華師版初中數(shù)學(xué)第二十八章圓第二節(jié)教案.doc

28.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系(第1課時(shí))教學(xué)內(nèi)容 1設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外dr；點(diǎn)P在圓上d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)dr；點(diǎn)P在圓上d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)dr 點(diǎn)P在圓上d=r 點(diǎn)P在圓內(nèi)dr點(diǎn)P在圓外；如果d=r點(diǎn)P在圓上；如果dr 點(diǎn)P在圓上d=r點(diǎn)P在圓內(nèi)dr 這個(gè)結(jié)論的出現(xiàn)，對(duì)于我們今后解題、判定點(diǎn)P是否在圓外、圓上、圓內(nèi)提供了依據(jù) 下面，我們接下去研究確定圓的條件： （學(xué)生活動(dòng)）經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線，經(jīng)過二點(diǎn)只能作一條直線，那么，經(jīng)過一點(diǎn)能作幾個(gè)圓？經(jīng)過二點(diǎn)、三點(diǎn)呢？請(qǐng)同學(xué)們按下面要求作圓 （1）作圓，使該圓經(jīng)過已知點(diǎn)A，你能作出幾個(gè)這樣的圓？ （2）作圓，使該圓經(jīng)過已知點(diǎn)A、B，你是如何做的？你能作出幾個(gè)這樣的圓？其圓心的分布有什么特點(diǎn)？與線段AB有什么關(guān)系？為什么？ （3）作圓，使該圓經(jīng)過已知點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)（其中A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上），你是如何做的？你能作出幾個(gè)這樣的圓？ 老師在黑板上演示：（1）無數(shù)多個(gè)圓，如圖1所示 （2）連結(jié)A、B，作AB的垂直平分線，則垂直平分線上的點(diǎn)到A、B的距離都相等，都滿足條件，作出無數(shù)個(gè)其圓心分布在AB的中垂線上，與線段AB互相垂直，如圖2所示 (1) (2) (3) （3）作法：連接AB、BC； 分別作線段AB、BC的中垂線DE和FG，DE與FG相交于點(diǎn)O；以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，O就是所要求作的圓，如圖3所示在上面的作圖過程中，因?yàn)橹本€DE與FG只有一個(gè)交點(diǎn)O，并且點(diǎn)O到A、B、C三個(gè)點(diǎn)的距離相等（中垂線上的任一點(diǎn)到兩邊的距離相等），所以經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，并且只能作一個(gè)圓 即：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 也就是，經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓 外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心 下面我們來證明：經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作出一個(gè)圓 證明：如圖，假設(shè)過同一直線L上的A、B、C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，設(shè)這個(gè)圓的圓心為P，那么點(diǎn)P既在線段AB的垂直平分線L1，又在線段BC的垂直平分線L2，即點(diǎn)P為L1與L2點(diǎn)，而L1L，L2L，這與我們以前所學(xué)的“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾所以，過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓 上面的證明方法與我們前面所學(xué)的證明方法思路不同，它不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)過同一直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓），由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到命題成立這種證明方法叫做反證法 在某些情景下，反證法是很有效的證明方法 例1某地出土一明代殘破圓形瓷盤，如圖所示為復(fù)制該瓷盤確定其圓心和半徑，請(qǐng)?jiān)趫D中用直尺和圓規(guī)畫出瓷盤的圓心 