一元二次方程講義——絕對(duì)經(jīng)典實(shí)用.doc

.一元二次方程基礎(chǔ)知識(shí) 1、 一元二次方程方程中只含有一個(gè)未知數(shù)，而且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，一般地，這樣的方程都整理成為形如的一般形式，我們把這樣的方程叫一元二次方程。其中分別叫做一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別是二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)。 如：滿足一般形式，分別是二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，2，4分別是二次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)。注：如果方程中含有字母系數(shù)在討論是否是一元二次方程時(shí)，則需要討論字母的取值范圍。2. 一元二次方程求根方法 （1）直接開平方法形如的方程都可以用開平方的方法寫成，求出它的解，這種解法稱為直接開平方法。 （2）配方法通過配方將原方程轉(zhuǎn)化為的方程，再用直接開平方法求解。配方：組成完全平方式的變形過程叫做配方。配方應(yīng)注意：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，原式兩邊要加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，只需方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，使之成為1。 （3）公式法求根公式：方程的求根公式 步驟：1）把方程整理為一般形式：，確定a、b、c。2）計(jì)算式子的值。3）當(dāng)時(shí)，把a(bǔ)、b和的值代入求根公式計(jì)算，就可以求出方程的解。（4）因式分解法 把一元二次方程整理為一般形式后，方程一邊為零，另一邊是關(guān)于未知數(shù)的二次三項(xiàng)式，如果這個(gè)二次三項(xiàng)式可以作因式分解，就可以把這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解，這種解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判別式的定義運(yùn)用配方法解一元二次方程過程中得到 ，顯然只有當(dāng)時(shí)，才能直接開平方得：也就是說，一元二次方程只有當(dāng)系數(shù)、滿足條件時(shí)才有實(shí)數(shù)根這里叫做一元二次方程根的判別式4、判別式與根的關(guān)系在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根由其系數(shù)、確定，它的根的情況（是否有實(shí)數(shù)根）由確定設(shè)一元二次方程為，其根的判別式為：則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程沒有實(shí)數(shù)根若，為有理數(shù)，且為完全平方式，則方程的解為有理根；若為完全平方式，同時(shí)是的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根說明：用判別式去判定方程的根時(shí)，要先求出判別式的值：上述判定方法也可以反過來使用，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，在解一元二次方程時(shí)，一般情況下，首先要運(yùn)用根的判別式判定方程的根的情況（有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，無實(shí)數(shù)根）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（二重根），不能說方程只有一個(gè)根當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)5、一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：運(yùn)用判別式，判定方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)； 利用判別式建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍；通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題；（4）借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題，最值問題6、韋達(dá)定理如果的兩根是，則，（隱含的條件：） 特別地，當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則，7、韋達(dá)定理的逆定理以兩個(gè)數(shù)，為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是一般地，如果有兩個(gè)數(shù)，滿足，那么，必定是的兩個(gè)根8、韋達(dá)定理與根的符號(hào)關(guān)系在的條件下，我們有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù)若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值當(dāng)時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù)若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負(fù)根更一般的結(jié)論是：若，是的兩根（其中），且為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，一般地： ， 且， 且，特殊地：當(dāng)時(shí)，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負(fù)根的條件其他有用結(jié)論：若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）若，則方程必有實(shí)數(shù)根若，方程不一定有實(shí)數(shù)根若，則必有一根若，則必有一根9、韋達(dá)定理的應(yīng)用已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根以及確定方程參數(shù)的值；已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；已知方程的兩根，求作方程；結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時(shí)，就可以把某兩個(gè)變?cè)醋髂硞€(gè)一元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱10、整數(shù)根問題對(duì)于一元二次方程的實(shí)根情況，可以用判別式來判別，但是對(duì)于一個(gè)含參數(shù)的一元二次方程來說，要判斷它是否有整數(shù)根或有理根，那么就沒有統(tǒng)一的方法了，只能具體問題具體分析求解，當(dāng)然，經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì)方程有整數(shù)根的條件：如果一元二次方程有整數(shù)根，那么必然同時(shí)滿足以下條件： 為完全平方數(shù)； 或，其中為整數(shù)以上兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，缺一不可另外，如果只滿足判別式為完全平方數(shù)，則只能保證方程有有理根(其中、均為有理數(shù))11、一元二次方程的應(yīng)用1求代數(shù)式的值；2. 可化為一元二次方程的分式方程。步驟：1）去分母，化分式方程為整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）檢驗(yàn)3. 列方程解應(yīng)用題 步驟：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答板塊一 一元二次方程的定義夯實(shí)基礎(chǔ)例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（1）（2）（3）（4）（5）例2 已知關(guān)于的方程是一元二次方程，求的取值范圍 例3 若一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為零，則的值為_能力提升例4 關(guān)于x的方程是什么方程？