數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊勾股定理的逆定理.docx

17.2勾股定理的逆定理1.理解并能證明勾股定理的逆定理.2.理解原命題、逆命題、逆定理的概念.3.會(huì)認(rèn)識(shí)并判斷勾股數(shù),掌握勾股定理的逆定理,并能靈活應(yīng)用逆定理判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.1.通過對(duì)勾股定理的逆定理的探索,經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和形成的過程.2.通過用三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷三角形的形狀,體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用.1.通過用三邊之間的數(shù)量關(guān)系來判斷三角形的形狀,體驗(yàn)數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系,感受定理與逆定理之間的和諧辯證統(tǒng)一的關(guān)系.2.在對(duì)勾股定理的逆定理的探索中,培養(yǎng)了學(xué)生的交流、合作的意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,同時(shí)感悟勾股定理和逆定理的應(yīng)用價(jià)值.【重點(diǎn)】勾股定理的逆定理的應(yīng)用.【難點(diǎn)】勾股定理的逆定理的證明.【教師準(zhǔn)備】教學(xué)中出示的教學(xué)插圖和例題.【學(xué)生準(zhǔn)備】三角板、繩子.導(dǎo)入一:過渡語同學(xué)們,你們是如何畫直角的?想知道古埃及人是如何畫直角的嗎?古埃及人畫直角的方法:把準(zhǔn)備好的一根打了13個(gè)等距離結(jié)的繩子,然后按3個(gè)結(jié),4個(gè)結(jié),5個(gè)結(jié)的長度為邊長,擺放成一個(gè)三角形.你認(rèn)為這個(gè)三角形是直角三角形嗎?學(xué)生利用準(zhǔn)備好的繩子,以小組為單位動(dòng)手操作,觀察,做出合理的推斷.設(shè)計(jì)意圖介紹前人經(jīng)驗(yàn),啟發(fā)思考,使學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活,同時(shí)明確了本節(jié)課研究的問題,既進(jìn)行了數(shù)學(xué)史的教育,又鍛煉了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、觀察探究的能力.導(dǎo)入二:你能說出勾股定理嗎?并指出定理的題設(shè)和結(jié)論.學(xué)生獨(dú)立回憶勾股定理,師生共同分析得出其題設(shè)和結(jié)論,教師引導(dǎo)指出勾股定理是從形的特殊性得出三邊之間的數(shù)量關(guān)系.追問:你能把勾股定理的題設(shè)與結(jié)論交換得到一個(gè)新的命題嗎?師生共同得出新的命題,教師指出其為勾股定理的逆命題.追問:“如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.”能否把它作為判定直角三角形的依據(jù)呢?本節(jié)課我們一起來研究這個(gè)問題.設(shè)計(jì)意圖通過對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的歸納總結(jié),自然合理地引出勾股定理的逆定理.1.勾股定理的逆定理思路一(1)歸納猜想過渡語從古埃及人的畫直角的方法,你有什么啟發(fā)嗎?提問:如果改變一下三條邊的結(jié)數(shù),是否還能擺放出同樣形狀的三角形嗎?畫圖看一看,三角形的三邊長分別為2.5 cm,6 cm,6.5 cm,觀察三角形的形狀.再換成4 cm,7.5 cm,8.5 cm試試看.三角形的三邊具有怎樣的關(guān)系,才得到上面同樣的結(jié)論?教師根據(jù)學(xué)生的思考結(jié)果,對(duì)第個(gè)問題總結(jié)歸納,提出猜想:如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.設(shè)計(jì)意圖由特殊到一般,歸納猜想出“如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形就為直角三角形”的結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力和尋求解決數(shù)學(xué)問題的一般方法.思路二下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長a,b,c.5,12,13;7,24,25;8,15,17.這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎?分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形,用量角器量一量,它們都是直角三角形嗎?學(xué)生以小組為單位,按給出的三組數(shù)作出三角形,得出結(jié)論:這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2;以每組數(shù)為邊長作出的三角形都是直角三角形.師生進(jìn)一步通過實(shí)際操作,猜想結(jié)論:如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.設(shè)計(jì)意圖本活動(dòng)通過讓學(xué)生按已知數(shù)據(jù)作出三角形,并測量三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)來進(jìn)一步獲得一個(gè)三角形是直角三角形的有關(guān)邊的條件,猜想得出結(jié)論.(2)原命題、逆命題過渡語把勾股定理記為命題1,猜想的結(jié)論記為命題2.