電動力學(xué)習(xí)題答案第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律.doc

第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1. 根據(jù)算符的微分性與矢量性，推導(dǎo)下列公式：解：矢量性為 微商性 由得 +得上式得令得 2.設(shè)是空間坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)，證明：解： 3.設(shè)為原點到場點的距離，的方向規(guī)定為從原點指向場點。 證明下列結(jié)果，并體會對原變數(shù)求微商（）與對場變數(shù)求微商 （ ）的關(guān)系 （最后一式在r=0點不成立，見第二章第五節(jié)） 求及，其中及均為常矢量。解： 4. 4. 應(yīng)用高斯定理證明 應(yīng)用斯托克斯（Stokes）定理證明解： 5. 5. 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為利用電荷守恒定律證明的變化率為解： 取被積區(qū)域大于電荷系統(tǒng)的區(qū)域，即V的邊界S上的，則 。 6. 若是常矢量，證明除R=0點以外矢量的旋度等于標(biāo)量的梯度的負(fù)值，即,其中R為坐標(biāo)原點到場點的距離，方向由原點指向場點。解： 7. 有一內(nèi)外半徑分別為和的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求 空間各點的電場； 極化體電荷和極化面電荷分布。解：對空間做高斯面，由： 對空間：做高斯面，由 對空間: 做高斯面，由 由 時,由邊值條件:(由1指向2)8. 內(nèi)外半徑分別為 和 的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流 ，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。解：由 所以 所以方向為 對區(qū)域由 方向為 對區(qū)域有: (2) (2) 由 由 由同理由 得9. 證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度的倍。即：解：由均勻介質(zhì)有 由得 兩邊求散度 由得 10. 證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等，發(fā)向相反。（但兩個電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律）解：令兩個線圈中的電流分別為和。電流圈對另一個電流圈中的電流元的作用力為： 其中 是電流圈在電流元處激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，是從中的電流元到電流元的矢徑。將式代入式，并對積分，利用斯托克斯定理,同時注意到,即得到電流圈對的作用力： 同樣，電流圈對中的電流元的作用力為: 其中 是電流圈在電流元處激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度,是從電流元到電流元的矢徑。對的作用力為 注意到于是有 11. 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為 和 ，電容率為 和，令在兩板接上電動勢為 的電勢，求：電容器兩板上的自由電荷面密度介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度；若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為和，當(dāng)電流達(dá)到恒定時，上述兩問題的結(jié)果如何？解： 由 得當(dāng)介質(zhì)漏電時由得有同理12. 證明： 當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶自由電荷時，電場線的曲折滿足：其中和分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒電流時，分界面上電場線曲折滿足，其中1和2分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。解： 切向分量連續(xù)有 代入上式得： ，切向分量連續(xù)， 有 代入上式得13.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況下，導(dǎo)體的電場線總是平行于導(dǎo)體表面。解：由邊值關(guān)系： 又由邊值關(guān)系 即 因為假設(shè)為靜電情況 即導(dǎo)體外的電場線總是垂直于導(dǎo)體表面。在恒定電流情況下：由 因為 所以 即導(dǎo)體內(nèi)電場線總是平行于導(dǎo)體表面。14. 內(nèi)外半徑分別為和的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為，極間填充電導(dǎo)率為的非磁性物質(zhì)（1）證明在介質(zhì)中任何一點傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場。（2）求隨時間的衰減規(guī)律（3）求與軸相距為r的地方的能量耗散功率密度（4)求長度為L的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率解：（1） 由（3）得 + 又 即與嚴(yán)格抵消。（2）由 =