高等數(shù)學習題詳解-第7章 多元函數(shù)微分學.doc

習題7-11. 指出下列各點所在的坐標軸、坐標面或卦限： A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).解：A在V卦限，B在y軸上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。2. 已知點M(-1，2，3)，求點M關(guān)于坐標原點、各坐標軸及各坐標面的對稱點的坐標.解：設所求對稱點的坐標為(x，y，z)，則(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到點M關(guān)于坐標原點的對稱點的坐標為：(1，-2，-3).(2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到點M關(guān)于x軸的對稱點的坐標為：(-1，-2，-3).同理可得：點M關(guān)于y軸的對稱點的坐標為：(1， 2，-3)；關(guān)于z軸的對稱點的坐標為：(1，-2，3).(3)由x=-1，y=2，z+3=0，得到點M關(guān)于xOy面的對稱點的坐標為：(-1， 2，-3).同理，M關(guān)于yOz面的對稱點的坐標為：(1， 2，3)；M關(guān)于zOx面的對稱點的坐標為：(-1，-2，3).3. 在z軸上求與兩點A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距離的點.解:設所求的點為M(0，0，z)，依題意有|MA|2=|MB|2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z=11，故所求的點為M(0，0，).4. 證明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解：由兩點距離公式可得， 所以以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.5. 設平面在坐標軸上的截距分別為a=2,b=3,c=5,求這個平面的方程.解：所求平面方程為。6. 求通過x軸和點(4,3,1)的平面方程.解：因所求平面經(jīng)過x軸，故可設其方程為Ay+Bz =0.又點(4,3,1)在平面上，所以-3A-B =0.即B=-3 A代入并化簡可得 y-3z =0.7. 求平行于y軸且過M1(1,0,0)，M2(0,0,1)兩點的平面方程.解：因所求平面平行于y軸，故可設其方程為Ax+Cz+D=0.又點M1和M2都在平面上，于是可得關(guān)系式：A=C=D,代入方程得：DxDz+D=0.顯然D0,消去D并整理可得所求的平面方程為x+z1=0.8. 方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎樣的曲面？解：表示以點（1，-2，0）為球心，半徑為的球面方程。9. 指出下列方程在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么幾何圖形？(1) x2y=1；(2) x2+y2=1；(3) 2x2+3y2=1；(4) y=x2. 解：(1)表示直線、平面。(2)表示圓、圓柱面。(3)表示橢圓、橢圓柱面。 (4)表示拋物線、拋物柱面。習題7-21. 下列各函數(shù)表達式:(1) 已知f(x,y)=x2+y2,求；(2) 已知求f(x,y).解：（1） （2） 所以2. 求下列函數(shù)的定義域，并指出其在平面直角坐標系中的圖形：(1) ；(2) ;(3) ；(4) 解：（1）由可得 故所求定義域為D=(x,y)| 表示xOy平面上不包含圓周的區(qū)域。 （2）由 可得 故所求的定義域為D=(x,y)| ，表示兩條帶形閉域。 （3）由 可得 故所求的定義域為D=(x,y)| ，表示xOy平面上直線y=x以下且橫坐標的部分。 （4）由 可得 故所求的定義域為D=(x,y)| 。3. 說明下列極限不存在： (1) ；(2) .解：（1）當點P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0)時，有 。顯然，此時的極限值隨k的變化而變化。 因此，函數(shù)f(x,y)在(0,0)處的極限不存在。（2）當點P(x,y)沿曲線趨于點(0,0)時，有 。顯然，此時的極限值隨k的變化而變化。 因此，函數(shù)f(x,y)在(0,0)處的極限不存在。4. 計算下列極限：(1) ；(2);(3) ；(4) .解：（1）因初等函數(shù)在(0,1)處連續(xù)，故有 （2）（3）（4）。5. 究下列函數(shù)的連續(xù)性：(1) (2) 解：(1) 所以f(x,y)在(0,0)處連續(xù). (2) 該極限隨著k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)處不連續(xù).6. 下列函數(shù)在何處間斷？(1) ；(2) .解：(1)z在(x,y)| 處間斷. (2)z在(x,y)| 處間斷.習題7-31. 