大學 機械振動 課后習題和答案(1~4章 總匯).doc

1.1 試舉出振動設(shè)計、系統(tǒng)識別和環(huán)境預測的實例。1.2 如果把雙軸汽車的質(zhì)量分別離散到前、后軸上去，在考慮懸架質(zhì)量和非懸架質(zhì)量兩個離散質(zhì)量的情況下，畫出前軸或后軸垂直振動的振動模型簡圖，并指出在這種化簡情況下，汽車振動有幾個自由度?1.3 設(shè)有兩個剛度分別為，的線性彈簧如圖T1.3所示，試證明：1)它們并聯(lián)時的總剛度為：2)它們串聯(lián)時的總剛度滿足：解：1)對系統(tǒng)施加力P，則兩個彈簧的變形相同為，但受力不同，分別為：由力的平衡有：故等效剛度為：2)對系統(tǒng)施加力P，則兩個彈簧的變形為：，彈簧的總變形為：故等效剛度為：1.4 求圖所示扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的總剛度。兩個串聯(lián)的軸的扭轉(zhuǎn)剛度分別為，。解：對系統(tǒng)施加扭矩T，則兩軸的轉(zhuǎn)角為：系統(tǒng)的總轉(zhuǎn)角為：，故等效剛度為：1.5 兩只減振器的粘性阻尼系數(shù)分別為，試計算總粘性阻尼系數(shù)1)在兩只減振器并聯(lián)時，2)在兩只減振器串聯(lián)時。解：1)對系統(tǒng)施加力P，則兩個減振器的速度同為，受力分別為：由力的平衡有：故等效剛度為：2)對系統(tǒng)施加力P，則兩個減振器的速度為：，系統(tǒng)的總速度為：故等效剛度為：1.6 一簡諧運動，振幅為0.5cm，周期為0.15s，求最大速度和加速度。解：簡諧運動的，振幅為；即：所以：1.7 一加速度計指示出結(jié)構(gòu)振動頻率為82Hz，并具有最大加速度50g，求振動的振幅。解：由 可知： 1.8 證明：兩個同頻率但不同相角的簡諧運動的合成仍是同頻率的簡諧運動，即：，并討論,，三種特例。證明：其中：1)當時：；2)當時：；3)當時：；1.9 把復數(shù)4+5i表示為指數(shù)形式。解：，其中：，1.10 證明：一個復向量用i相乘，等于把它旋轉(zhuǎn)。證明：1.11 證明：梯度算子是線性微分算子，即這里，a,b是與x、y、z無關(guān)的常數(shù)。1.12 求函數(shù)的均方值。考慮p與q之間的如下三種關(guān)系： ，這里n為正整數(shù)； 為有理數(shù)； 為無理數(shù)。1.13 汽車懸架減振器機械式常規(guī)性能試驗臺，其結(jié)構(gòu)形式之一如圖T1.13所示。其激振器為曲柄滑塊機構(gòu)，在導軌下面垂向連接被試減振器。試分析減振器試驗力學的基本規(guī)律(位移、速度、加速度、阻尼力)。圖 T1.131.14 汽車懸架減振器機械式常規(guī)性能試驗臺的另一種結(jié)構(gòu)形式如圖T1.14所示。其激振器采用曲柄滑塊連桿機構(gòu)，曲柄被驅(qū)動后，通過連桿垂向帶動與滑塊連接的被試減振器。試分析在這種試驗臺上的減振器試驗力學的基本規(guī)律，并與前題比較。圖 T1.142.1 彈簧下懸掛一物體，彈簧靜伸長為。設(shè)將物體向下拉，使彈簧有靜伸長，然后無初速度地釋放，求此后的運動方程。解：設(shè)物體質(zhì)量為，彈簧剛度為，則：，即：取系統(tǒng)靜平衡位置為原點，系統(tǒng)運動方程為： （參考教材P14）解得：2.2 彈簧不受力時長度為65cm，下端掛上1kg物體后彈簧長85cm。設(shè)用手托住物體使彈簧回到原長后無初速度地釋放，試求物體的運動方程、振幅、周期及彈簧力的最大值。解：由題可知：彈簧的靜伸長所以：取系統(tǒng)的平衡位置為原點，得到：系統(tǒng)的運動微分方程為：其中，初始條件： （參考教材P14）所以系統(tǒng)的響應為：彈簧力為：因此：振幅為0.2m、周期為、彈簧力最大值為1N。2.3 重物懸掛在剛度為的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物從高度為處自由落到上而無彈跳，如圖所示，求其后的運動。