分析：圓心是一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)可以由兩條直線交點(diǎn)而成，因此，只要在殘缺的圓盤上任取兩條線段，作線段的中垂線，交點(diǎn)就是我們所求的圓心 作法：（1）在殘缺的圓盤上任取三點(diǎn)連結(jié)成兩條線段； （2）作兩線段的中垂線，相交于一點(diǎn) 則O就為所求的圓心 三、鞏固練習(xí) 教材P100 練習(xí)1、2、3、4 四、應(yīng)用拓展例2如圖，已知梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，AB=48cm，CD=30cm，高27cm，求作一個(gè)圓經(jīng)過A、B、C、D四點(diǎn)，寫出作法并求出這圓的半徑（比例尺1：10） 分析：要求作一個(gè)圓經(jīng)過A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，應(yīng)該先選三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，然后證明第四點(diǎn)也在圓上即可要求半徑就是求OC或OA或OB，因此，要在直角三角形中進(jìn)行，不妨設(shè)在RtEOC中，設(shè)OF=x，則OE=27-x由OC=OB便可列出，這種方法是幾何代數(shù)解 作法分別作DC、AD的中垂線L、m，則交點(diǎn)O為所求ADC的外接圓圓心 ABCD為等腰梯形，L為其對(duì)稱軸 OB=OA，點(diǎn)B也在O上 O為等腰梯形ABCD的外接圓 設(shè)OE=x，則OF=27-x，OC=OB 解得：x=20 OC=25，即半徑為25m 五、歸納總結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握：1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則 2不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 3三角形外接圓和三角形外心的概念 4反證法的證明思想 5以上內(nèi)容的應(yīng)用 六、布置作業(yè) 1教材P110 復(fù)習(xí)鞏固 1、2、3 2選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1下列說法：三點(diǎn)確定一個(gè)圓；三角形有且只有一個(gè)外接圓；圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形；三角形的外心是各邊垂直平分線的交點(diǎn)；三角形的外心到三角形三邊的距離相等；等腰三角形的外心一定在這個(gè)三角形內(nèi)，其中正確的個(gè)數(shù)有（ ） A1 B2 C3 D4 2如圖，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，則它的外心與頂點(diǎn)C的距離為（ ）A2.5 B2.5cm C3cm D4cm 3如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是直徑，BC=4，AC=3，CD平分ACB，則弦AD長為（ ） A B C D3 二、填空題 1經(jīng)過一點(diǎn)P可以作_個(gè)圓；經(jīng)過兩點(diǎn)P、Q可以作_個(gè)圓，圓心在_上；經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作_個(gè)圓，圓心是_的交點(diǎn) 2邊長為a的等邊三角形外接圓半徑為_，圓心到邊的距離為_ 3直角三角形的外心是_的中點(diǎn)，銳角三角形外心在三角形_，鈍角三角形外心在三角形_ 三、綜合提高題1如圖，O是ABC的外接圓，D是AB上一點(diǎn)，連結(jié)BD，并延長至E，連結(jié)AD，若AB=AC，ADE=65，試求BOC的度數(shù)2如圖，通過防治“非典”，人們?cè)鰪?qiáng)了衛(wèi)生意識(shí)，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24-49所示，A、B、C為市內(nèi)的三個(gè)住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見，要使得回收站建在三個(gè)小區(qū)都相等的某處，請(qǐng)問如果你是工程師，你將如何選址 3ABC中，AB=1，AC、BC是關(guān)于x的一元二次方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0兩個(gè)根，外接圓O的面積為，求m的值答案:一、1B 2B 3A二、1無數(shù)，無數(shù)，線段PQ的垂直平分線，一個(gè)，三邊中垂線 2a a 3斜邊 內(nèi) 外 三、1100 2連結(jié)AB、BC，作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點(diǎn)即為垃圾回收站所在的位置3R2=，R=，AB=1，AB為O直徑，AC2+BC2=1，即（AC+BC）2-2ACBC=1，（）2-2=1，m2-18m-40=0，m=20或m=-2，當(dāng)m=-2時(shí)，0（舍去），m=2028.