(zhì) 會(huì)畫正棱錐的直觀圖 11 了解球的概念 掌握球的性質(zhì) 掌握球的表面積 體積公式 八年試題匯編八年試題匯編 一 選擇題 共一 選擇題 共 2222 題 題 1 1 2004 2004 年理年理 7 7 對(duì)于直線 m n 和平面 下面命題中的真命題是 A 如果 n 是異面直線 那么mnm n B 如果 n 是異面直線 那么相交mnm 與n C 如果 n 共面 那么mnm nm D 如果 n 共面 那么mnm nm 2 2 2005 2005 年理年理 1111 文文 11 11 不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等 這樣的平面共有 A 3 個(gè) B 4 個(gè) C 6 個(gè) D 7 個(gè) 解 共有 7 個(gè) 它們是由四個(gè)定點(diǎn)組成的四面體的三對(duì)異面直線間的公垂線的三個(gè)中垂面 四面體的四條高的四個(gè)中垂面 選 D 3 3 2006 2006 年理年理 7 7 如圖 平面 平面 A B AB 與兩平面 所成的角分別為 和 過 A B 分別作兩平面交線的垂線 垂足為 4 6 A B 則 AB A B A 2 1 B 3 1 C 3 2 D 4 3 解析 連接 設(shè) AB a 可得 AB 與平面所成的角為 在ABA B 和 4 BAB 同理可得 AB 與平面所成的角為 所以 2 2 Rt BABABa 中有 6 ABA 因此在 所以 1 2 A Aa 22 211 222 Rt AA BA Baaa 中 1 2 1 2 AB A Baa 故選 A A B A B 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 59 A B A B 本題主要考察直線與平面所成的角以及線面的垂直關(guān)系 要用到勾股定理及直角三角形中的 邊角關(guān)系 有一定的難度 4 4 2006 2006 年文年文 7 7 如圖 平面平面 與兩平面 ABAB 所成的角分別為和 過 A B 分別作兩平面交線的垂線 垂足為 4 6 若 AB 12 則 A B A B A 4 B 6 C 8 D 9 解析 連接 設(shè) AB 12 可得 AB 與平面所成的角為 在ABA B 和 4 BAB 同理可得 AB 與平面所成的角為 所以 因 6 2Rt BABAB 中有 6 ABA 6A A 此在 故選 B 6Rt AA BA B 中 本題主要考察直線與平面所成的角以及線面的垂直關(guān)系 要用到勾股定理及直角三角形中的 邊角關(guān)系 有一定的難度 5 5 2007 2007 年理年理 7 7 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等 則 AB1與側(cè)面 ACC1A1所成角的正弦等于 A B C D 6 4 10 4 2 2 3 2 解 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等 取 A1C1的中點(diǎn) D1 連接 BD1 AD1 B1AD1是 AB1與側(cè)面 ACC1A1所成的角 選 11 3 6 2 sin 42 B AD A 6 6 2007 2007 年文年文 7 7 已知三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)的底面邊長(zhǎng)的 2 倍 則側(cè)棱與底面所成角的余弦值 等于 A B C D 3 6 3 4 2 2 3 2 解 已知三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)的底面邊長(zhǎng)的 2 倍 設(shè)底面邊長(zhǎng)為 1 側(cè)棱長(zhǎng)為 2 連接頂點(diǎn)與底 面中心 則側(cè)棱在底面上的射影長(zhǎng)為 所以側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于 選 3 33 6 A 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 60 7 7 2008 2008 年理年理 10 10 已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等 是的中點(diǎn) SABCD ESB 則所成的角的余弦值為 AESD A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 解析解析 連接 AC BD 交于 O 連接 OE 因 OE SD 所以 AEO 為所求 設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)與底 面邊長(zhǎng)都等于 2 則在 AEO 中 OE 1 AO AE 23122 于是 答案答案 C 3 3 3 1 132 2 1 3 cos 222 AEO 8 8 2009 2009 年理年理 5 5 文文 5 5 已知正四棱柱中 為中點(diǎn) 1111 ABCDABC D 1 2AAAB E 1 AA 則異面直線與所成的角的余弦值為BE 1 CD A B C D 10 10 1 5 3 10 10 3 5 解解 令則 連 異面直線與所成的角即1AB 1 2AA 1 AB 1 C D 1 AB BE 1 CD 1 AB 與所成的角 在中由余弦定理易得 故選故選 C BE 1 ABE 1 3 10 cos 10 ABE 9 9 2010 2010 年文年文 8 8 已知三棱錐中 底面為邊長(zhǎng)等于 2 的等邊三角形 SABC ABC 垂直于底面 3 那么直線與平面所成角的正弦值為SAABCSAABSBC A