7-2-3 乘法原理之染色法.教師版.doc

7-2-3乘法原理之染色問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生掌握乘法原理主要內(nèi)容，掌握乘法原理運(yùn)用的方法；2.使學(xué)生分清楚什么時(shí)候用乘法原理，分清有幾個(gè)必要的步驟，以及各步之間的關(guān)系3.培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確分解步驟的解題能力；乘法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分步考慮問(wèn)題，本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分步考慮問(wèn)題的習(xí)慣知識(shí)要點(diǎn)一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學(xué)們上課，首先得從家出發(fā)到長(zhǎng)寧上8點(diǎn)的課，然后得趕到黃埔去上下午1點(diǎn)半的課如果說(shuō)申老師的家到長(zhǎng)寧有5種可選擇的交通工具（公交、地鐵、出租車、自行車、步行），然后再?gòu)拈L(zhǎng)寧到黃埔有2種可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學(xué)們，你們說(shuō)老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個(gè)示意圖，老師必須先的到長(zhǎng)寧，然后再到黃埔這幾個(gè)環(huán)節(jié)是必不可少的，老師是一定要先到長(zhǎng)寧上完課，才能去黃埔的在沒(méi)學(xué)乘法原理之前，我們可以通過(guò)一條一條的數(shù)，把線路找出來(lái)，顯而易見(jiàn)一共是10條路線但是要是老師從家到長(zhǎng)寧有25種可選擇的交通工具，并且從長(zhǎng)寧到黃埔也有30種可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數(shù)，恐怕是要耗費(fèi)很多的時(shí)間了這個(gè)時(shí)候我們的乘法原理就派上上用場(chǎng)了二、乘法原理的定義完成一件事，這個(gè)事情可以分成n個(gè)必不可少的步驟（比如說(shuō)老師從家到黃埔，必須要先到長(zhǎng)寧，那么一共可以分成兩個(gè)必不可少的步驟，一是從家到長(zhǎng)寧，二是從長(zhǎng)寧到黃埔），第1步有A種不同的方法，第二步有B種不同的方法，第n步有N種不同的方法那么完成這件事情一共有ABN種不同的方法結(jié)合上個(gè)例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要2個(gè)步驟，第1步是從家到長(zhǎng)寧，一共5種選擇；第2步從長(zhǎng)寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有52個(gè)可選擇的路線了，即10條三、乘法原理解題三部曲1、完成一件事分N個(gè)必要步驟；2、每步找種數(shù)（每步的情況都不能單獨(dú)完成該件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考題類型1、路線種類問(wèn)題比如說(shuō)老師舉的這個(gè)例子就是個(gè)路線種類問(wèn)題；2、字的染色問(wèn)題比如說(shuō)要3個(gè)字，然后有5種顏色可以給每個(gè)字然后，問(wèn)3個(gè)字有多少種染色方法；3、地圖的染色問(wèn)題同學(xué)們可以回家看地圖，比如中國(guó)每個(gè)省的染色情況，給你幾種顏色，問(wèn)你一張包括幾個(gè)部分的地圖有幾種染色的方法；4、排隊(duì)問(wèn)題比如說(shuō)6個(gè)同學(xué)，排成一個(gè)隊(duì)伍，有多少種排法；5、數(shù)碼問(wèn)題就是對(duì)一些數(shù)字的排列，比如說(shuō)給你幾個(gè)數(shù)字，然后排個(gè)幾為數(shù)的偶數(shù)，有多少種排法例題精講【例 1】 地圖上有A，B，C，D四個(gè)國(guó)家(如下圖)，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰國(guó)家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問(wèn)有多少種染色方法？ 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 A有3種顏色可選；當(dāng)B，C取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)D也有2種顏色可選根據(jù)乘法原理，不同的涂法有種；當(dāng)B，C取不同的顏色時(shí)，B有2種顏色可選，C僅剩1種顏色可選，此時(shí)D也只有1種顏色可選(與A相同)根據(jù)乘法原理，不同的涂法有種綜上，根據(jù)加法原理，共有種不同的涂法【答案】【鞏固】 如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給例題中的地圖染色，使相鄰國(guó)家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問(wèn)有多少種染色方法？ 