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系(第2課時(shí))教學(xué)內(nèi)容 1直線和圓相交、割線；直線和圓相切、圓的切線、切點(diǎn)；直線和圓沒有公共點(diǎn)、直線和圓相離等概念 2設(shè)O的半徑為r，直線L到圓心O的距離為d 直線L和O相交dr 3切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 4切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 5應(yīng)用以上的內(nèi)容解答題目 教學(xué)目標(biāo) （1）了解直線和圓的位置關(guān)系的有關(guān)概念（2）理解設(shè)O的半徑為r，直線L到圓心O的距離為d，則有：直線L和O相交dr （3）理解切線的判定定理：理解切線的性質(zhì)定理并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實(shí)際問題 復(fù)習(xí)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，引入直線和圓的位置關(guān)系，以直線和圓的位置關(guān)系中的d=r直線和圓相切，講授切線的判定定理和性質(zhì)定理 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：切線的判定定理；切線的性質(zhì)定理及其運(yùn)用它們解決一些具體的題目 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：由上節(jié)課點(diǎn)和圓的位置關(guān)系遷移并運(yùn)動(dòng)直線導(dǎo)出直線和圓的位置關(guān)系的三個(gè)對(duì)應(yīng)等價(jià) 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入（老師口答，學(xué)生口答，老師并在黑板上板書）同學(xué)們，我們前一節(jié)課已經(jīng)學(xué)到點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d， 則有：點(diǎn)P在圓外dr，如圖（a）所示； 點(diǎn)P在圓上d=r，如圖（b）所示； 點(diǎn)P在圓內(nèi)dr，如圖（c）所示 二、探索新知 前面我們講了點(diǎn)和圓有這樣的位置關(guān)系，如果這個(gè)點(diǎn)P改為直線L呢？它是否和圓還有這三種的關(guān)系呢？ （學(xué)生活動(dòng)）固定一個(gè)圓，把三角尺的邊緣運(yùn)動(dòng)，如果把這個(gè)邊緣看成一條直線，那么這條直線和圓有幾種位置關(guān)系？ （老師口答，學(xué)生口答）直線和圓有三種位置關(guān)系：相交、相切和相離（老師板書）如圖所示： 如圖（a），直線L和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們就說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線 如圖（b），直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn) 如圖（c），直線和圓沒有公共點(diǎn)，這時(shí)我們說這條直線和圓相離 我們知道，點(diǎn)到直線L的距離是這點(diǎn)向直線作垂線，這點(diǎn)到垂足D的距離，按照這個(gè)定義，作出圓心O到L的距離的三種情況？ （學(xué)生分組活動(dòng)）：設(shè)O的半徑為r，圓心到直線L的距離為d，請(qǐng)模仿點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，總結(jié)出什么結(jié)論？老師點(diǎn)評(píng)直線L和O相交dr，如圖（c）所示 因?yàn)閐=r直線L和O相切，這里的d是圓心O到直線L的距離，即垂直，并由d=r就可得到L經(jīng)過半徑r的外端，即半徑OA的A點(diǎn)，因此，很明顯的，我們可以得到切線的判定定理： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 （學(xué)生分組討論）：根據(jù)上面的判定定理，如果你要證明一條直線是O的切線，你應(yīng)該如何證明？ （老師點(diǎn)評(píng)）：應(yīng)分為兩步：（1）說明這個(gè)點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，（2）過這點(diǎn)的半徑垂直于直線 例1如圖，已知RtABC的斜邊AB=8cm，AC=4cm （1）以點(diǎn)C為圓心作圓，當(dāng)半徑為多長時(shí)，直線AB與C相切？