B C D 3 4 5 4 7 4 3 4 解析解析 D D 本題考查了立體幾何的線與面 面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角 本題考查了立體幾何的線與面 面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角 過過 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E 連結(jié) 連結(jié) SESE 過 過 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交 SESE 于于 F F 連 連 BFBF 正三角形正三角形 ABCABC E E 為為 BCBC 中點(diǎn) 中點(diǎn) BC AEBC AE SA BCSA BC BC BC 面面 SAESAE BC AFBC AF AF SEAF SE AF AF 面面 SBCSBC ABF ABF 為直線為直線 ABAB 與面與面 SBCSBC 所成角 由正三角形邊長(zhǎng)所成角 由正三角形邊長(zhǎng) 3 3 AS 3AS 3 SE SE AF AF 3AE 2 3 3 2 3 sin 4 ABF 10 10 2011 2011 年理年理 6 6 已知直二面角 點(diǎn) A AC C 為垂足 B BD D 為垂足 若 AB 2 AC BD 1 則 D 到平面 ABC 的距離等于 A B C S E F 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 61 A B C D 1 2 3 3 3 6 3 思路點(diǎn)撥 本題關(guān)鍵是找出或做出點(diǎn) D 到平面 ABC 的距離 DE 根據(jù)面面垂直的性質(zhì)不難 證明平面 進(jìn)而平面 ABC 所以過 D 作于 E 則 DE 就是要求AC 平平DEBC 的距離 精講精析 選 C 如圖 作于 E 由為直二面角 得DEBC l ACl 平面 進(jìn)而 又 AC ACDE BCDE BCACC 于是平面 ABC 故 DE 為 D 到平面 ABC 的距離 DE 在中 利用等面積法得 Rt BCD 126 33 BDDC DE BC 1111 2011 2011 年文年文 8 8 已知直二面角 點(diǎn) A AC C 為垂足 B BD D 為垂足 若 AB 2 AC BD 1 則 CD A 2 B C D 132 思路點(diǎn)撥 解決本題關(guān)鍵是找出此二面角的平面角 然后把要求的線段放在三角形中 求解即可 精講精析 選 C 在平面內(nèi)過 C 作 連接 BM 則四邊形 CMBD 是平行四邊形 CM BD 因?yàn)?所以 又 就是二面角BDl CMl ACl ACM 的平面角 l 90ACM 所以代入后不難求出 222222 ABAMMBACBDCD 2CD 12 201012 2010 年理年理 1111 文文 11 11 與正方體 ABCD A1B1C1D1的三條棱 AB CC1 A1D1所在直線 的距離相等的點(diǎn) A 有且只有 1 個(gè) B 有且只有 2 個(gè) C 有且只有 3 個(gè) D 有無數(shù)個(gè) 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 62 13 200413 2004 年理年理 10 10 已知球的表面積為 20 球面上有 A B C 三點(diǎn) 如果 AB AC 2 BC 則球心到平面 ABC 的距離為 32 A 1 B C D 223 1414 2004 2004 年文年文 3 3 正三棱柱側(cè)面的一條對(duì)角線長(zhǎng)為 2 且與底面成 45 角 則此三棱柱的 體積為 A B C D 2 6 6 6 6 3 6 1515 2004 2004 年文年文 11 11 已知球的表面積為 20 球面上有 A B C 三點(diǎn) 如果 AB AC BC 2 則球心到平面 ABC 的距離為 3 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 63 A 1B C D 223 1616 2005 2005 年理年理 4 4 文文 4 4 設(shè)三棱柱的體積為 分別是側(cè)棱 111 ABCABC VPQ 1 AA 上的點(diǎn) 且 則四棱錐的體積為 1 CC 1 PAQC BAPQC A B C D 1 6 V 1 4 V 1 3V 1 2 V 解 如圖 11 1 111 1 1 1 3 AABCB A B CB AC QABC A B C VVVV AF QC1 111 B PCQAB CQAB PCA VVV APQC1 APQC 都是平行四邊形 111 B PCQAB CQAB PCA VVV 1 2 11 B CQAB PCA VV 選 C 1 1 1 1 2 2 3 ABC A B C V 1 1 1 1 3 ABC A B C V 1717 2006 2006 年理年理 4 4 過球的一條半徑的中點(diǎn) 作垂直于該半徑的平面 則所得截面的面積與 球的表面積的比為 A B C D 3 16 9 16 3 8 9 32 解析 設(shè)球的半徑為 R 過球的一條半徑的中點(diǎn) 作垂直于該半徑的平面 由勾股定理可得一 個(gè)半徑為的圓 所以 故選 A 3 2 R 2 1 2 2 3 3 2 416 R S SR 本題主要考察截面的形狀和球的表面積公式 難度中等 1818 2008 2008 年理年理 1212 文文 12 12 已知球的半徑為 2 相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè) 圓 