數(shù)學(xué)命題中的失誤例談.doc

數(shù)學(xué)命題中的失誤例談?wù)憬≈T暨中學(xué) 邵躍才 311800編擬數(shù)學(xué)習(xí)題是每一位數(shù)學(xué)教師的基本功，它是一項(xiàng)艱苦而細(xì)致的工作?？v觀近幾年各地的高考模擬試卷和數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，盡管命題者在命題的科學(xué)性、合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性等方面作出了很大的努力，但疏漏現(xiàn)象仍時(shí)有發(fā)生。一個(gè)不合理或錯(cuò)誤的命題，不但浪費(fèi)學(xué)生寶貴的時(shí)間和精力，而且可能把初學(xué)者引入歧途，給學(xué)生的邏輯思維能力的形成和發(fā)展帶來(lái)?yè)p害。本文試以近年來(lái)各地的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料和高考模擬試卷中一些命題的失誤現(xiàn)象為例加以剖析，以引起命題者和教學(xué)者的注意，避免或減少此類失誤，做到防患于未然。1 忽視隱含條件例1 過(guò)點(diǎn)A（1，）作雙曲線的弦，此弦被A點(diǎn)平分，求這弦所在的直線方程。 （浙江教育出版社解析幾何精編99版）解 設(shè)所求弦與雙曲線交點(diǎn)為M（x1，y1）、N（x2，y2）則相減得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)=0x1x2=2, y1y2=1剖析 上述解法是正確的，但求得的直線是雙曲線的一條漸近線，顯然與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。錯(cuò)誤原因是命題者設(shè)計(jì)題目時(shí)忽視了直線與雙曲線相交的隱含條件“0”。修正方法是：調(diào)整A點(diǎn)的坐標(biāo)。例2 若長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為8cm，它的長(zhǎng)、寬、高之和為14cm，求長(zhǎng)方體的表面積。解 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c厘米，則 即S表=132cm2剖析 命題者的意圖是考查學(xué)生整體思考的數(shù)學(xué)思想方法和長(zhǎng)方體有關(guān)的知識(shí)，但在設(shè)計(jì)題目時(shí)忽視了隱含條件，即即對(duì)角線長(zhǎng)大于8cm，所以上面題中的長(zhǎng)方體是不存在的，修正方法是：調(diào)整長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)。2 選擇支編擬不當(dāng)例3 ABC的三個(gè)內(nèi)角是A、B、C，若cosAsinB,則C是（ ）A銳角. B.直角. C.鈍角. D.銳角、直角、鈍角者有可能.解 由cosAsinB可知A為銳角，又cosAsinBcosAcos(B)及余弦函數(shù)在（0，）上的單調(diào)性可得，故選C。剖析 命題者的意圖是通過(guò)上面解法選C，但上述解法是錯(cuò)誤的。因?yàn)锽不一定是銳角，也可能是負(fù)角。當(dāng)B為鈍角時(shí)，C為銳角；當(dāng)B為銳角時(shí)，C為鈍角；C不可能是直角。修正方法是：改“C是”為“ABC的形狀是”,選擇支的形式也相應(yīng)修改。 3與條件相悖例4直線2xy1=0是ABC的一條內(nèi)角一部分線，點(diǎn)A（1，2）、B（1，1）是兩個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)。 （任志鴻數(shù)學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)）解 點(diǎn)A（1，2）、B（1，1）不滿足方程2xy1=0，所以直線2xy1=0是ACB的平分線，設(shè)A（1，2）關(guān)于直線2xy1=0的對(duì)稱點(diǎn)是A/(a，b )，則A/在直線BC上 解得，即A/（）所以直線BC的方程為x2y+3=0解方程組得C點(diǎn)坐標(biāo)為（）剖析 上述解法沒(méi)有錯(cuò)誤，但求得的直線BC的方程x2y+3=0剛好與ACB的平分線2xy1=0互相垂直，即此時(shí)A、B、C三點(diǎn)共線，這與題設(shè)“ABC”相矛盾。修正方法是：調(diào)整A點(diǎn)（或B點(diǎn)）的坐標(biāo)或改ACB的平分線的方程。4賦值不當(dāng)例5 已知是定義在R上的偶函數(shù)，若是奇函數(shù)，且=則的值等于（ ） （天津市2001年高考模擬試題）（A）2000 （B）2001 （C）2000 （D）2001解 =又= =，=，故選B分析 從上述解法可看出，但另一方面，是定義在R上的奇函數(shù)，故。錯(cuò)誤原因是命題者對(duì)賦值不當(dāng)。修正方法是：改“”為及選擇支。5條件不充分例6 國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)（記作n）來(lái)衡量一個(gè)國(guó)家和地區(qū)人民生活水平的狀況，它的計(jì)算公式為，各種類型家庭的n如下表所示：家庭類型貧 困溫 飽小 康富 裕最富裕nn60%50%n60%40%n50%30%n40%n30%根據(jù)某市城區(qū)家庭抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，1996年至2001年間，每戶家庭消費(fèi)支出總額每年平均增加680元，其中食品消費(fèi)支出總額每年平均增加100元。（1）若1996年該市城區(qū)家庭剛達(dá)到小康，且該年每戶家庭消費(fèi)支出總額為8600元，問(wèn)2001年能否達(dá)到富裕？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若2001年比1996年的消費(fèi)支出總額增加34%，而其中食品消費(fèi)支出總額增加10%，問(wèn)從哪一年起能達(dá)到富裕？請(qǐng)說(shuō)明理由。(紹興市2002年高三模擬試題)解（1）由題意，1996年該市城區(qū)家庭剛達(dá)到小康，故n=50%，又1996年每戶家庭消費(fèi)支出總額為8600元，所以1996年每戶家庭食品消費(fèi)支出總額為860050%=4300元。到2001年該市城區(qū)每戶家庭的消費(fèi)支出總額為8600+68050%=12000元，每戶家庭的食品消費(fèi)支出總額為4300+5100=4800元。2001年的恩格爾系數(shù)，剛好達(dá)到富裕。（2）設(shè)1996年每戶家庭消費(fèi)支出總額為a，食品消費(fèi)支出總額為b，則設(shè)經(jīng)過(guò)x年可達(dá)到富裕，則由題意得恩格爾系數(shù)x6，即從2002年起可達(dá)到富裕。分析 這是一道經(jīng)濟(jì)學(xué)范疇內(nèi)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，題（1）沒(méi)有錯(cuò)誤。但題（2）在命題者所提供的“1996年至2001年間，每戶家庭消費(fèi)支出總額每年平均增加680元，其中食品消費(fèi)支出總額每年平均增加100元”的條件下，求得從2002年起能達(dá)到富裕，而從2001年起每戶家庭的消費(fèi)支出總額和食品消費(fèi)支出總額是否仍按原方式增長(zhǎng)？題中沒(méi)有交待清楚，因此，題（2）的條件不充分。修正方法是：把“1996年至2001年間”