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 第一步，首先對(duì)A進(jìn)行染色一共有4種方法，然后對(duì)B、C進(jìn)行染色，如果B、C取相同的顏色，有三種方式，D剩下3種方式，如果B、C取不同顏色，有種方法，D剩下2種方法，對(duì)該圖的染色方法一共有種方法【注意】給地圖染色問(wèn)題中有的可以直接用乘法原理解決，有的需要分類解決，前者分類做也可以解決問(wèn)題【答案】【例 2】 在右圖的每個(gè)區(qū)域內(nèi)涂上、四種顏色之一，使得每個(gè)圓里面恰有四種顏色，則一共有_種不同的染色方法 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 因?yàn)槊總€(gè)圓內(nèi)個(gè)區(qū)域上染的顏色都不相同，所以一個(gè)圓內(nèi)的個(gè)區(qū)域一共有種染色方法如右圖所示，當(dāng)一個(gè)圓內(nèi)的、四個(gè)區(qū)域的顏色染定后，由于號(hào)區(qū)域的顏色不能與、三個(gè)區(qū)域的顏色相同，所以只能與號(hào)區(qū)域的顏色相同，同理號(hào)區(qū)域只能與號(hào)區(qū)域的顏色相同，號(hào)區(qū)域只能與號(hào)區(qū)域的顏色相同，所以當(dāng)、四個(gè)區(qū)域的顏色染定后，其他區(qū)域的顏色也就相應(yīng)的只有一種染法，所以一共有種不同的染法【答案】【例 3】 如圖，地圖上有A，B，C，D四個(gè)國(guó)家，現(xiàn)用五種顏色給地圖染色，要使相鄰國(guó)家的顏色不相同，有多少種不同染色方法? 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 為了按要求給地圖上的這四個(gè)國(guó)家染色，我們可以分四步來(lái)完成染色的工作：第一步：給染色，有種顏色可選第二步：給染色，由于不能與同色，所以有種顏色可選第三步：給染色，由于不能與、同色，所以有種顏色可選第四步：給染色，由于不能與、同色，但可以與同色，所以有種顏色可選根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理，用種顏色給地圖染色共有種不同的染色方法【答案】【鞏固】 如圖，一張地圖上有五個(gè)國(guó)家，現(xiàn)在要求用四種不同的顏色區(qū)分不同國(guó)家，要求相鄰的國(guó)家不能使用同一種顏色，不同的國(guó)家可以使用同種顏色，那么這幅地圖有多少著色方法？ 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 第一步，給國(guó)上色，可以任選顏色，有四種選擇；第二步，給國(guó)上色，國(guó)不能使用國(guó)的顏色，有三種選擇；第三步，給國(guó)上色，國(guó)與，兩國(guó)相鄰，所以不能使用，國(guó)的顏色，只有兩種選擇； 第四步，給國(guó)上色，國(guó)與，兩國(guó)相鄰，因此也只有兩種選擇； 第五步，給國(guó)上色，國(guó)與，兩國(guó)相鄰，有兩種選擇 共有種著色方法【答案】【例 4】 如圖：將一張紙作如下操作，一、用橫線將紙劃為相等的兩塊，二、用豎線將下邊的區(qū)塊劃為相等的兩塊，三、用橫線將最右下方的區(qū)塊分為相等的兩塊，四、用豎線將最右下方的區(qū)塊劃為相等的兩塊，如此進(jìn)行8步操作，問(wèn)：如果用四種顏色對(duì)這一圖形進(jìn)行染色，要求相鄰區(qū)塊顏色不同，應(yīng)該有多少種不同的染色方法？ 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 對(duì)這張紙的操作一共進(jìn)行了8次，每次操作都增加了一個(gè)區(qū)塊，所以8次操作后一共有9個(gè)區(qū)塊，我們對(duì)這張紙，進(jìn)行染色就需要9個(gè)步驟，從最大的區(qū)塊從大到小開(kāi)始染色，每個(gè)步驟地染色方法有：4、3、2、2、2，所以一共有：種【答案】【鞏固】 用三種顏色去涂如圖所示的三塊區(qū)域，要求相鄰的區(qū)域涂不同的顏色，那么共有幾種不同的涂法？ 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 涂三塊毫無(wú)疑問(wèn)是分成三步第一步，涂A部分，那么就有三種顏色的選擇；第二步，涂B部分，由于要求相鄰的區(qū)域涂不同的顏色，A和B相鄰，當(dāng)A確定了一種顏色后，B只有兩種顏色可選擇了；第三步，涂C部分，C和A、B都相鄰，A和B確定了兩種不相同的顏色，那么C只有一種顏色可選擇了然后再根據(jù)乘法原理【答案】【例 5】 如圖，有一張地圖上有五個(gè)國(guó)家，現(xiàn)在要用四種顏色對(duì)這一幅地圖進(jìn)行染色，使相鄰的國(guó)家所染的顏色不同，不相鄰的國(guó)家的顏色可以相同那么一共可以有多少種染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 這一道題實(shí)際上就是例題，因?yàn)閮煞鶊D各個(gè)字母所代表的國(guó)家的相鄰國(guó)家是相同的，如果將本題中的地圖邊界進(jìn)行直角化就會(huì)轉(zhuǎn)化為原題，所以對(duì)這幅地圖染色同樣一共有種方法【討論】如果染色步驟為,那么應(yīng)該該如何解答？答案：也是種方法如果染色步驟為那么應(yīng)該如何解答？