提問:命題1和命題2的題設(shè)和結(jié)論分別是什么?學(xué)生獨(dú)立思考回答問題,命題1的題設(shè)是直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,結(jié)論是a2+b2=c2;命題2的題設(shè)是三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,結(jié)論是這個(gè)三角形是直角三角形.教師引導(dǎo)學(xué)生分析得出這兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好是相反的.歸納出互逆命題概念:兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反,像這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題,如果其中一個(gè)叫原命題,那么另一個(gè)就叫做它的逆命題.提問:請(qǐng)同學(xué)們舉出一些互逆命題,并思考:原命題正確,它的逆命題是否也正確呢?舉例說明.學(xué)生分組討論合作交流,然后舉手發(fā)言,教師適時(shí)記下一些互逆命題,其中既包含有原命題、逆命題都成立的互逆命題,也包括原命題成立逆命題不成立的互逆命題.如:對(duì)頂角相等和相等的角是對(duì)頂角;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等和內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和對(duì)應(yīng)角相等的三角形是全等三角形.追問:在大家舉出的互逆命題中原命題和逆命題都成立嗎?學(xué)生舉手發(fā)言回答,另一學(xué)生糾錯(cuò).同時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生明確:任何一個(gè)命題都有逆命題.原命題正確,逆命題不一定正確;原命題不正確,逆命題可能正確.原命題與逆命題的關(guān)系就是命題中題設(shè)與結(jié)論“互換”的關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在合作交流的基礎(chǔ)上明確互逆命題的概念,在互動(dòng)的過程中掌握互逆命題的真假性是各自獨(dú)立的.(3)勾股定理的逆定理的證明過渡語原命題正確,它的逆命題不一定正確,那么勾股定理的逆命題正確嗎?如果你認(rèn)為是正確的,你能證明這個(gè)命題“如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形”嗎?教師引導(dǎo)學(xué)生分析命題的題設(shè)及結(jié)論,讓學(xué)生獨(dú)立畫出圖形,寫出已知和求證.已知:如圖所示,ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.求證:C=90.追問:要證明ABC是直角三角形,只要證明C=90,由已知能直接證嗎?教師引導(dǎo),如果能證明ABC與一個(gè)以a,b為直角邊長的RtABC全等.那么就證明了ABC是直角三角形,為此,可以先構(gòu)造RtABC,使AC=b,BC=a,C=90,再讓學(xué)生小組討論得出證明思路,證明了猜想的正確性.教師適時(shí)板書出規(guī)范的證明過程.證明:如圖所示,作直角三角形ABC,使C=90,BC=a,AC=b,由勾股定理得AB=c,AB=AB,BC=BC,AC=AC,ABCABC,C=C=90,ABC是直角三角形.教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步指出,如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的,那么它也是一個(gè)定理,我們把上面所形成的這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理,稱這兩個(gè)定理為互逆定理.設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生用圖形和數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示文字命題,構(gòu)造直角三角形,讓學(xué)生體會(huì)這種證明思路的合理性,幫助學(xué)生突破難點(diǎn).2.例題講解(教材例1)判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形:(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.學(xué)生獨(dú)立完成,教師適時(shí)指導(dǎo),并規(guī)范地書寫解題過程.在此活動(dòng)中,教師幫助學(xué)生分析得到:要判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形,可根據(jù)勾股定理及其逆定理,關(guān)鍵是對(duì)兩條較小邊長的平方和與最大邊長的平方進(jìn)行比較,只有相等時(shí)才是直角三角形.解:(1)因?yàn)閍2+b2=152+82=289,c2=172=289,所以152+82=172,根據(jù)勾股定理的逆定理,這個(gè)三角形是直角三角形.(2)因?yàn)閍2+b2=132+142=365,c2=152=225,所以132+142152,所以這個(gè)三角形不是直角三角形.過渡語像15,8,17這樣,能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).提問:同學(xué)們還知道哪些勾股數(shù)?請(qǐng)完成以下未完成的勾股數(shù):(1)3,4,;(2)6,8,;(3)7,24,;(4)5,12,;(5)9,12,.設(shè)計(jì)意圖通過練習(xí),學(xué)會(huì)運(yùn)用勾股定理逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形.