求下列函數(shù)偏導數(shù)：(1) z=x3+3xy+y3； (2) ;(3) ； (4) (5) ； (6) 解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 求下列函數(shù)在指定點處的偏導數(shù)：(1) f(x,y)=x2xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);(2) ;求(3) ; 求； (4) , 求.解：(1) (2) 因此 (3) 因此所以. (4) 故3設，證明：(1) ;(2) ;(3) .證明：利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：(1) (2) 利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：(3) 利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：.4. 求下列函數(shù)的二階偏導數(shù),：(1) ； (2) .解：(1) (2) 5. 某水泥廠生產(chǎn)A,B兩種標號的水泥，其日產(chǎn)量分別記作x,y(單位：噸)，總成本(單位：元)為C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,求當x=4,y=3時，兩種標號水泥的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟含義.解：經(jīng)濟含義:當A,B兩種標號的水泥日產(chǎn)量分別4噸和3噸時，如果B水泥產(chǎn)量不變，而A水泥的產(chǎn)量每增加1噸，成本將增加270元；如果A水泥產(chǎn)量不變，而B水泥的產(chǎn)量每增加1噸，成本將增加160元。6. 設某商品需求量Q與價格為p和收入y的關(guān)系為Q=4002p+0.03y.求當p=25,y=5000時，需求Q對價格p和收入y的偏彈性，并解釋其經(jīng)濟含義.解：經(jīng)濟含義: 價格為25和收入為5000時，如果價格不變，而收入增加1個單位，商品的需求量將增加0.03；如果收入不變，而價格增加1個單位，商品的需求量將減少2.習題7-41. 求下列函數(shù)的全微分：(1) z=4xy3+5x2y6； (2) (3) u=ln(xyz)； (4) 解：(1) 所以 (2) 所以 (3) 所以 (4) 所以 2. 計算函數(shù)z=xy在點(3，1)處的全微分.解：所以 3. 求函數(shù)z=xy在點(2，3)處，關(guān)于x=0.1，y=0.2的全增量與全微分.解：所以4. 計算 (1.04)2.02的近似值.設函數(shù)f(x,y)=xy.x=1,y=2,x=0.04,y=0.02.f(1,3)=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.由二元函數(shù)全微分近似計算公式(7-18)，得(1.05)3.021+20.04+00.02=1.08.5. 設有一個無蓋圓柱形玻璃容器，容器的內(nèi)高為20 cm，內(nèi)半徑為4 cm，容器的壁與底的厚度均為0.1 cm，求容器外殼體積的近似值.解：解設圓柱的直徑和高分別用x，y表示，則其體積為.于是，將所需的混凝土量看作當x+x=8+20.1，y+y=20+0.1與x=8，y=20時的兩個圓柱體的體積之差V(不考慮底部的混凝土)，因此可用近似計算公式VdV=fx(x,y)x+fy(x,y)y.又，代入x=8，y=20，x=0.2，y=0.1，得到(m3).因此，大約需要55.264m3的混凝土.習題7-51. 求下列函數(shù)的全導數(shù)：(1) 設z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求導數(shù)；(2) 設z=arctan(uv),而u=3x,v=4x3,求導數(shù);(3) 設z=xy+sint,而x=et,y=cost,求導數(shù)解： (1) (2) (3) 2. 求下列函數(shù)的偏導數(shù)(其中f具有一階連續(xù)偏導數(shù))：(1) 設z=u2vuv2，而u=xsiny,v=xcosy，求和；(2) 設z=(3x2+y2)4x+2y，求和；(3) 設u=f(x,y,z)=ex+2y+3z,z=x2cosy，求和；(4) 設w=f(x，x2y，xy2z)，求,.解：(1) (2) 令.(3) 3. 應用全微分形式的不變性，求函數(shù)的全微分.解：令而故 4. 已知sinxy2z+ez=0,求和.解：兩同時對x求偏導，可得故兩邊同時對y求偏導，可得故5. 若f的導數(shù)存在，驗證下列各式：(1) 設u=yf(x2y2)，則；(2) 設，則.證：(1) ,所以.(2) ,所以.6. 求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)(其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù))：(1) ；(2) z=ylnx；(3) z=f(xy,x2y2).解：(1)由第3題可知故.(2) 故,.(3) 故7. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)：(1) x2+y2+z24z=0；(2) z33xyz=1.