答案：染色的前兩步一共有43種方法，但染第三步時(shí)需要分類討論，如果與顏色相同，那么有2種染法，也有2種方法，如果與染不同的顏色，那么有2種染法那么只有一種染法，有2種染法，所以一共應(yīng)該有種方法，(教師應(yīng)該向?qū)W生說(shuō)明第三個(gè)步驟用到了分類討論和加法原理，加法原理在下一講中將會(huì)講授)，染色步驟選擇的經(jīng)驗(yàn)方法：每一步驟所染的區(qū)塊應(yīng)該盡量和之前所染的區(qū)塊相鄰【答案】【鞏固】 某沿海城市管轄7個(gè)縣，這7個(gè)縣的位置如右圖現(xiàn)用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏色給右圖染色，要求任意相鄰的兩個(gè)縣染不同顏色，共有多少種不同的染色方法? 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 為了便于分析，把地圖上的7個(gè)縣分別編號(hào)為、 (如左下圖)為了便于觀察，在保持相鄰關(guān)系不變的情況下可以把左圖改畫(huà)成右圖那么，為了完成地圖染色這件工作需要多少步呢? 由于有7個(gè)區(qū)域，我們不妨按、的順序，用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏色依次分7步來(lái)完成染色任務(wù)第1步：先染區(qū)域，有5種顏色可供選擇；第2步：再染區(qū)域，由于不能與同色，所以區(qū)域的染色方式有4種；第3步：染區(qū)域，由于不能與、同色，所以區(qū)域的染色方式有3種；第4步：染區(qū)域，由于不能與、同色，所以區(qū)域的染色方式有3種；第5步：染區(qū)域，由于不能與、同色，所以區(qū)域的染色方式有3種；第6步：染區(qū)域，由于不能與、同色，所以區(qū)域的染色方式有3種；第7步：染區(qū)域，由于不能與、同色，所以區(qū)域的染色方式有3種 根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理，共有種不同的染色方法【答案】【例 6】 用3種顏色把一個(gè)的方格表染色，要求相同行和相同列的3個(gè)格所染的顏色互不相同，一共有 種不同的染色法 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)題意可知，染完后這個(gè)的方格表每一行和每一列都恰有3個(gè)顏色用3種顏色染第一行，有種染法；染完第一行后再染第一列剩下的2個(gè)方格，有2種染法；當(dāng)?shù)谝恍泻偷谝涣卸既竞煤螅俑鶕?jù)每一行和每一列都恰有3個(gè)顏色對(duì)剩下的方格進(jìn)行染色，可知其余的方格都只有唯一一種染法所以，根據(jù)乘法原理，共有種不同的染法【答案】【例 7】 如右圖，有A、B、C、D、E五個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用五種顏色給區(qū)域染色，染色要求：每相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色，每個(gè)區(qū)域染一色有多少種不同的染色方式？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 先采用分步：第一步給A染色，有5種方法；第二步給B染色，有4種方式；第三步給C染色，有3種方式；第四步給D染色，有3種方式；第五步，給E染色，由于E不能與A、B、D同色，但可以和C同色此時(shí)就出現(xiàn)了問(wèn)題：當(dāng)D與B同色時(shí)，E有3種顏色可染；而當(dāng)D與B異色時(shí)，E有2種顏色可染所以必須從第四步就開(kāi)始分類：第一類，D與B同色E有3種顏色可染，共有（種）染色方式；第二類，D與B異色D有2種顏色可染，E有2種顏色可染，共有（種）染色方式 根據(jù)加法原理，共有（種）染色方式【注意】給圖形染色問(wèn)題中有的可以直接用乘法原理解決，但如果碰到有首尾相接的圖形往往需要分類解決【答案】【鞏固】 如右圖，有A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用四種顏色給區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域的顏色不同，每個(gè)區(qū)域染一色有多少種染色方法？ 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 A有4種顏色可選，然后分類：第一類：，取相同的顏色有3種顏色可染，此時(shí)也有3種顏色可選根據(jù)乘法原理，不同的染法有（種）；第二類：當(dāng)，取不同的顏色時(shí)，有3種顏色可染，有2種顏色可染，此時(shí)也有2種顏色可染根據(jù)乘法原理，不同的染法有（種）根據(jù)加法原理，共有(種)染色方法【答案】【鞏固】 用四種顏色對(duì)右圖的五個(gè)字染色，要求相鄰的區(qū)域的字染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用問(wèn)：共有多少種不同的染色方法? 