解：取系統(tǒng)的上下運動為坐標，向上為正，靜平衡位置為原點，則當有位移時，系統(tǒng)有：由可知：即：系統(tǒng)的初始條件為： （能量守恒得：）因此系統(tǒng)的響應為：其中:即：2.4 一質(zhì)量為、轉(zhuǎn)動慣量為的圓柱體作自由純滾動，圓心受到一彈簧約束，如圖所示，求系統(tǒng)的固有頻率。解：取圓柱體的轉(zhuǎn)角為坐標，逆時針為正，靜平衡位置時，則當有轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)有：由可知：即： （rad/s）2.5 均質(zhì)桿長L、重G，用兩根長h的鉛垂線掛成水平位置，如圖所示，試求此桿相對鉛垂軸OO微幅振動的周期。2.6 求如圖所示系統(tǒng)的周期，三個彈簧都成鉛垂，且。解：取的上下運動為坐標，向上為正，靜平衡位置為原點，則當有位移時，系統(tǒng)有： （其中：）由可知：即：（rad/s）， （s）2.7 如圖所示，半徑為r的均質(zhì)圓柱可在半徑為R的圓軌面內(nèi)無滑動地、以圓軌面最低位置O為平衡位置左右微擺，試導出柱體的擺動方程，求其固有頻率。解：設(shè)物體重量，擺角坐標如圖所示，逆時針為正，當系統(tǒng)有擺角時，則： 設(shè)為圓柱體轉(zhuǎn)角速度，質(zhì)心的瞬時速度：，即：記圓柱體繞瞬時接觸點A的轉(zhuǎn)動慣量為，則：（或者理解為：，轉(zhuǎn)動和平動的動能）由可知：即：（rad/s） 2.8 橫截面面積為A，質(zhì)量為m的圓柱形浮子靜止在比重為的液體中。設(shè)從平衡位置壓低距離x(見圖)，然后無初速度地釋放，若不計阻尼，求浮子其后的運動。解：建立如圖所示坐標系，系統(tǒng)平衡時，由牛頓第二定律得：，即：有初始條件為：所以浮子的響應為：2.9 求如圖所示系統(tǒng)微幅扭振的周期。圖中兩個摩擦輪可分別繞水平軸O1，O2轉(zhuǎn)動，它們相互嚙合，不能相對滑動，在圖示位置(半徑O1A與O2B在同一水平線上)，彈簧不受力。摩擦輪可以看做等厚均質(zhì)圓盤，質(zhì)量分別為m1，m2。解：兩輪的質(zhì)量分別為，因此輪的半徑比為：由于兩輪無相對滑動，因此其轉(zhuǎn)角比為：取系統(tǒng)靜平衡時，則有： 由可知：即：（rad/s）， （s） 2.10 如圖所示，輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為I，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為P的物體，繩與輪緣之間無滑動。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑R與a均已知，求微振動的周期。解：取輪的轉(zhuǎn)角為坐標，順時針為正，系統(tǒng)平衡時，則當輪子有轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)有： 由可知：即：（rad/s），故 （s）2.11 彈簧懸掛一質(zhì)量為m的物體，自由振動的周期為T，如果在m上附加一個質(zhì)量m1，則彈簧的靜伸長增加，求當?shù)氐闹亓铀俣?。解?.12 用能量法求圖所示三個擺的微振動的固有頻率。擺錘重P，(b)與(c)中每個彈簧的彈性系數(shù)為k/2。(1)桿重不計；(2)若桿質(zhì)量均勻，計入桿重。 解：取系統(tǒng)的擺角為坐標，靜平衡時（a）若不計桿重，系統(tǒng)作微振動，則有： 由可知：即：（rad/s）如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動，則有： 由可知：即：（rad/s）（b）如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動，則有： 即：（rad/s）（c）如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動，則有： 即：（rad/s）2.13 求如圖所示系統(tǒng)的等效剛度，并把它寫成與x的關(guān)系式。