若兩圓的公共弦長(zhǎng)為 2 則兩圓的圓心距等于 A 1 B C D 223 答案答案 C 解析解析 設(shè)兩圓的圓心分別為 球心為 公共弦為 AB 其中點(diǎn)為 E 則 1 O 2 OO 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 64 為矩形 于是對(duì)角線 而 21EO OOOEOO 21 312 2222 AEOAOE 3 21 OO 高考考點(diǎn)高考考點(diǎn) 球的有關(guān)概念 兩平面垂直的性質(zhì) 1919 2008 2008 年文年文 8 8 正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為 側(cè)棱與底面所成的角為 則該棱錐的32 60 體積為 A 3 B 6 C 9 D 18 答案答案 B 解析解析 高 又因底面正方形的對(duì)角線等于 底面積為360sin32 h32 體積6332 2 1 2 S636 3 1 V 備考提示備考提示 在底面積的計(jì)算時(shí) 要注意多思則少算 20 20 2010 2010 年理年理 9 9 已知正四棱錐中 那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí) SABCD 2 3SA 它的高為 A 1 B C 2 D 33 21 200921 2009 年理年理 1212 文文 12 12 紙質(zhì)的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上 下 東 南 西 北 現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開 外面朝上展平 得到右側(cè)的平面圖形 則標(biāo) 的面的方位是 A 南 B 北 C 西 D 下 答案 答案 B 解析 解析 此題用還原立體圖方法直接得出結(jié)果 使上在正上方依次找此題用還原立體圖方法直接得出結(jié)果 使上在正上方依次找 上東 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 65 到對(duì)應(yīng)面即可 到對(duì)應(yīng)面即可 2222 2011 2011 年理年理 1111 文文 12 12 已知平面 截一球面得圓 M 過圓心 M 且與 成二面角的 0 60 平面 截該球面得圓 N 若該球面的半徑為 4 圓 M 的面積為 4 則圓 N 的面積為 A 7 B 9 C 11 D 13 思路點(diǎn)撥 做出如圖所示的圖示 問題即可解決 精講精析 選 D 作示意圖如 由圓 M 的面積為 4 易得 22 2 2 3MAOMOAMA 中 Rt OMN 30OMN 故 s303 ONOMin 所以圓 N 的面積為 13 2222 4 3 13NCOCON 二 填空題 共二 填空題 共 7 7 題 題 1 1 2011 2011 年文年文 15 15 已知正方體ABCD A1B1C1D4中 E 為C1 D1的中點(diǎn) 則異面直線 AE 與 BC 所成角的余弦值為 思路點(diǎn)撥 找出異面直線 AE 與 BC 所成的角是解本題的關(guān)鍵 只要在平面 A1B1C1D1內(nèi)過 E 作及 B1C1的平行線即可 精講精析 取 A1B1的中點(diǎn) M 連接 EM AM AE 則就是異面直線 AE 與 BC 所 2 3 AEM 成的角 在中 AEM 22 2352 cos 2 2 33 AEM 2 2 2011 2011 年理年理 16 16 己知點(diǎn) E F 分別在正方體ABCD A1B2C3D4的棱BB1 CC1上 且 B1E 2EB CF 2FC1 則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于 思路點(diǎn)撥 本題應(yīng)先找出兩平面的交線 進(jìn)而找出或做出二面角的平面角是解決此問題 的關(guān)鍵 延長(zhǎng) EF 必與 BC 相交 交點(diǎn)為 P 則 AP 為面 AEF 與面 ABC 的交線 精講精析 延長(zhǎng) EF 交 BC 的延長(zhǎng)線于 P 則 AP 為面 AEF 與面 ABC 的交線 因?yàn)?2 3 所以為面 AEF 與面 ABC 所成的二面角的平面角 90CAP FCA 2 2 3 tan 32 FC FCA CA 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 66 3 3 2006 2006 年文年文 14 14 圓是以為半徑的球的小圓 若圓的面積和球的表面積 1 o RO 1 o 1 S O 的比為 則圓心到球心的距離與球半徑的比 S1 2 9SS 1 o O1 OOR 解 設(shè)圓的半徑為 r 則 由得 r R 3 1 O 1 S 2 r S 2 4 R 1 2 9SS 2 2 又 可得1 3 222 1 rOOR 1 OOR 4 4 2007 2007 年理年理 1515 文文 15 15 一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為 2cm 的球面上 如果正四 棱柱的底面邊長(zhǎng)為 1cm 那么該棱柱的表面積為 cm 2 解 一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為 2cm 的球面上 正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為球的 直徑 現(xiàn)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為 1cm 設(shè)正四棱柱的高為 