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 第一步給“而”上色，有4種選擇； 然后對(duì)“學(xué)”染色，“學(xué)”有3種顏色可選；當(dāng)“奧”，“數(shù)”取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)“思”也有2種顏色可選，不同的涂法有種；當(dāng)“奧”，“數(shù)”取不同的顏色時(shí)，“奧”有2種顏色可選，“數(shù)”剩僅1種顏色可選，此時(shí)“思”也只有1種顏色可選(與“學(xué)”相同)，不同的涂法有種 所以，根據(jù)加法原理，共有種不同的涂法【答案】【例 8】 分別用五種顏色中的某一種對(duì)下圖的，六個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰的區(qū)域染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用問(wèn)：有多少種不同的染法？ 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 先按，的次序染色，可供選擇的顏色依次有5，4，3，2，3種，注意與的顏色搭配有(種)，其中有3種和同色，有6種和異色最后染，當(dāng)與同色時(shí)有3種顏色可選，當(dāng)與異色時(shí)有 2種顏色可選，所以共有種染法【答案】【例 9】 將圖中的分別涂成紅色、黃色或綠色，要求有線段相連的兩個(gè)相鄰?fù)坎煌念伾灿卸嗌俜N不同涂法？ 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如右上圖，當(dāng)，的顏色確定后，大正方形四個(gè)角上的的顏色就確定了，所以只需求，有多少種不同涂法按先，再，后的順序涂色按的順序涂顏色： 有3種顏色可選；當(dāng)，取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)也有2種顏色可選，不同的涂法有種；當(dāng)，取不同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，僅剩1種顏色可選，此時(shí)也只有1種顏色可選(與相同)，不同的涂法有(種)所以，根據(jù)加法原理，共有種不同的涂法【答案】【例 10】 用4種不同的顏色來(lái)涂正四面體（如圖，每個(gè)面都是完全相同的正三角形）的4個(gè)面，使不同的面涂有不同的顏色，共有_種不同的涂法.（將正四面體任意旋轉(zhuǎn)后仍然不同的涂色法，才被認(rèn)為是不同的）【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，復(fù)賽，第9題【解析】 不旋轉(zhuǎn)時(shí)共有4321=24種染色方式，而一個(gè)正四面體有43=12種放置方法（4個(gè)面中選1個(gè)作底面，再?gòu)氖Ｓ?個(gè)面中選1個(gè)作正面），所以每種染色方式被重復(fù)計(jì)算了12次，則不同的染色方法有2412=2種?！敬鸢浮糠N【例 11】 用紅、橙、黃、綠、藍(lán)5種顏色中的1種，或2種，或3種，或4種，分別涂在正四面體各個(gè)面上，一個(gè)面不能用兩色，也無(wú)一個(gè)面不涂色的，問(wèn)共有幾種不同涂色方式？ 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 我們來(lái)看正四面體四個(gè)面的相關(guān)位置，當(dāng)?shù)酌娲_定后，（從上面俯視）三個(gè)側(cè)面的順序有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種（當(dāng)三個(gè)側(cè)面的顏色只有一種或兩種時(shí)，順時(shí)針和逆時(shí)針的顏色分布是相同的） 按使用了的顏色種數(shù)分類：第一類：用了4種顏色第一步，選4種顏色，相當(dāng)于選1種不用，有5種選法第二步，如果取定4種顏色涂于4個(gè)面上，有2種方法這一類有（種）涂法；第二類：用了3種顏色第一步，選3種顏色，相當(dāng)于選2種不用，有（種）選法；第二步，取定3種顏色如紅、橙、黃3色，涂于4個(gè)面上，有6種方法，如下圖（圖中用數(shù)字1，2，3分別表示紅、橙、黃3色）這一類有（種）涂法；第三類：用了2種顏色第一步，選2種顏色，有（種）選法；第二步，取定2種顏色如紅、橙2色，涂于4個(gè)面上，有3種方法，如下圖這一類有（種）涂法； 第四類：用了一種顏色第一步選1種顏色有5種方法；第二步，取定1種顏色涂于4個(gè)面上，只有1種方法這一類有（種）涂法根據(jù)加法原理，共有（種）不同的涂色方式【答案】【例 12】 用紅、黃、藍(lán)三種顏色對(duì)一個(gè)正方體進(jìn)行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色對(duì)正方體進(jìn)行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有五種顏色去染又有多少種？(注：正方體不能翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)) 【考點(diǎn)】乘法原理之染色問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如果一共只有三種顏色供染色，那么正方體的相對(duì)表面只能涂上一種顏色，一共有上下、左右、前后一共三組對(duì)立面，所以染色的方法有種方法如果有四種顏色，那么染色方法可分為兩類，一類是從四種顏色中選取三種對(duì)正方體進(jìn)行染色，一共有種另一種是四種顏色都染上，用這種染色方法，就允許有一組相對(duì)表面可以染上不同的顏色，選取這組相對(duì)表面并染上不同顏色一共有種方法，用其余兩種顏色去染其他四個(gè)面只有2種方法，共種，所以一共有種方法 如果有5種顏色，那么用其中3種顏色的染色方法有種用其中4種顏色并拿去染色有種，如果5種顏色都