為什么？（2）以點(diǎn)C為圓心，分別以2cm和4cm為半徑作兩個(gè)圓，這兩個(gè)圓與直線AB分別有怎樣的位置關(guān)系？ 分析：（1）根據(jù)切線的判定定理可知，要使直線AB與C相切，那么這條半徑應(yīng)垂直于直線AB，并且C點(diǎn)到垂足的長就是半徑，所以只要求出如圖所示的CD即可 （2）用d和r的關(guān)系進(jìn)行判定，或借助圖形進(jìn)行判定 解：（1）如圖24-54：過C作CDAB，垂足為D 在RtABC中 BC= CD=2 因此，當(dāng)半徑為2cm時(shí)，AB與C相切 理由是：直線AB為C的半徑CD的外端并且CDAB，所以AB是C的切線 （2）由（1）可知，圓心C到直線AB的距離d=2cm，所以 當(dāng)r=2時(shí)，dr，C與直線AB相離； 當(dāng)r=4時(shí)，dr，C與直線AB相交 剛才的判定定理也好，或者例1也好，都是不知道直線是切線，而判定切線，反之，如果知道這條直線是切線呢？有什么性質(zhì)定理呢？實(shí)際上，如圖，CD是切線，A是切點(diǎn)，連結(jié)AO與O于B，那么AB是對(duì)稱軸，所以沿AB對(duì)折圖形時(shí)，AC與AD重合，因此，BAC=BAD=90 因此，我們有切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 三、鞏固練習(xí) 教材P102 練習(xí)，P103 練習(xí) 四、應(yīng)用拓展 例2如圖，AB為O的直徑，C是O上一點(diǎn)，D在AB的延長線上，且DCB=A （1）CD與O相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說明理由（2）若CD與O相切，且D=30，BD=10，求O的半徑 分析：（1）要說明CD是否是O的切線，只要說明OC是否垂直于CD，垂足為C，因?yàn)镃點(diǎn)已在圓上 由已知易得：A=30，又由DCB=A=30得：BC=BD=10 解：（1）CD與O相切 理由：C點(diǎn)在O上（已知） AB是直徑 ACB=90，即ACO+OCB=90 A=OCA且DCB=A OCA=DCB OCD=90 綜上：CD是O的切線 （2）在RtOCD中，D=30 COD=60 A=30 BCD=30 BC=BD=10 AB=20，r=10 答：（1）CD是O的切線，（2）O的半徑是10 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，總結(jié)發(fā)言老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1直線和圓相交、割線、直線和圓相切，切線、切點(diǎn)、直線和圓相離等概念 2設(shè)O的半徑為r，直線L到圓心O的距離為d則有： 直線L和O相交dr 3切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 4切線的性質(zhì)定理，圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 5應(yīng)用上面的知識(shí)解決實(shí)際問題 六、布置作業(yè) 1教材P110 復(fù)習(xí)鞏固4、5 2選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1如圖，AB與O切于點(diǎn)C，OA=OB，若O的直徑為8cm，AB=10cm，那么OA的長是（ ）A B 2下列說法正確的是（ ） A與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線 B和圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線; C垂直于圓的半徑的直線是圓的切線; D過圓的半徑的外端的直線是圓的切線 3已知O分別與ABC的BC邊，AB的延長線，AC的延長線相切，則BOC等于（ ） A（B+C） B90+A C90-A D180-A 二、填空題1如圖，AB為O直徑，BD切O于B點(diǎn)，弦AC的延長線與BD交于D點(diǎn)，若AB=10，AC=8，則DC長為_ 2如圖，P為O外一點(diǎn)，PA、PB為O的切線，A、B為切點(diǎn)，弦AB與PO交于C，O半徑為1，PO=2，則PA_，PB=_，PC=_AC=_，BC=_AOB=_ 3設(shè)I是ABC的內(nèi)心，O是ABC的外心，A=80，則BIC=_，BOC=_ 三、綜合提高題 1如圖，P為O外一點(diǎn)，PA切O于點(diǎn)A，過點(diǎn)P的任一直線交O于B、C，連結(jié)AB、AC，連PO交O于D、E （1）求證：PAB=C（2）如果PA2=PDPE，那么當(dāng)PA=2，PD=1時(shí)，求O的半徑 2設(shè)a、b、c分別為ABC中A、B、C的對(duì)邊，面積為S，則內(nèi)切圓半徑r=， 其中P=（a+b+c）；（2）RtABC中，C=90，則r=（a+b-c） 