答案：系統(tǒng)的運動微分方程2.14 一臺電機重470N，轉(zhuǎn)速為1430rmin，固定在兩根5號槽鋼組成的簡支梁的中點，如圖所示。每根槽鋼長1.2m，重65.28N，彎曲剛度EI1.66105Nm2。(a)不考慮槽鋼質(zhì)量，求系統(tǒng)的固有頻率；(b)設(shè)槽鋼質(zhì)量均布，考慮分布質(zhì)量的影響，求系統(tǒng)的固有頻率；(c)計算說明如何避開電機和系統(tǒng)的共振區(qū)。2.15 一質(zhì)量m固定于長L，彎曲剛度為EI，密度為r的彈性梁的一端，如圖所示，試以有效質(zhì)量的概念計算其固有頻率。 wL3/(3EI)2.16 求等截面U形管內(nèi)液體振動的周期，阻力不計，假定液柱總長度為L。解：假設(shè)U形管內(nèi)液柱長，截面積為，密度為，取系統(tǒng)靜平衡時勢能為0，左邊液面下降時，有： 由可知：即： （rad/s），（s）217 水箱l與2的水平截面面積分別為A1、A2，底部用截面為A0的細管連接。求液面上下振動的固有頻率。解：設(shè)液體密度為，取系統(tǒng)靜平衡時勢能為0，當左邊液面下降時，右邊液面上升，液體在水箱l與2和細管中的速度分別為，則有： （由于：） 由可知：即： （rad/s）2.18 如圖所示，一個重W、面積為A的薄板懸掛在彈簧上，使之在粘性液體中振動。設(shè)T1、T2分別為無阻尼的振動周期和在粘性液體中的阻尼周期。試證明：并指出的意義(式中液體阻尼力Fd=m2Av)。2.19 試證明：對數(shù)衰減率也可用下式表示，(式中xn是經(jīng)過n個循環(huán)后的振幅)。并給出在阻尼比為0.0l、0.1、0.3時振幅減小到50%以下所需要的循環(huán)數(shù)。解：設(shè)系統(tǒng)阻尼自由振動的響應為；時刻的位移為；時刻的位移為；則：所以有：，即：當振幅衰減到50%時，即：1)當 時，；要11個循環(huán)；2)當 時，；要2個循環(huán)；3)當 時，；要1個循環(huán)；2.20 某雙軸汽車的前懸架質(zhì)量為m1=1151kg，前懸架剛度為k1=1.02105Nm，若假定前、后懸架的振動是獨立的，試計算前懸架垂直振動的偏頻。如果要求前懸架的阻尼比，那么應給前懸架設(shè)計多大阻尼系數(shù)(c)的懸架減振器?2.21 重量為P的物體，掛在彈簧的下端，產(chǎn)生靜伸長，在上下運動時所遇到的阻力與速度v成正比。要保證物體不發(fā)生振動，求阻尼系數(shù)c的最低值。若物體在靜平衡位置以初速度v0開始運動，求此后的運動規(guī)律。解：設(shè)系統(tǒng)上下運動為坐標系，系統(tǒng)的靜平衡位置為原點，得到系統(tǒng)的運動微分方程為：系統(tǒng)的阻尼比 ：系統(tǒng)不振動條件為：，即：物體在平衡位置以初速度開始運動，即初始條件為：此時系統(tǒng)的響應為：（可參考教材P22）1)當時：其中：2) 當時：，其中：即：3) 當時：其中：，即：2.22 一個重5500N的炮管具有剛度為3.03105Nm的駐退彈簧。如果發(fā)射時炮管后座1.2m，試求：炮管初始后座速度；減振器臨界阻尼系數(shù)(它是在反沖結(jié)束時參加工作的)；炮管返回到離初始位置0.05m時所需要的時間。2.23 設(shè)系統(tǒng)阻尼比，試按比例畫出在0.5、1.0、2.0三種情況下微分方程的向量關(guān)系圖。2.24 試指出在簡諧激勵下系統(tǒng)復頻率響應、放大因子和品質(zhì)因子之間的關(guān)系，并計算當、=5rad/s時系統(tǒng)的品質(zhì)因子和帶寬。