h 2R 2 解得 222 11h h 那么該棱柱的表面積為 2 4cm2 22 5 5 2008 2008 年理年理 1616 文文 16 16 平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè) 如兩組對(duì) 邊分別平行 類似地 寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件 充要條件 充要條件 寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件 答案答案 兩組相對(duì)側(cè)面分別平行 一組相對(duì)側(cè)面平行且全等 對(duì)角線交于一點(diǎn) 底面是平 行四邊形 注 上面給出了四個(gè)充要條件 如果考生寫出其他正確答案 同樣給分 6 6 2008 2008 年理年理 1515 文文 16 16 設(shè) OA 是球 O 的半徑 M 是 OA 的中點(diǎn) 過 M 且與 OA 成 45 角 的平面截球 O 的表面得到圓 C 若圓 C 的面積等于 則球 O 的表面積等于 4 7 答案 答案 8 解析 本題考查立體幾何球面知識(shí) 注意結(jié)合平面幾何知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算解析 本題考查立體幾何球面知識(shí) 注意結(jié)合平面幾何知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算 設(shè)球半徑為 圓的半徑為 因?yàn)镽Cr 22 77 44 4rr 得由 由得 故球的表面積等于 22 224 R OCR 2222 217 484 RRrR 2 2R O 8 7 7 2010 2010 年理年理 1616 文文 16 16 已知球的半徑為 4 圓與圓為該球的兩個(gè)小圓 為OMNAB 圓與圓的公共弦 若 則兩圓圓心的距離 MN4AB 3OMON MN 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 67 答案 3 命題意圖 本試題主要考查球的截面圓的性質(zhì) 解三角形問題 解析 設(shè) E 為 AB 的中點(diǎn) 則 O E M N 四點(diǎn)共面 如圖 4AB 所以 2 2 AB OER2 3 2 ME 3 由球的截面性質(zhì) 有OMME ONNE 3OMON 所以MEO 與NEO 全等 所以 MN 被 OE 垂直平分 在直角三角形 中 由面積相等 可得 ME MO MN 23 OE 三 解答題 共三 解答題 共 8 8 題 題 1 1 2004 2004 年理年理 2020 文文 21 21 如圖 四棱錐 P ABCD 中 底面 ABCD 為矩形 AB 8 AD 4 側(cè)面 PAD 為等邊三角形 并且與3 底面所成二面角為 60 求四棱錐 P ABCD 的體積 證明 PA BD 本小題主要考查棱錐的體積 二面角 異面直線所成的角等知識(shí)和空間想象能力 分析 問題能力 滿分 12 分 解 如圖 1 取 AD 的中點(diǎn) E 連結(jié) PE 則 PE AD 作 PO 平面在 ABCD 垂足為 O 連結(jié) OE 根據(jù)三垂線定理的逆定理得 OE AD 所以 PEO 為側(cè)面 PAD 與底面所成的二面角的平面角 由已知條件可知 PEO 60 PE 6 所以 PO 3 四棱錐 P ABCD 的體積3 VP ABCD 9633348 3 1 解法一 如圖 1 以 O 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 通過計(jì)算可得 P 0 0 3 A 2 3 0 B 2 5 0 D 2 3 0 3333 所以 0 8 34 33 3 32 BDPA 因?yàn)?所以 PA BD 002424 BDPA 解法二 如圖 2 連結(jié) AO 延長(zhǎng) AO 交 BD 于點(diǎn) F 通過計(jì)算可得 EO 3 AE 2 3 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 68 Z Z Y Y X X O O D D C C B B A A V V 又知 AD 4 AB 8 3 得 AB AD AE EO 所以 Rt AEO Rt BAD 得 EAO ABD 所以 EAO ADF 90 所以 AF BD 因?yàn)?直線 AF 為直線 PA 在平面 ABCD 內(nèi)的身影 所以 PA BD 2 2 2005 2005 年理年理 1818 文文 19 19 如圖 在四棱錐 V ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 側(cè)面 VAD 是正三角形 平面 VAD 底面 ABCD 證明 AB 平面 VAD 求面 VAD 與面 VDB 所成的二面角的大小 方法一 證明 ABAD AB ABABCD ADVADABCD 平面VAD平面ABC D 平面VAD 平面 平面平面 解 取 VD 的中點(diǎn) E 連結(jié) AE BE VAD 是正三角形 AE VD AF AD 3 2 AB 平面 VAD AB AE 又由三垂線定理知 BE VD 因此 是所求二面角的平面角AEB 于是 即得所求二面角的大小為 2 3 tan 3 AB AEB AE 2 3 arctan 3 方法二 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立如圖所示的坐標(biāo)系 證明 不妨設(shè) 則 10 0A 110B 13 0 22 V 13 0100 22 ABVA 