它的各項(xiàng)系數(shù)分別是什么？例5已知方程是關(guān)于的一元二次方程，求、的值例6若方程（m-1）x2+ x=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（）Am1 Bm0 Cm0且m1 Dm為任何實(shí)數(shù)培優(yōu)訓(xùn)練例7 為何值時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程例8已知方程是關(guān)于的一元二次方程，求、的值例9關(guān)于x的方程（m+3）xm2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，則m的值為解：該方程為一元二次方程，m2-7=2，解得m=3；當(dāng)m=-3時(shí)m+3=0，則方程的二次項(xiàng)系數(shù)是0，不符合題意；所以m=3例10（2000蘭州）關(guān)于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的條件是（）Am-1Bm2Cm-1或m2Dm-1且m2課后練習(xí)1、為何值時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程2、已知關(guān)于的方程是一元二次方程，求的取值范圍3、已知關(guān)于的方程是一元二次方程，求的取值范圍4、若是關(guān)于的一元二次方程，求、的值5、若一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為零，則的值為_板塊二 一元二次方程的解與解法夯實(shí)基礎(chǔ)例1、（2012鄂爾多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一個(gè)解，則6a2-3a的值為（） A3 B-3 C9 D-9解：若a是方程2x2-x-3=0的一個(gè)根，則有2a2-a-3=0，變形得，2a2-a=3，故6a2-3a=33=9故選C例2（2011哈爾濱）若x=2是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一個(gè)解則m的值是（） A6 B5 C2 D-6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0，解得m=6故選A例3用直接開平方法解下列方程（1）（2） （3）(4) (5) (6)例4先配方，再開平方解下列方程（1） （2） （3） (4) (5) (6) 例5 用公式法解下列方程（1） （2） （3）(4) (5) (6)例6 用因式分解法解下列方程 （1） （2） （3） (4) (5) (6)能力提升例7（2011烏魯木齊）關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一個(gè)根是0，則實(shí)數(shù)a的值為（A） A-1 B0 C1 D-1或1例8關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一個(gè)根是0，則a值為（C） A1 B0 C-1 D1例9方程x2+ax+b=0與x2+cx+d=0（ac）有相同的根，則= _例10已知a、是方程x2-2x-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a3+8+6的值為（D） A-1 B2 C22 D30例11關(guān)于x的一元二次方程（m-2）xm-2+2mx-1=0的根是 _ _例12解方程：例13解方程培優(yōu)訓(xùn)練例14（新思維）閱讀下面的例題：解方程：解：（1）當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得（不合題意，舍去），（2）當(dāng)時(shí)，原方程化為解得（不合題意，舍去），原方程的根是請(qǐng)參照，則方程的根是_例15解方程：例16（新思維）設(shè)x1、x2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式的值例17（新思維）先請(qǐng)閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，則，原方程化為，解得，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得；故原方程的解為，在解方程的過程中，我們將用y替換，先解出關(guān)于y的方程，達(dá)到了降低方程次數(shù)的目的，這種方法叫做“換元法”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想請(qǐng)你根據(jù)以上的閱讀，解下列方程：（1）；（2）例18已知關(guān)于x的方程的一個(gè)解與方程的解相同（1）求k的值；（2）求方程的另一個(gè)解例19（新思維）若x、y是實(shí)數(shù)，且確定m的最小值例20（新思維）已知x、y、z為實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為_課后練習(xí)一、填空： 1. 一元二次方程的一般形式是_。 2. 一元二次方程的一般形式是_，a=_，b=_，c=_。 3. 關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的取值范圍是_。 4. 關(guān)于x的方程是一元二次方程時(shí)，m的取值范圍是_，是一元一次方程時(shí)，m的取值范圍是_。2、 下列方程中，是一元二次方程的為（） Ax2+3x=0 B2x+y=3 C Dx（x2+2）=0三、用兩種方法解下列方程： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 4、 解關(guān)于的方程：五、解關(guān)于的方程： 六、（新思維）ABC中，三邊試判定ABC的形狀7、 （新思維）設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的最小值板塊二 一元二次方程根的判別式夯實(shí)基礎(chǔ) 例1不解方程，判斷下列方程是否有實(shí)根，若有，指出相等還是不等。 （1） （2） （3）（x是未知數(shù)） 例2如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是（ ）A B C D 例3已知，為正數(shù)，若二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程的根的情況是（ ）A有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根C有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根 D不一定有實(shí)數(shù)根例4若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。 例5求證：當(dāng)a和c的符號(hào)相反時(shí)，一元二次方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根。 例6已知、是的三邊的長，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷這個(gè)三角形的形狀能力提高例7關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)的最大值是 例8為給定的有理數(shù)，為何值時(shí)，方程的根為有理數(shù)？例9為何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根 例10已知關(guān)于x的方程在下列情況下，分別求m的非負(fù)整數(shù)值。 （1）方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 （2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （3）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根例11（新思維） 已知一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根則k的最大整數(shù)值為_例12 （新思維）如果一直角三角形的三邊長分別為a、b、c，B=90，那么，關(guān)于x的方程的根的情況是（ ）A有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C沒有實(shí)數(shù)根 D無法確定培優(yōu)訓(xùn)練例13（新思維）已知關(guān)于x的方程（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=1，另兩邊長b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求ABC的周長例14（新思維） 已知函數(shù)（1）若這兩個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，a），求a和k的值；（2）當(dāng)k取何值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象總有公共點(diǎn)？