2.25 已知單自由度系統(tǒng)振動時其阻力為cv(其中c是常數(shù)，v是運動速度)，激勵為，當即共振時，測得振動的振幅為X，求激勵的幅值F0。若測得共振時加速度的幅值為A，求此時的F0。2.26 某單自由度系統(tǒng)在液體中振動，它所受到的激勵為(N)，系統(tǒng)在周期T0.20s時共振，振幅為0.005cm，求阻尼系數(shù)。解：由時共振可知，系統(tǒng)固有頻率為：當時，已知響應振幅：，（參教材P30）所以： 2.27 一個具有結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度系統(tǒng)，在一周振動內(nèi)耗散的能量為它的最大勢能的1.2%，試計算其結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)。2.28 要使每一循環(huán)消耗的能量與頻率比無關(guān)，需要多大的阻尼系數(shù)。2.29 若振動物體受到的阻力與其運動速度平方成正比，即求其等效阻尼系數(shù)和共振時的振幅。解：實際上，這是一種低粘度流體阻尼。設(shè)系統(tǒng)的運動為：2.292.29 2.30 KGl電動機重P，裝在彈性基礎(chǔ)上，靜下沉量為d。當轉(zhuǎn)速為nrmin時，由于轉(zhuǎn)子失衡，沿豎向有正弦激勵，電機產(chǎn)生振幅為A的強迫振動。試求激勵的幅值，不計阻尼。2.31 電動機重P，裝在彈性梁上，使梁有靜撓度d。轉(zhuǎn)子重Q，偏心距為e。試求當轉(zhuǎn)速為w時，電動機上下強迫振動的振幅A，不計梁重。圖 T2.322.32 一飛機升降舵的調(diào)整片鉸接于升降舵的O軸上(圖T2.32)，并由一聯(lián)動裝置控制。該裝置相當于一剛度為kT的扭轉(zhuǎn)彈簧。調(diào)整片轉(zhuǎn)動慣量為，因而系統(tǒng)固有頻率，但因kT不能精確計算，必須用試驗測定。為此固定升降舵，利用彈簧k2對調(diào)整片做簡諧激勵，并用彈簧k1來抑制。改變激勵頻率直至達到其共振頻率。試以和試驗裝置的參數(shù)來表示調(diào)整片的固有頻率。解：設(shè)調(diào)整片的轉(zhuǎn)角為，系統(tǒng)的微分方程為：系統(tǒng)的共振頻率為：因此：調(diào)整片的固有頻率為：2.33 如圖所示由懸架支承的車輛沿高低不平的道路行進。試求W的振幅與行進速度的關(guān)系，并確定最不利的行進速度。解：由題目2.33 2.33 2.34 單擺懸點沿水平方向做簡諧運動(圖T2.34)，x=asinwt。試求在微幅的強迫振動中偏角q的變化規(guī)律。已知擺長為L，擺錘質(zhì)量為m。2.35 一個重90N的飛機無線電要與發(fā)動機的頻率16002200r/min范圍的振動隔離，為了隔離85%，隔振器的靜變形需要多少?2.36 試從式(2.95)證明：1. 無論阻尼比取何值，在頻率比時，恒有XA。2. 在，X/A隨增大而減小，而在，X/A隨增大而增大。 2.37 某位移傳感器固有頻率為4.75Hz，阻尼比z=0.65。試估計所能測量的最低頻率，設(shè)要求誤差1，2。2.38 一位移傳感器的固有頻為率2Hz，無阻尼，用以測量頻率為8Hz的簡諧振動，測得振幅為0.132cm。問實際振幅是多少?誤差為多少?2.39 一振動記錄儀的固有頻率為fn3.0Hz，阻尼比z=0.50。用其測量某物體的振動，物體的運動方程已知為x=2.05sin4pt+1.0sin8pt (cm)證明：振動記錄儀的振動z將為z1.03sin(4pt-500)+1.15sin(8pt-1200)(cm)2.40 求單自由度無阻尼系統(tǒng)對圖所示激勵的響應，設(shè)初始條件為零。解：ab C 2.41 求圖T2.41所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這里激勵是x3(t)。2.42 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)從一傾斜角為300的光滑斜面下滑，如圖所示。