知識(shí)拓展勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否為直角三角形的一般步驟:確定最大邊長c;計(jì)算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,則此三角形是直角三角形;若a2+b2c2,則此三角形是銳角三角形.(教材例2)某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口,各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16 n mile,“海天”號(hào)每小時(shí)航行12 n mile.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q,R處,且相距30 n mile.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行,能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎?引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題,弄清已知是什么,解決的問題是什么.航”號(hào)的航向東北方向;解決的問題是“海天”號(hào)的航向.引導(dǎo)學(xué)生嘗試畫圖,教師在黑板上或多媒體中畫出示意圖.引導(dǎo)學(xué)生分析:圖中的E,N分別表示東、北兩個(gè)方向.要求出“海天”號(hào)的航行方向,只要求出RPQ的度數(shù),而1=45,利用角的和差得出2的度數(shù).解:根據(jù)題意,由已知得PQ=161.5=24,PR=121.5=18,QR=30.因?yàn)?42+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以QPR=90,由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知1=45,所以2=QPR-1=45,即“海天”號(hào)沿西北方向航行.設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在規(guī)范化的解答過程及練習(xí)中,提升對(duì)勾股定理逆定理的認(rèn)識(shí)以及實(shí)際應(yīng)用的能力.師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容:(1)已知一個(gè)三角形的三邊長,利用勾股定理的逆定理來判定這個(gè)三角形是不是直角三角形.(2)一個(gè)命題一定有逆命題,一個(gè)定理不一定有逆定理.(3)三個(gè)數(shù)滿足勾股數(shù)的兩個(gè)條件:三個(gè)數(shù)必須滿足較小的兩個(gè)數(shù)的平方和等于最大的一個(gè)數(shù)的平方;三個(gè)數(shù)必須都是正整數(shù).(4)解題時(shí),注意勾股定理與其逆定理的區(qū)別.勾股定理是在直角三角形中運(yùn)用的,而勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形的.1.(2015畢節(jié)中考)下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長,其中能構(gòu)成直角三角形的是()A.,B.1,C.6,7,8D.2,3,4解析:A中,()2+()2()2,不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤;B中,12+()2=()2,能構(gòu)成直角三角形,故正確;C中,62+7282,不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤;D中,22+3242,不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤.故選B.2.若ABC的三邊長a,b,c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0,則ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析:根據(jù)題意可得a=b或a2+b2-c2=0,因此ABC可能為等腰三角形,也可能為直角三角形.故選C.3.下列說法中正確的有()(1)在一個(gè)三角形中,如果一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這條邊所對(duì)的角是直角;(2)命題“在一個(gè)三角形中,有一個(gè)角是30,那么它所對(duì)的邊是另一邊的一半”的逆命題是真命題;(3)勾股定理的逆定理是:如果兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形;(4)ABC的三邊之比是11,則ABC是直角三角形.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析:(1)正確,(2)錯(cuò)誤,(3)錯(cuò)誤,(4)正確,故有兩個(gè)說法是正確的.故選B.4.如圖(1)所示的是一塊地,已知AD=4 m,CD=3 m,ADDC,AB=13 m,BC=12 m,求這塊地的面積.解:如圖(2)所示,連接AC.ADDC,在RtACD中,AD2+CD2=AC2,AC=5(m).AC2+BC2=52+122=132=AB2,ABC為直角三角形,這塊地的面積為S=SABC-SACD=ACCB-ADDC=512-34=24(m2).17.2勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理(1)歸納猜想(2)原命題、逆命題(3)勾股定理的逆定理的證明2.例題講解例1例2一、教材作業(yè)【必做題】教材練習(xí)第33頁第1,2,3題;教材第34頁習(xí)題17.2第1,2,3,4題.