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 69 由 得0AB VA ABVA 又 因而與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直 ABAD ABVADVAVD 平面AB VAD 解 設(shè)為中點(diǎn) 則EDV 13 0 44 E 333313 010 444422 EAEBDV 由 得 又0EB DV EBDV EADV 因此 是所求二面角的平面角 AEB 21 cos 7 EA EB EAEB EAEB 解得所求二面角的大小為 21 cos 7 arc 3 3 2006 2006 年理年理 1919 文文 20 20 如圖 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC D E 分別為 BB1 AC1的中點(diǎn) 證明 ED 為異面直線 BB1與 AC1的公垂線 設(shè) AA1 AC AB 求二面角 A1 AD C1的大小 2 解法一 設(shè) O 為 AC 中點(diǎn) 連接 EO BO 則 EOC1C 又 C1CB1B 所以 1 2 EODB EOBD 為平行四邊形 ED OB 2 分 AB BC BO AC 又平面 ABC 平面 ACC1A1 BO 面 ABC 故 BO 平面 ACC1A1 ED 平面 ACC1A1 BD AC1 ED CC1 ED BB1 ED 為異面直線 AC1與 BB1的公垂線 6 分 連接 A1E 由 AA1 AC AB 可知 A1ACC1為正方形 2 A1E AC1 又由 ED 平面 ACC1A1和 ED 平面 ADC1知平面 ADC1 平面 A1ACC1 A1E 平面 ADC1 作 EF AD 垂足為 F 連接 A1F 則 A1F AD A1FE 為二面角 A1 AD C1的平面角 A BC D E A1 B1 C1 A BC D E A1 B1 C1 O F 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 70 不妨設(shè) AA1 2 則 AC 2 AB ED OB 1 EF 2 AE ED AD 2 3 tan A1FE A1FE 60 3 所以二面角 A1 AD C1為 60 12 分 解法二 如圖 建立直角坐標(biāo)系 O xyz 其中原點(diǎn) O 為 AC 的中點(diǎn) 設(shè) A a 0 0 B 0 b 0 B1 0 b 2c 則 C a 0 0 C1 a 0 2c E 0 0 c D 0 b c 3 分 0 b 0 0 0 2c ED BB 1 0 ED BB1 EDBB 1 又 2a 0 2c AC 1 0 ED AC1 6 分 EDAC 1 所以 ED 是異面直線 BB1與 AC1的公垂線 不妨設(shè) A 1 0 0 則 B 0 1 0 C 1 0 0 A1 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 0 2 BCAB AA 1 0 0 即 BC AB BC AA1 又 AB AA1 A BC ABBCAA 1 BC 平面 A1AD 又 E 0 0 1 D 0 1 1 C 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 ECAEED 0 0 即 EC AE EC ED 又 AE ED E EC AEEC ED EC 面 C1AD 10 分 cos 即得和的夾角為 60 ECBC 1 2ECBC 所以二面角 A1 AD C1為 60 12 分 4 4 2007 2007 年理年理 1919 文文 20 20 如圖 在四棱錐 S ABCD 中 底面 ABCD 為正方形 側(cè)棱 SD 底面 ABCD E F 分別是 AB SC 的中點(diǎn) 1 求證 EF 平面 SAD A B C D P E F A B C D E A1 B1 C1 O z x y 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 71 2 設(shè) SD 2CD 求二面角 A EF D 的大小 解法一 1 作交于點(diǎn) 則為的中點(diǎn) FGDC SDGGSD 連結(jié) 又 1 2 AGFGCD CDAB 故為平行四邊形 FGAEAEFG 又平面平面 EFAG AG SADEF SAD 所以平面 EF SAD 2 不妨設(shè) 則為等2DC 42SDDGADG 腰直角三角形 取中點(diǎn) 連結(jié) 則 AGHDHDHAG 又平面 所以 而 AB SADABDH ABAGA 所以面 DH AEF 取中點(diǎn) 連結(jié) 則 EFMMHHMEF 連結(jié) 則 DMDMEF 故為二面角的平面角DMH AEFD 2 tan2 1 DH DMH HM 所以二面角的大小為 AEFD arctan2 解法二 1 如圖 建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz 設(shè) 則 0 0 0 0 A aSb 0 00 B aaCa 00 22 2 aa b E aF 0 2 b EFa 取的中點(diǎn) 則 SD0 0 2 b G 0 2 b AGa 平面平面 EFAGEFAGAG SADEF SAD 所以平面 EF SAD A A EB C F S D G M y z x 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 72 2 不妨設(shè) 則 10 0 A 11 110 010 0 0 2 1001 22 BCSEF 中點(diǎn)EF 1 1 1111 101 0 2 2 2222 MMDEFMD EFMDEF 又 1 