求彈簧與墻壁開始接觸到脫離接觸的時間。解：彈簧接觸墻壁時，的速度為：以接觸時m的位置為原點，斜下方為正，則m的微分方程為：考慮到系統(tǒng)的初始條件：，采用卷積分計算系統(tǒng)的響應為： 其中：當m與墻壁脫離時應有故由：可得到：也就是彈簧與墻壁開始接觸到脫離接觸的時間。2.43 一個高F0、寬t0的矩形脈沖力加到單自由度無阻尼系統(tǒng)上，把這個矩形脈沖力看做兩個階躍脈沖力之和，如圖所示。用疊加原理求tt0后的響應。2.44 如圖T2.44所示，系統(tǒng)支承受凸輪作用，運動波形為圖中所示的鋸齒波，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。2.45 證明式(2.136)，即卷積積分滿足交換律3.1 如圖所示扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)。設(shè)1寫出系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；2寫出系統(tǒng)的頻率方程并求出固有頻率和振型，畫出振型圖。解：1)以靜平衡位置為原點，設(shè)的轉(zhuǎn)角為廣義坐標，畫出隔離體，根據(jù)牛頓第二定律得到運動微分方程：，即：所以：系統(tǒng)運動微分方程可寫為： (a)或者采用能量法：系統(tǒng)的動能和勢能分別為求偏導也可以得到由于，所以2)設(shè)系統(tǒng)固有振動的解為：，代入（a）可得： (b)得到頻率方程：即：解得：所以： (c)將（c）代入（b）可得：解得：；令，得到系統(tǒng)的振型為：-0.70710.70713.2 求圖所示系統(tǒng)的固有頻率和振型。設(shè)。并畫出振型圖。解：1)以靜平衡位置為原點，設(shè)的位移為廣義坐標，畫出隔離體，根據(jù)牛頓第二定律得到運動微分方程：所以：系統(tǒng)運動微分方程可寫為： (a)或者采用能量法：系統(tǒng)的動能和勢能分別為求偏導也可以得到由于，所以2)設(shè)系統(tǒng)固有振動的解為：，代入（a）可得： (b)得到頻率方程：即：解得：所以： (c)將（c）代入（b）可得：解得：；令，得到系統(tǒng)的振型為：-3.43010.0913.3 如圖所示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，寫出系統(tǒng)的頻率方程并求出固有頻率和振型，畫出振型圖。解：以靜平衡位置為原點，設(shè)的位移為廣義坐標，系統(tǒng)的動能和勢能分別為求得： 系統(tǒng)運動微分方程可寫為： (a)設(shè)系統(tǒng)固有振動的解為：，代入（a）可得： (b)得到頻率方程：即：解得：所以： (c)將（c）代入（b）可得：解得：；令，得到系統(tǒng)的振型為：1.7361-2.73613.4 如圖T3.4所示，由一彈簧是連接兩個質(zhì)量m1，m2構(gòu)成的系統(tǒng)以速度v撞擊制動器k1，求傳到基礎(chǔ)上的力的最大值。設(shè)v為常數(shù)且彈簧無初始變形，并設(shè)m1=m2與k1=2k。3.5 求圖所示系統(tǒng)的固有頻率和振型，并畫出振型圖。設(shè)桿質(zhì)量分布均勻。3.6 求圖所示系統(tǒng)當左邊質(zhì)量有初始位移A而其余初始條件均為零時的響應3.7 如圖T3.7所示由彈簧耦合的雙擺，桿長為L。1寫出系統(tǒng)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和頻率方程；2求出固有頻率和振型；3討論是值改變對固有頻率的影響。解：4.1 按定義求如圖所示三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的剛度矩陣，并用能量法檢驗。求系統(tǒng)的固有頻率和振型。（設(shè)）解：1)以靜平衡位置為原點，設(shè)的