解：(1)兩邊同時對x求偏導得故兩邊同時對y求偏導得故(2) 兩邊同時對x求偏導得故兩邊同時對y求偏導得故習題7-61. 求下列函數(shù)的極值：(1) f(x,y)=x2+y36xy+18x39y+16；(2) f(x,y)=3xyx3y3+1.解：(1) 先解方程組得駐點為(-6,1),(6,5).在點(-6，1)處，=AC-B2=26-360，又A0，所以函數(shù)在(6，5)處有極小值f(6，5)=-90.(2) 先解方程組得駐點為(0,0),(1,1).在點(0，0)處，=AC-B2=-90,又A0，y0)下，函數(shù)C(x,y)=1000+8x2xy+12y2(元)的條件極值問題.令由得x=25,y=17.根據(jù)問題本身的意義及駐點的唯一性知，當投入兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為25件和17件時，可使成本最低.7. 某公司通過電視和報紙兩種媒體做廣告，已知銷售收入R(單位:萬元)與電視廣告費x(單位:萬元)和報紙廣告費y(單位:萬元)之間的關(guān)系為R(x,y)=15+14x+32y8xy2x210y2，(1) 若廣告費用不設限，求最佳廣告策略.(2) 若廣告費用總預算是2萬元，分別用求條件極值和無條件極值的方法求最佳廣告策略. 解：(1)得唯一駐點(1.5,1).由此可知，當電視廣告費為1.5萬元，報紙廣告費為1萬元時，廣告策略最佳。(2) 問題是在約束條件x+y=2(x0，y0)下，函數(shù)R(x,y)=15+14x+32y8xy2x210y2的條件極值問題.令由解得x=0.75,y=1.25. 由此可知，當電視廣告費為0.75萬元，報紙廣告費為1.25萬元時，廣告策略最佳。由x+y=2，可得y =2-x,代入R得 R(x,y)=-4 x2+6x+39令.因此y=1.25.復習題7（A）1. 設，且已知y=1時，z=x則,. 解：由y=1時，z=x，得令，.2. 設，則 1 , 0 .解： 3. 設,則 .解：令而故 4. 設,其中f,g具有二階連續(xù)偏導數(shù),則 .解： 所以0.5. 若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處的偏導數(shù)存在，則在該點處函數(shù) ( D ) A有極限 B連續(xù)C可微 D以上三項都不成立解：因為偏導數(shù)存在，不能推出極限存在，所以ABC三項不一定正確. 6. 偏導數(shù)fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)連續(xù)的( D ) A充分條件 B必要條件C充要條件 D即非充分也非必要條件解：同5.7. 設函數(shù)f(x,y)=1x2+y2,則下列結(jié)論正確的是( D ) A點(0,0)是f(x,y)的極小值點 B點(0,0)是f(x,y)的極大值點C點(0,0)不是f(x,y)的駐點 Df(0,0)不是f(x,y)的極值8. 求下列極限：(1) ；(2) .解：(1) 因為所以 (2) =09. 設u=e3xy，而x2+y=t2,xy=t+2,求.解：由x2+y=t2,xy=t+2,可得所以.因此，.令故10. 設z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所確定,求解：兩邊同時對x求偏導，得.11. 設f(u,v)具有二階連續(xù)偏導數(shù),且滿足，又,試證.證：則所以.12. 求函數(shù)f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的極值.解：先解方程組得駐點為(0,1).在點(0，1)處,=AC-B2=61-00,又A0,所以函數(shù)在(0，1)處有極小值f(0，1)=0.（B）1. 設z=ex+f(x2y)，且已知y=0時，z=x2,則 .解：令所以2. 設f(x,y,z)=exyz2，其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則 . 解：故因此.3. 設,則 . 解：，所以4. 設,其中f,g具有二階連續(xù)偏導數(shù),則 . 解： .5. 函數(shù)在點(0,0)處的偏導數(shù)存在的情況是( C ).Afx(0,0)，fy(0,0)都存在Bfx(0,0)存在，fy(0,0)不存在Cfx(0,0)不存在，fy(0,0)存在Dfx(0,0)，fy(0,0)都不存在解：6. 設f(x,y),g(x,y)均為可微函數(shù)，且gy(x,y)0，已知(x0,y0)是f(x,y)在約束條件g(x,y)=0下的一個極值點，下列結(jié)論正確的是( D ) A若fx(x0,y0)=0,則fy(x0,y0)=0B若fx(x0,y0)=0,則fy(x0,y0)0C若fx(x0,y0)0,則fy(x0,y0)=0D若fx(x0,y0)0,則fy(x0,y0)0解：作拉格朗日函數(shù)，則有 ， .由于gy(x,y)0，所以當fx(x0,y0)0，因此，從而fy(x0,y0)0.7. 設函數(shù)u=f(x,y,z)有連續(xù)偏導數(shù)，且z=z(x,y)是由x