00 2 EA 0EA EFEAEF 所以向量和的夾角等于二面角的平面角 MD EA AEFD 3 cos 3 MD EA MD EA MD EA 所以二面角的大小為 AEFD 3 arccos 3 5 5 2008 2008 年理年理 1919 文文 20 20 如圖 正四棱柱中 1111 ABCDABC D 點(diǎn)在上且 1 24AAAB E 1 CCECEC3 1 證明 平面 1 AC BED 求二面角的大小 1 ADEB 解法一 依題設(shè)知 2AB 1CE 連結(jié)交于點(diǎn) 則 ACBDFBDAC 由三垂線定理知 3 分 1 BDAC 在平面內(nèi) 連結(jié)交于點(diǎn) 1 ACAEF 1 ACG 由于 1 2 2 AAAC FCCE 故 1 RtRtA ACFCE 1 AACCFE 與互余 CFE 1 FCA 于是 1 ACEF 與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直 1 ACBEDBDEF 所以平面 6 分 1 AC BED A B CD E A1 B1 C1 D1 A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 73 作 垂足為 連結(jié) 由三垂線定理知 GHDE H 1 AH 1 AHDE 故是二面角的平面角 8 分 1 AHG 1 ADEB 22 3EFCFCE 2 3 CECF CG EF 22 3 3 EGCECG 1 3 EG EF 12 315 EFFD GH DE 又 22 11 2 6ACAAAC 11 5 6 3 AGACCG 1 1 tan5 5 AG AHG HG 所以二面角的大小為 12 分 1 ADEB arctan5 5 解法二 以為坐標(biāo)原點(diǎn) 射線為軸的正半軸 DDAx 建立如圖所示直角坐標(biāo)系 Dxyz 依題設(shè) 1 2 2 0 0 2 0 0 21 2 0 4 BCEA 0 21 2 2 0 DEDB 3 分 11 2 24 2 0 4 ACDA 因?yàn)?1 0AC DB 1 0AC DE 故 1 ACBD 1 ACDE 又 DBDED 所以平面 6 分 1 AC DBE 設(shè)向量是平面的法向量 則 xyz n 1 DAE DE n 1 DA n 故 20yz 240 xz 令 則 9 分1y 2z 4x 412 n A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 74 等于二面角的平面角 1 AC n 1 ADEB 1 1 1 14 cos 42 AC AC AC n n n 所以二面角的大小為 12 分 1 ADEB 14 arccos 42 6 6 2009 2009 年理年理 1818 文文 19 19 如圖 直三棱柱中 分別為 111 ABCABC ABAC D E 的中點(diǎn) 平面 w w w k s 5 u c o m 1 AA 1 BCDE 1 BCC I 證明 ABAC II 設(shè)二面角為 60 求與平面所成的ABDC 1 BCBCD 角的大小 I 分析一分析一 連結(jié) BE 為直三棱柱 111 ABCABC 1 90 B BC 為的中點(diǎn) 又平面 E 1 BCBEEC DE 1 BCC 射影相等的兩條斜線段相等 而平面BDDC DA ABC 相等的斜線段的射影相等 ABAC 分析二分析二 取的中點(diǎn) 證四邊形為平行四邊形 進(jìn)BCFAFED 而證 得也可 AFDEAFBC ABAC 分析三分析三 利用空間向量的方法 以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn) 射線 AB 為 x 軸的正半軸 建立如圖所 示的直角坐標(biāo)系 A xyz 設(shè) B 1 0 0 C 0 b 0 D 0 0 c 則 1 0 2c E c 1 B 1 22 b 于是 0 1 b 0 由 DE 平面知 DE BC DE 1 22 b BC 1 BCC 0 求得 b 1 所以 AB AC DE BC II 分析一分析一 求與平面所成的線面角 只需求點(diǎn)到面的距離即可 1 BCBCD 1 BBDC 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 75 作于 連 則 為二面角的平面角 AGBD GGCGCBD AGC ABDC 不妨設(shè) 則 在中 由60AGC 2 3AC 2 4AGGC RT ABD 易得 AD ABBD AG 6AD 設(shè)點(diǎn)到面的距離為 與平面 1 BBDCh 1 BC 所成的角為 利用BCD 可求得 又 1 11 33 B BCBCD SDESh h 2 3 可求得 1 4 3BC 1 1 sin30 2 h BC 即與平面所成的角為 1 BCBCD30 分析二分析二 作出與平面所成的角再行求解 如圖可證得 所 1 BCBCDBCAFED 面 以面 由分析一易知 四邊形為正方形 連 AFEDBDC 面AFEDAEDF 并設(shè)交點(diǎn)為 則 為在面內(nèi)的射影 OEOBDC 面OC ECBDC 以下略 ECO 即為所求 分析三 分析三 利用空間向量的方法求出面的法向量 則與平面所成的角BDCn 1 BCBCD 即為與法向量的夾角的余角 1 BC n 1 2 1 0 2 1 1 2 AC AB1AA2x x AGBDG AG x1 CAABBCGCGBD AC CGA60tan AG 12 3 AA2 2 AAB AC AA 2 BD 1 0BC 1 1 0 2 nx CGA x x x 解 設(shè) 作于則 依題意有面 連 則 所以 由得 解得所以 