3如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，O1與x軸相切于點(diǎn)A（-2，0），與y軸交于B、C兩點(diǎn)，O1B的延長線交x軸于點(diǎn)D（，0），連結(jié)AB （1）求證：ABO=ABO； （2）設(shè)E為優(yōu)弧的中點(diǎn)，連結(jié)AC、BE交于點(diǎn)F，請(qǐng)你探求BEBF的值 （3）如圖2，過A、B兩點(diǎn)作O2與y軸的正半軸交于點(diǎn)M，與BD的延長線交于點(diǎn)N，當(dāng)O2的大小變化時(shí)，給出下列兩個(gè)結(jié)論 BM-BN的值不變；BM+BN的值不變，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你判斷哪一個(gè)結(jié)論正確，證明正確的結(jié)論并求出其值 （友情提示：如圖3，如果DEBC，那么） (1) (2) (3) 答案:一、1A 2B 3C二、14 2 120 3130 160三、1（1）提示：作直徑AF，連BF，如右圖所示 （2）由已知PA2=PDPE，可得O的半徑為2（1）設(shè)I為ABC內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑為r，則SABC=ABr+BCr+ACr，則r=；（2）設(shè)內(nèi)切圓與各邊切于D、E、F，連結(jié)ID、IE，如圖，則IDAC，IEBC，又C=90，ID=IE，DIEC為正方形，CE=CD=r，AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，b-r+a-r=c，r=（a+b-c）3（1）證明：連結(jié)O1A，則O1AOA，O1AOB，O1AB=ABO，又O1A=O1B，O1AB=O1BA，ABO1=ABO（2）連結(jié)CE，O1AOB，設(shè)DB=2x，則O1D=5x，O1A=O1B=5x-2x=3x，在RtDAO1中，（3x）2+（）2=（5x）2，x=，O1A=O1B=，OB=1，OA是O1的切線，OA2=OBOC，OC=4，BC=3，AB=，E為優(yōu)弧AC的中點(diǎn)，ABF=EBC，BAF=E，ABFEBC，BEBF=ABBC=3 （3）解：BM-BN的值不變證明：在MB上取一點(diǎn)G，使MG=BN，連結(jié)AM、AN、AG、MN，ABO=ABO，ABO=AMN，ABO=ANM，AMN=ANM，AM=AN，AMG=ANB，MG=BN，AMGANB，AG=AB，ADBG，BG=2BO=2，BM-BN=BG=2其值不變28.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系(第3課時(shí)) 教學(xué)內(nèi)容 1切線長的概念 2切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角 3三角形的內(nèi)切圓及三角形內(nèi)心的概念 教學(xué)目標(biāo) 了解切線長的概念 理解切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，熟練掌握它的應(yīng)用 復(fù)習(xí)圓與直線的位置關(guān)系和切線的判定定理、性質(zhì)定理知識(shí)遷移到切長線的概念和切線長定理，然后根據(jù)所學(xué)三角形角平分線的性質(zhì)給出三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心概念，最后應(yīng)用它們解決一些實(shí)際問題 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：切線長定理及其運(yùn)用 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：切線長定理的導(dǎo)出及其證明和運(yùn)用切線長定理解決一些實(shí)際問題 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 1已知ABC，作三個(gè)內(nèi)角平分線，說說它具有什么性質(zhì)？ 2點(diǎn)和圓有幾種位置關(guān)系？你能說說在這一節(jié)中應(yīng)掌握幾個(gè)方面的知識(shí)？ 3直線和圓有什么位置關(guān)系？切線的判定定理和性質(zhì)定理，它們?nèi)绾危?