例15（新思維）若x0是一元二次方程的根，則判別式與平方式的大小關(guān)系是（ ）A B C D不能確定解：把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=-c，（2ax0+b）2=4a2x02+4abx0+b2，（2ax0+b）2=4a（ax02+bx0）+b2=-4ac+b2=，M=故選B例16（新思維）關(guān)于x的方程僅有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A B C D課后練習(xí)1、一元二次方程的根的情況為（）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 沒有實(shí)數(shù)根2、若關(guān)于z的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（） Am-1 Cml Dm-13、關(guān)于x的方程的兩根同為負(fù)數(shù)，則（ ）A且 B且C且 D且4、不解方程，判斷下列各方程根的情況 （1）. （2）. （3）. 5、k為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根相等？6、k為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根？7、已知，判斷關(guān)于的方程的根的情況，并給出必要的說明8、已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，化簡：9、已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根求的取值范圍；若為整數(shù)，且，是上述方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值10、在等腰中，、的對(duì)邊分別為、，已知，和是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的周長11、如果關(guān)于的方程（其中，均為正數(shù)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根證明：以，為長的線段能夠組成一個(gè)三角形，并指出三角形的特征12、k為何值時(shí)，方程沒有實(shí)根？板塊二 一元二次方程的應(yīng)用夯實(shí)基礎(chǔ)例1 解方程 例2 一個(gè)車間加工300個(gè)零件，加工完80個(gè)以后，改進(jìn)了操作方法，每天能多加工15個(gè)，一共用了6天完成了任務(wù)，求改進(jìn)操作方法后每天加工的零件的個(gè)數(shù)。 例3 某商場(chǎng)運(yùn)進(jìn)120臺(tái)空調(diào)準(zhǔn)備銷售，由于開展了促銷活動(dòng)，每天比原計(jì)劃多售出4臺(tái)，結(jié)果提前5天完成銷售任務(wù)，原計(jì)劃每天銷售多少臺(tái)？ 例4 甲、乙兩隊(duì)學(xué)生綠化校園，如果兩隊(duì)合作，6天可以完成，如果單獨(dú)工作，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用5天，問兩隊(duì)單獨(dú)工作各需多少天完成？例5如圖，在長為10cm，寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留下的圖形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的80，求所截去小正方形的邊長例6某汽車銷售公司2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長率相同(1)該公司2006年盈利多少萬元?(2)若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預(yù)計(jì)2008年盈利多少萬元?例7某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為21在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少米時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2?能力提高例8（新思維）如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪要使草坪的面積為540m2，求道路的寬（部分參考數(shù)據(jù)：322=1024，522=2704，482=2304） 例9（新思維）某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？例10（新思維）如圖，某農(nóng)戶打算建造一個(gè)花圃，種植兩種不同的花卉供應(yīng)城鎮(zhèn)市場(chǎng)，這時(shí)需要用長為24米的籬笆，靠著一面墻（墻的最大可用長度a是10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃設(shè)花圃的寬AB為xm，面積為Sm2（1）求x與S的函數(shù)關(guān)系式；（2）若要圍成面積為45m2的花圃，AB的長是多少米？（3）花圃的面積能達(dá)到48m2嗎？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)AB的長；如果不能，請(qǐng)說明理由例11某博物館每周都吸引大量中外游客前來參觀，如果游客過多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)產(chǎn)生不利影響，但同時(shí)考慮到文物的修繕和保存費(fèi)用問題，還要保證一定的門票收入因此，博物館采取了漲浮門票價(jià)格的方法來控制參觀人數(shù)在該方法實(shí)施過程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價(jià)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系在這樣的情況下，如果確保每周4萬元的門票收入，那么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多少？門票價(jià)值應(yīng)是多少元？培優(yōu)訓(xùn)練二、列方程解應(yīng)用題 1. 從一塊長為80cm，寬為60cm的鐵片中間截去一個(gè)長方形，使剩下的長方形四周的寬度一樣，并且小長方形的面積是原來鐵片面積的一半，求這個(gè)寬度？ 2. 某車間一月份生產(chǎn)零件7000個(gè)，三月份生產(chǎn)零件8470個(gè)，該車間這兩個(gè)月生產(chǎn)零件平均每月增長的百分率是多少？板塊二 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系夯實(shí)基礎(chǔ)例1 若方程的一個(gè)根為，則方程的另一根為_，c=_例2 已知方程的兩根為x1、x2，則_例3 如果是一元二次方程的兩根，那么，這就是著名的韋達(dá)定理現(xiàn)在我們利用韋達(dá)定理解決問題：已知m與n是方程的兩根。（1）填空：（2）計(jì)算的值例4 （2011廈門）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（1）求n的取值范圍；（2）若n5，且方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求n的值例5 （2011孝感）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）若，求k的值例6 （2011十堰）請(qǐng)閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x所以把代入已知方程，得化簡，得故所求方程為這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”請(qǐng)用閱讀村料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：（1）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的