以為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別為x y z軸正方向 建系 則 設(shè) 1 2 n BDxz0 y z 2 n BCxy0 n 1 1 2 CB1 12 且 取又 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 76 總之在目前 立體幾何中的兩種主要的處理方法 傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自 半壁江山的狀況 命題人在這里一定會(huì)兼顧雙方的利益 7 7 2010 2010 年理年理 1919 文文 19 19 如圖 直三棱柱中 111 ABCABC 為的中點(diǎn) 為上的一ACBC 1 AAAB D 1 BBE 1 AB 點(diǎn) 1 3AEEB 證明 為異面直線與的公垂線 DE 1 ABCD 設(shè)異面直線與的夾角為 45 求二面角的大小 1 ABCD 111 AACB 分析分析 本題考查了立體幾何中直線與平面 平面與平面及異面直線所成角與二面角的基本題考查了立體幾何中直線與平面 平面與平面及異面直線所成角與二面角的基 礎(chǔ)知識(shí) 礎(chǔ)知識(shí) 1 1 要證明 要證明 DEDE 為為 AB1AB1 與與 CDCD 的公垂線 即證明的公垂線 即證明 DEDE 與它們都垂直 由與它們都垂直 由 AE 3EB1AE 3EB1 有 有 DEDE 與與 BA1BA1 平行 由平行 由 A1ABB1A1ABB1 為正方形 可證得 證明為正方形 可證得 證明 CDCD 與與 DEDE 垂直 取垂直 取 ABAB 中點(diǎn)中點(diǎn) F F 連結(jié) 連結(jié) DFDF FCFC 證明 證明 DEDE 與平面與平面 CFDCFD 垂直即可證明垂直即可證明 DEDE 與與 CDCD 垂直 垂直 2 2 由條件將異面直線 由條件將異面直線 AB1AB1 CDCD 所成角找出即為所成角找出即為FDCFDC 設(shè)出 設(shè)出 ABAB 連長(zhǎng) 求出所有能求出連長(zhǎng) 求出所有能求出 的邊長(zhǎng) 再作出二面角的平面角 根據(jù)所求的邊長(zhǎng)可通過解三角形求得 的邊長(zhǎng) 再作出二面角的平面角 根據(jù)所求的邊長(zhǎng)可通過解三角形求得 解析解析 解法一 解法一 連結(jié) 記與的交點(diǎn)為 F 因?yàn)槊鏋檎叫?故 1 A B 1 A B 1 AB 11 AA BB 11 A BAB 且 又 所以 又 D 為的中點(diǎn) 故 1 AF FB 1 AE 3EB 1 FE EB 1 BB 1 DEBFDEAB 作 G 為垂足 由 AC BC 知 G 為 AB 中點(diǎn) CGAB 又由底面面 得 ABC 11 AA B BCG 11 AA B B 連結(jié) DG 則 故 由三垂線定理 1 DGAB DEDG 得 DECD 所以 DE 為異面直線與 CD 的公垂線 1 AB 因?yàn)?故為異面直線與的夾角 1 DGAB CDG 1 ABCDCDG 45 設(shè) AB 2 則 1 AB2 2 DG 2CG 2AC 3 作 H 為垂足 因?yàn)榈酌?故 111 B HA C 11111 A B CAAC C 面 111 B HAAC C 面 又作 K 為垂足 連結(jié) 由三垂線定理 得 因此為 1 HKAC 1 B K 11 B KAC 1 B KH 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 77 解法二 解法二 以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn) 射線 BA 為軸正半軸 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系x Bxyz 設(shè) AB 2 則 A 2 0 0 D 0 1 0 1 B 0 2 0 1 3 E 0 2 2 又設(shè)C 1 0 c 則 1 1 1 DE0B A 2 2 0 DC 1 1 c 2 2 于是 1 DE B A 0 DE DC 0 故 1 DEB ADEDC 所以 DE 為異面直線與 CD 的公垂線 1 AB 因?yàn)榈扔诋惷嬷本€與 CD 的夾角 1 B A DC 1 AB 故 11 cos45B A DCB A DC 即 2 2 2 224 2 c 解得 故 2c AC 22 1 又 11 AA BB 0 2 0 所以 11 AC AC AA 1 22 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 78 所以 1 cos 15 m n m n m n 由于等于二面角的平面角 m n 111 A AC B 所以二面角的大小為 111 A AC B 15 arccos 15 8 8 2011 2011 年理年理 1919 文文 20 20 如圖 四棱錐中 AB CD 側(cè)面為SABCD BCCD SAB 等邊三角形 2 1ABBCCDSD 證明 SDSAB 求與平面所成角的大小 ABSBC 思路點(diǎn)撥 第 I 問的證明的突破口是利用等邊三角形 SAB 這個(gè)條件 找出 AB 的中點(diǎn) E 連結(jié) SE DE 就做出了解決這個(gè)問題的關(guān)鍵輔助線 II 本題直接找線面角不易找出 要找到與 AB 平行的其它線進(jìn)行轉(zhuǎn)移求解 精講精析 證明 I 取 AB 中點(diǎn) E 連結(jié) DE 則四邊形 BCDE 為矩形 DE CB 2 連結(jié) SE 則 3SEAB SE 又 SD 1 故 222 EDSESD 所以為直角 DSE 由 得 ABDE ABSE DESEE 