【選做題】教材第34頁習(xí)題17.2第7題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.下列三角形中,一定是直角三角形的有()有兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形;三邊長為m2-n2,2mn,m2+n2(mn0)的三角形;三邊長的比為345的三角形;三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是123的三角形.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.把三邊分別為BC=3,AC=4,AB=5的三角形ABC沿最長邊AB翻折成ABC,則CC的長為()A.B.C.D.3.下列定理中,沒有逆定理的是()A.等腰三角形的兩個(gè)底角相等B.對(duì)頂角相等C.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D.直角三角形兩個(gè)銳角的和等于904.把一根30米長的細(xì)繩折成3段,圍成一個(gè)三角形,其中一條邊的長度比較短邊長7米,比較長邊短1米,則這個(gè)三角形是三角形.【能力提升】5.已知:如圖所示,CDAB于D,且有AC2=ADAB.求證:ACB為直角三角形.6.如圖所示的是一個(gè)四邊形的邊角料,韋三通過測量,獲得了如下數(shù)據(jù):AB=3 cm,BC=12 cm,CD=13 cm,AD=4 cm,韋三由此認(rèn)為這個(gè)四邊形中A恰好是直角,你認(rèn)為韋三的判斷正確嗎?如果你認(rèn)為他的判斷正確,請(qǐng)說明其中的理由;如果你認(rèn)為他的判斷不正確,那你認(rèn)為需要什么條件,才可以判斷A是直角?7.如圖所示,已知等腰三角形ABC的底邊BC=20 cm,D是腰AB上一點(diǎn),且CD=16 cm,BD=12 cm,求ABC的周長.8.如圖所示,在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域,我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A,B兩個(gè)基地前去攔截,6分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截.已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里,乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里,航向?yàn)楸逼?2.62,求甲巡邏艇的航向.【拓展探究】9.冬冬準(zhǔn)備用一段長30米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的小圈,用于飼養(yǎng)家兔.已知第一條邊長為a米,由于受地勢限制,第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米.(1)請(qǐng)用a表示第三條邊長.(2)第一條邊長可以為7米嗎?為什么?請(qǐng)說明理由,并求出a的取值范圍.(3)能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀,且各邊長均為整數(shù)?若能,說明你的圍法;若不能,請(qǐng)說明理由.【答案與解析】1.D(解析:有兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形,第三個(gè)內(nèi)角為直角;(m2-n2)2=m4+n4-2m2n2,(2mn)2=4m2n2,(m2+n2)2=m4+n4+2m2n2,因此可得(m2+n2)2=(m2-n2)2+(2mn)2,所以能構(gòu)成一個(gè)直角三角形;三邊長的比為345的三角形,設(shè)一邊長為3x,則另外兩邊長分別為4x,5x,因?yàn)?3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2,所以可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形;三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比為123的三角形,最大的角為180=90,所以這個(gè)三角形也為直角三角形.故選D.)2.C(解析:先畫出圖形如圖所示,32+42=52,即BC2+AC2=AB2,ABC是直角三角形,斜邊是AB,由對(duì)稱的性質(zhì)可知:AB垂直且平分CC,設(shè)AB交CC于D,則D是垂足,CD=CD,CC=2CD,ACBC=ABCD,CD=,CC=2CD=2=.)3.B(解析:A.等腰三角形的兩個(gè)底角相等的逆命題為:有兩個(gè)角相等的三角形為等腰三角形,此逆命題為真命題,所以A選項(xiàng)有逆定理;B.對(duì)頂角相等的逆命題為:相等的角為對(duì)頂角,此命題為假命題,所以B選項(xiàng)沒有逆定理;C.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等的逆命題為:全等三角形的三邊對(duì)應(yīng)相等,此逆命題為真命題,所以C選項(xiàng)有逆定理;D.直角三角形的兩個(gè)銳角的和等于90的逆命題為:兩個(gè)銳角的和等于90的三角形為直角三角形,此逆命題為真命題,所以D選項(xiàng)有逆定理.故選B.)4.直角(解析:設(shè)一條邊長為x米,則另外兩邊長分別為(x-7)米、(x+1)米,根據(jù)題意得x+x-7+x+1=30,解得x=12,所以三邊長分別為12米、5米、13米,因?yàn)?22+52=132,所以這個(gè)三角形為直角三角形.)5.證明:CDAB,CD2=AC2-AD2=ADAB-AD2=ADBD,BC2=CD2+BD2=ADBD+BD2=BDAB,AC2+BC2=ADAB+BDAB=AB2.ABC為直角三角形.6.解:韋三的判斷不正確.可添加DBBC或DB=5 cm.理由如下:四邊形具有不穩(wěn)定性,A可以是銳角,可以是直角,也可以是鈍角,韋三的判斷不正確.如果添加DBBC或DB=5 cm,那么A恰