老師點(diǎn)評(píng)：（1）在黑板上作出ABC的三條角平分線，并口述其性質(zhì)：三條角平分線相交于一點(diǎn)；交點(diǎn)到三條邊的距離相等 （2）（口述）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種，點(diǎn)在圓內(nèi)dr；不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；反證法的思想 （3）（口述）直線和圓的位置關(guān)系同樣有三種：直線L和O相交dr；切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線；切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 二、探索新知 從上面的復(fù)習(xí)，我們可以知道，過O上任一點(diǎn)A都可以作一條切線，并且只有一條，根據(jù)下面提出的問題操作思考并解決這個(gè)問題 問題：在你手中的紙上畫出O，并畫出過A點(diǎn)的唯一切線PA，連結(jié)PO，沿著直線PO將紙對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B，這時(shí)，OB是O的一條半徑嗎？PB是O的切線嗎？利用圖形的軸對(duì)稱性，說明圓中的PA與PB，APO與BPO有什么關(guān)系？ 學(xué)生分組討論，老師抽取34位同學(xué)回答這個(gè)問題 老師點(diǎn)評(píng)：OB與OA重疊，OA是半徑，OB也就是半徑了又因?yàn)镺B是半徑，PB為OB的外端，又根據(jù)折疊后的角不變，所以PB是O的又一條切線，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，我們很容易得到PA=PB，APO=BPO 我們把PA或PB的長，即經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長 從上面的操作幾何我們可以得到： 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角 下面，我們給予邏輯證明 例1如圖，已知PA、PB是O的兩條切線求證：PA=PB，OPA=OPB 證明：PA、PB是O的兩條切線 OAAP，OBBP 又OA=OB，OP=OP， RtAOPRtBOP PA=PB，OPA=OPB 因此，我們得到切線長定理： 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角 我們剛才已經(jīng)復(fù)習(xí)，三角形的三條角平分線于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三條邊的距離相等（同剛才畫的圖）設(shè)交點(diǎn)為I，那么I到AB、AC、BC的距離相等，如圖所示，因此以點(diǎn)I為圓心，點(diǎn)I到BC的距離ID為半徑作圓，則I與ABC的三條邊都相切 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心 例2如圖，已知O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且ABC的面積為6求內(nèi)切圓的半徑r 分析：直接求內(nèi)切圓的半徑有困難，由于面積是已知的，因此要轉(zhuǎn)化為面積法來求就需添加輔助線，如果連結(jié)AO、BO、CO，就可把三角形ABC分為三塊，那么就可解決 解：連結(jié)AO、BO、CO O是ABC的內(nèi)切圓且D、E、F是切點(diǎn) AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2 AB=4，BC=5，AC=3 又SABC=6 （4+5+3）r=6 r=1 答：所求的內(nèi)切圓的半徑為1 三、鞏固練習(xí) 教材P106 練習(xí) 四、應(yīng)用拓展 例3如圖，O的直徑AB=12cm，AM、BN是兩條切線，DC切O于E，交AM于D，交BN于C，設(shè)AD=x，BC=y （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說明是什么函數(shù)？ （2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的兩根，求x，y的值（3）求COD的面積分析：（1）要求y與x的函數(shù)關(guān)系，就是求BC與AD的關(guān)系，根據(jù)切線長定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即DC=x+y，又因?yàn)锳B=12，所以只要作DFBC垂足為F，根據(jù)勾股定理，便可求得（2）x，y是2t2-30t+m=0的兩根，那么x1+x2=，x1x2=，便可求得x、y的值 （3）連結(jié)OE，便可求得 解：（1）過點(diǎn)D作DFBC，垂足為F，則四邊形ABFD為矩形 O切AM、BN、CD于A、B、E DE=AD，CE=CB AD=x，CB=y CF=y-x，CD=x+y 在RtDCF中，DC2=DF2+CF2 即（x+y）2=（x-y）2+122 xy=36 y=為反比例函數(shù)； （2）由x、y是方程2t-30t+m=0的兩根，可得： x+y=15 同理可得：xy=36 x=3，y=12或x=12，y=3 （3）連結(jié)OE，則OECD SCOD=CDOE=（AD+BC）AB =1512 =45cm2 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1圓的切線長概念； 2切線長定理； 