所以 ABSDE 平平ABSD SD 與兩條相交直線 AB SE 都垂直 D C A S BE F G H 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 79 所以SDSAB 平平 II 由知 ABSDE 平平ABCDSDE 平平平平 作 垂足為 F 則 SFDE SFABCD 平平 3 2 SDSE SF DE 作 垂足為 G 則 FG DC 1 FGBC 連結(jié) SG 則SGBC 又 故 FGBC SGFGG BCSFGSBCSFG 平平平平平平 作 H 為垂足 則 FHSG FHSBC 平平 3 7 SFFG FH SG 即 F 到平面 SBC 的距離為 21 7 由于 ED BC 所以 ED 平面 SBC E 到平面 SBC 的距離 d 也為 21 7 設(shè) AB 與平面 SBC 所成的角為 則 21 sin 7 d EB 21 arcsin 7 解法二 以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn) 射線 CD 為 x 軸正半軸 建立如圖所示的直角坐 標(biāo)系 C xyz 設(shè) D 1 0 0 則 A 2 2 0 B 0 2 0 又 設(shè) S x y z 則 x 0 y 0 z 0 I 2 2 2 1 ASxyz BSx yz DSxy z 由得 222222 2 2 2 ASBSxyzxyz 故 x 1 由得 1DS 22 1yz 又由得 2BS 222 2 4xyz 即 故 22 410yzy 13 22 yz 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 80 于是 13333313 1 1 1 0 22222222 SASBSDS 0 0DS ASDS BS 故 又 DSAS DSBS ASBSS 所以 SDSAB 平平 II 設(shè)平面 SBC 的法向量 am n p 則 0 0 aBS aCB a BSa CB 又 33 1 0 2 0 22 BSCB 故 33 0 22 20 mnp n 取得 又2p 3 0 2 a 2 0 0 AB 故 AB 與平面 SBC 所成的角為 21 cos 7 AB a AB a ABa 21 arcsin 7 第十章第十章排列 組合 二項(xiàng)式定理排列 組合 二項(xiàng)式定理 考試內(nèi)容考試內(nèi)容 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理 排列 排列數(shù)公式 組合 組合數(shù)公式 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) 二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)展開式的性質(zhì) 考試要求考試要求 1 掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理 并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問 題 2 理解排列的意義 掌握排列數(shù)計(jì)算公式 并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題 3 理解組合的意義 掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì) 并能用它們解決一些簡(jiǎn) 單的應(yīng)用問題 甘肅省八年 甘肅省八年 20042004 年年 20112011 年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析年 高考數(shù)學(xué)試卷分類匯編及詳細(xì)解析 81 4 掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì) 并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問題 八年試題匯編八年試題匯編 一 選擇題 共一 選擇題 共 1212 題 題 1 1 2004 2004 年理年理 9 9 文文 9 9 從 5 位男教師和 4 位女教師中選出 3 位教師 派到 3 個(gè)班擔(dān)任班主 任 每班 1 位班主任 要求這 3 位班主任中男 女教師都要有 則不同的選派方案共有 A 210 種B 420 種C 630 種D 840 種 2 2 2006 2006 年文年文 12 12 5 名志愿者分到 3 所學(xué)校支教 每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者 則不同的 分派方法共有 A 150 種 B 180 種 C 200 種 D 280 種 解 人數(shù)分配上有兩種方式即 1 2 2 與 1 1 3 若是 1 2 2 則有 60 種 若是 1 1 3 則有 90 種 311 3 521 3 2 2 C C C A A 122 3 542 3 2 2 C C C A A 所以共有 150 種 選 A 3 3 2007 2007 年理年理 10 10 從 5 位同學(xué)中選派 4 位同學(xué)在星期五 星期六 星期日參加公益活動(dòng) 每人一天 要求星期五有 2 人參加 星期六 星期日各有 1 人參加 則不同的選派方法共 有 A 40 種 B 60 種 C 100 種 D 120 種 從 5 位同學(xué)中選派 4 位同學(xué)在星期五 星期六 星期日參加公益活動(dòng) 每人一天 要求星 期五有 2 人參加 星期六 星期日各有 1 人參加 則不同的選派方法共有種 22 53