3三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的概念 六、布置作業(yè) 1教材P117 綜合運(yùn)用5、6、7、82選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1如圖1，PA、PB分別切圓O于A、B兩點(diǎn)，C為劣弧AB上一點(diǎn)，APB=30，則ACB=（ ） A60 B75 C105 D120 (1) (2) (3) (4) 2從圓外一點(diǎn)向半徑為9的圓作切線，已知切線長為18，從這點(diǎn)到圓的最短距離為（ ） A9 B9（-1） C9（-1） D9 3圓外一點(diǎn)P，PA、PB分別切O于A、B，C為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，若ACB=a，則APB=（ ） A180-a B90-a C90+a D180-2a 二、填空題1如圖2，PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線，分別相交于C、D，已知PA=7cm，則PCD的周長等于_2如圖3，邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓半徑是_3如圖4，圓O內(nèi)切RtABC，切點(diǎn)分別是D、E、F，則四邊形OECF是_ 三、綜合提高題1如圖所示，EB、EC是O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是O上兩點(diǎn)， 如果E=46，DCF=32，求A的度數(shù) 2如圖所示，PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，求證ABO=APB. 3如圖所示，已知在ABC中，B=90，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D （1）求證：DEOC； （2）若AD=2，DC=3，且AD2=AEAB，求的值答案:一、1C 2C 3D二、114cm 2a 3正方形三、1解：EB、EC是O的兩條切線，EB=EC，ECB=EBC，又E=46，而E+EBC+ECB=180，ECB=67，又DCF+ECB+DCB=180，BCD=180-67-32=81，又A+BCD=180，A=180-81=992證明：連結(jié)OP、OA，OP交AB于C，B是切點(diǎn)，OBP=90，OAP=90，BOP=APO，OA=OB，BOP=AOC，OCB=90，OBA=OPB，OBA=APB3（1）證明：連結(jié)OD，則ODC=Rt，ODE=OED，由切線長定理得：CD=CB，RtODCRtOBC，COB=COD，DOE+2OED=180，又DOE+2COB=180，OED=COB，DEOC（2）由AD=2，DC=3得：BC=3，AB=4，又AD2=AEAB，AE=1，BE=3，OB=BE=，=28.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系(第4課時(shí)) 教學(xué)內(nèi)容 1兩個(gè)圓相離（外離、內(nèi)含），兩個(gè)圓相切（外切、內(nèi)切），兩個(gè)圓相交等概念 2設(shè)兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距（兩圓圓心的距離）為d，則有兩圓的位置關(guān)系，d與r1和r2之間的關(guān)系 外離dr1+r2 外切d=r1+r2 相交r1-r2dr1+r2 內(nèi)切d=r1-r2 內(nèi)含0dr1-r2（其中d=0，兩圓同心） 教學(xué)目標(biāo) 了解兩個(gè)圓相離（外離、內(nèi)含），兩個(gè)圓相切（外切、內(nèi)切），兩圓相交、圓心距等概念 理解兩圓的互解關(guān)系與d、r1、r2等量關(guān)系的等價(jià)條件并靈活應(yīng)用它們解題 通知復(fù)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系和結(jié)合操作幾何，遷移到圓與圓之間的五種關(guān)系并運(yùn)用它們解決一些具體的題目 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及它們的運(yùn)用 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索兩個(gè)圓之間的五種關(guān)系的等價(jià)條件及應(yīng)用它們解題 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下題 在你的隨堂練習(xí)本上，畫出直線L和圓的三種位置關(guān)系，并寫出等價(jià)關(guān)系老師點(diǎn)評(píng)：直線L和圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離，如圖（a）（c）所示（其中d表示圓心到直線L的距離，r是O的半徑） (a) 相交 dr 二、探索新知 請(qǐng)每位同學(xué)完成下面一段話的操作幾何，四人一組討論你能得到什么結(jié)論 （1）在一張透明紙上作一個(gè)O1，再在另一張透明紙上作一個(gè)與O1半徑不等的O2，把兩張透明紙疊在一起，固定O1，平移O2，O1與O2有幾種位置關(guān)系？ （2）設(shè)兩圓的半徑分別為r1和r2（r1r2），圓心距（兩圓圓心的距離）為d，你又能得到什么結(jié)論？ 老師用兩圓在黑板上運(yùn)動(dòng)并點(diǎn)評(píng)：可以發(fā)現(xiàn)，可以會(huì)出現(xiàn)以下五種情況： （1）圖（a）中，兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離； （2）圖（b）中，兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切 （3）圖（c）中，兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說兩個(gè)圓相交 （4）圖（d）中，兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切為了區(qū)分（e）和（d）圖，把（b）圖叫做外切，把（d）圖叫做內(nèi)切 （5）圖（e）中，兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離，為了區(qū)分圖（e）和圖（e），把圖（a）叫做外離，把圖（e）叫做內(nèi)含 圖（f）是（e）甲的一種特殊情況圓心相同，我們把它稱為同心圓 問題（分組討論）如果兩圓的半徑分別為r1和r2（r1r1+r2； 外切只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖（a），也很明顯d=r1+r2； 相交有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，連接O1A和O2A，很明顯r2-r1dr1+r2；內(nèi)切是內(nèi)含加相切，因此d=r2-r1；內(nèi)含是0dr2-r1（其中d=0，兩圓同心）反之，同樣成立，因此，我們就有一組等價(jià)關(guān)系（老師填完表格） 例1兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示（點(diǎn)O，O是圓心），分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求TPN的大小 （1） (2) 分析：要求TPN，其實(shí)就是求OPO的角度，很明顯，POO是正三角形，如圖2所示 解：PO=OO=PO POO是一個(gè)等邊三角形 OPO=60 又TP與NP分別為兩圓的切線， TPO=90，NPO=90 TPN=360-290-60=120 例2如圖1所示，O的半徑為7cm，點(diǎn)A為O外一點(diǎn)，OA=15cm，求：（1）作A與O外切，并求A的半徑是多少？ (1) (2) （2）作A與O相內(nèi)切，并求出此時(shí)A的半徑 分析：（1）作A和O外切，就是作以A為圓心的圓與O的圓心距d=rO+rA；（2）作OA與O相內(nèi)切，就是作以A為圓心的圓與O的圓心距d=rA-rO 解：如圖2所示，（1）作法：以A為圓心，rA=15-7=8為半徑作圓，則A的半徑為8cm（2）作法：以A點(diǎn)為圓心，rA=15+7=22為半徑作圓，則A的半徑為22cm 三、鞏固練習(xí) 教材P109 練習(xí) 四、應(yīng)用拓展 例3如圖1所示，半徑不等的O1、O2外離，線段O1O2分別交O1、O2于點(diǎn)A、B，MN為兩圓的內(nèi)公切線，分別切O1、O2于點(diǎn)M、N，連結(jié)MA、NB （1）試判斷AMN與BNM的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論（2）若將“MN”為兩圓的內(nèi)公切線改為“MN為兩圓的外公切線”，其余條件不變，AMN與BNM是否一定滿足某種等量關(guān)系？完成下圖并寫出你的結(jié)論 (1) (2) 分析：（1）要說明AMN與BNM的數(shù)量關(guān)系，只要說明MAB和NBA的數(shù)量關(guān)系，只要說明O2BN和O1AM的數(shù)量關(guān)系，又因?yàn)镺2BN=O1NB，O1MA=O1AM，因此，只要連結(jié)O1M，O2N，再說明MO1A=NO2B，這兩個(gè)角相等是顯然的 （2）畫出圖形，從上題的解答我們可以得到一個(gè)思路，連結(jié)O1M、O2N，則O1MN+O2NM=180，MO1A+NO2B=180，O2NB+O1MA=90，AMN+BNM=90 解：（1）AMN=BNM 證明：連結(jié)O1M、O2N，如圖2所示 MN為兩圓的內(nèi)公切線， O1MMN，O2NMN O1MO2N MO1A=NO2B O1M=O1A，O2N=O2B O1MA=O2NB AMN=BNM （2）AMN+BNM=90 證明：連結(jié)O1M、O2N MN為兩圓的外公切線 O1MMN，O2NMN